2.1 矩阵的运算

2.1矩阵的运算,四、矩阵的转置,一、矩阵的加法,三、矩阵与矩阵相乘,二、矩阵的数量乘法,五、方阵的行列式,一、矩阵的加法,矩阵加法的定义设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij)矩阵A与B的和记为AB规定为AB(aijbij)即,提示,只有当两个矩阵是同型矩阵时这两个矩阵才能进行加法运算,一、矩阵的加法,矩阵加法的定义设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij)矩阵A与B的和记为AB规定为AB(aijbij)即,矩阵的加法设A(aij)和B(bij)则规定AB(aijbij),矩阵加法的运算规律设ABC都是mn矩阵则(1)交换律：ABBA(2)结合律：(AB)CA(BC)(3)零矩阵满足：AOA,其中O是与A同型的零矩阵;(4)存在负矩阵：对任意矩阵A,存在矩阵(A)满足A(A)O若A(aij)则(A)(aij)称(A)为矩阵A的负矩阵,矩阵的减法规定矩阵的减法为ABA(B),二、矩阵的数量乘法,矩阵的数量乘法(简称数乘)的定义数与矩阵A的乘积记为A规定为A=(aij)即,数乘矩阵的运算规律设A、B都是mn矩阵、是数则(1)1AA(2)()A(A)(3)()AAA(4)(AB)AB矩阵的加法运算与数乘运算合起来统称为矩阵的线性运算,数与矩阵相乘设A(aij)则规定A=(aij),三、矩阵与矩阵相乘,这个线性变换称为前两个线性变换的乘积它的系数矩阵可以看作是前两个线性变换的系数矩阵的某种乘积,引例,矩阵乘法的定义设A(aij)是一个ms矩阵B(Bij)是一个sn矩阵那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB规定为mn矩阵C(cij)其中,cijai1b1jai2b2jaisbsj(i12m；j12n),三、矩阵与矩阵相乘,应注意的问题,只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时两个矩阵才能相乘,矩阵乘法的定义设A(aij)是一个ms矩阵B(Bij)是一个sn矩阵那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB规定为mn矩阵C(cij)其中,cijai1b1jai2b2jaisbsj(i12m；j12n),三、矩阵与矩阵相乘,按此定义一个1s的行矩阵与一个s1的列矩阵的乘积是一个1阶方阵也就是一个数,这表明乘积ABC中的元cij就是A的第i行与B的第j列的乘积,矩阵的乘法设A(aij)msB(Bij)sn则规定AB(cij)mn其中cijai1b1jai2b2jaisbsj(i12m；j12n),解,3,1,10,矩阵的乘法设A(aij)msB(Bij)sn则规定AB(cij)mn其中cijai1b1jai2b2jaisbsj(i12m；j12n),3,3,1,3,10,7,提问BA是否有意义,解,矩阵的乘法设A(aij)msB(Bij)sn则规定AB(cij)mn其中cijai1b1jai2b2jaisbsj(i12m；j12n),解,32,16,16,8,0,0,0,0,本例说明乘法一般不满足交换律从ABO一般不能推出AO或BO从AX=AY，即A(XY)O一般不能推出XY,矩阵的乘法设A(aij)msB(Bij)sn则规定AB(cij)mn其中cijai1b1jai2b2jaisbsj(i12m；j12n),解,3,1,1,0,3,1,1,0,显然ABBA如果两矩阵A与B相乘有ABBA则称矩阵A与矩阵B可交换,线性方程组的矩阵形式,设有线性方程组,X=(x1,x2,xn)T为未知向量,b=(b1,b2,bm)T,则,原方程组可改写为AX=b,称为线性方程组的矩阵形式.,矩阵乘法的性质,(1)(AB)CA(BC)(2)(AB)(A)BA(B)(其中为数)(3)A(BC)ABAC(BC)ABACA,仅证明(1)设U=AmnBnp,V=BnpCpq,则,(i)(AB)C=UC和A(BC)=AV都是mq矩阵;,(ii),(AB)C=UC的第i行第j列元素为,正好等于A(BC)=AV的第i行第j列元素，(AB)C和A(BC)形状相同，对应元素相等，从而(AB)CA(BC).,单位矩阵在矩阵乘法中的作用对于单位矩阵E容易验证EmAmnAmnAmnEnAmn或简写成EAAEA可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1,纯量矩阵在矩阵乘法中的作用矩阵Ediag()称为纯量阵由(E)AAA(E)A可知纯量阵E与矩阵A的乘积等于数与矩阵A的乘积当A为n阶方阵时有(En)AnAnAn(En)这表明纯量阵E与任何同阶方阵都是可交换的,例6设diag(12n)为n阶对角矩阵,A为np矩阵,B为mn矩阵,则,(1)左乘A等于i(i12n)乘A中第i行的每个元素，即A=(iaij)np.(2)右乘B等于j(j12n)乘B中第j列的每个元素，即B=(jbij)mn.,证直接用矩阵乘法的定义验证.(略),例7证明:两个同型的上三角阵的乘积仍是上三角阵.,证设A=(aij)nn,B=(bij)nn为上三角阵,则,当ij时，有aij=bij=0.,要证AB=C=(cij)nn为上三角阵,只需证当ij时，有cij=0.,当ij时,上式中前一个和式中aik=0,后一个和式中bkj=0,故总有cij=0.,注,即两个同型的上三角阵的乘积仍是上三角阵,且对角元为对应对角元的乘积.,应注意的问题,只有当A与B可交换时才有(AB)kAkBk(AB)2A22ABB2(AB)(AB)A2B2,矩阵的幂,设A是n阶方阵定义,A1A,Ak1AkA1,A2A1A1,其中k为正整数这就是说Ak就是k个A连乘规定A0=En.显然只有方阵它的幂才有意义,矩阵的幂的运算规律,(1)AklAkAl,(2)(Ak)lAkl,其中k、l为非负整数,矩阵多项式,设f(x)=akxk+ak1xk1+a1x+a0是x的k次多项式,A是n阶矩阵,则,f(A)=akAk+ak1Ak1+a1A+a0En,称为矩阵A的k次多项式.,显然只有方阵它的多项式才有意义,矩阵多项式的运算规律,(1)f(A)g(A)g(A)f(A)其中f(x),g(x)为多项式;,(2)当A,B可交换时,有二项式展开公式,证,对n作数学归纳法.当n=1时结论成立.,假设当n=k1时结论成立,则n=k1时,三角函数的公式,即n=k时结论也成立,从而命题成立.,解先求A2.,方法一,方法二,用矩阵幂的定义和归纳法不难证明An=4n1A.(略),转置矩阵的定义把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵叫做A的转置矩阵记作AT,四、矩阵的转置,转置矩阵的运算规律(1)(AT)TA(2)(AB)TATBT(3)(A)TAT(4)倒序律:(AB)TBTAT,倒序律的证明:,设A=(aij)mn,B=(bij)ns,则,(i)(AB)T和BTAT都是sm矩阵;,(ii)(AB)T的第i行第j列元素=AB的第j行第i列元素=A的第j行与B的第i列的乘积=BT的第i行与AT的第j列的乘积=BTAT的第i行第j列元素.,(AB)T和BTAT形状相同，对应元素相等，从而(AB)T=BTAT.,对称矩阵与反对称矩阵,设A为n阶方阵(1)如果满足ATA即aijaji(ij12n)则称A为对称矩阵;(2)如果满足ATA即aijaji(ij12n)则称A为反对称矩阵.此时aii0(i12n).,例11设B为mn矩阵，则BTB和BBT都是对称矩阵,证(BTB)T=BT(BT)T=BTB,故BTB是对称矩阵.同理BBT是对称矩阵,例12任何n阶矩阵可写成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和,分析设A为n阶矩阵,则(A+AT)是对称矩阵,(AAT)是反对称矩阵,且A=(A+AT)+(AAT).,例13设列矩阵X(x1x2xn)T满足XTX1E为n阶单位阵HE2XXT证明H是对称阵且HHTE,E4XXT4XXT,E4XXT4X(XTX)XT,E4XXT4(XXT)(XXT),HHT,所以H是对称阵,HT,证明,因为,H,E2XXT,ET2(XXT)T,(E2XXT)T,(E2XXT)2,H2,E,五、方阵的行列式,方阵的行列式的运算规律(1)|AT|A|(2)|A|n|A|(3)|AB|A|B|,注(i)对于方阵的加法的行列式没有相应简单公式.,(ii)(3)中的A,B必须为同型方阵.,方阵的行列