高斯积分ppt课件.ppt

高斯积分,1,在进行有限元分析时，一般需要大量的数值积分，通常都是通过坐标变换把被积函数全部化为局部坐标的函数。经过这样的变换，计算将会变得简单。若被积函数不是多项式函数，比如采用等参单元就是这样，此时就需要求助于数值积分，在有限元分析中，经常采用的就是高斯数值积分。,2,对于积分区间a,b，通过变换可化为区间-1,1所求积分则化为：不失一般性，取a=-1，b=1，讨论区间-1,1上的积分即可，则有其中为权函数,3,求积公式的代数精度最高不超2n-1次。证明：分别取f(x)=1,x，x2，.xn时代入公式，并让其成为等式得A1+A2+An=ab1dx.=b-ax1A1+x2A2+xnAn=abxdx.=（b2-a2)/2.x1rA1+x2rA2+xnrAn=abxrdxr=(br+1-ar+1)/(r+1)上式共有r个等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程组中方程的个数等于变元的个数,即r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1.如果事先已选定a，b中求积节点xk如下ax1xnb,上式成为n个未知数A1、.An的n元线性方程组，此时要r=n时方程组有唯一解,4,事实上,取2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2.(x-xn)2代入求积公式,有左=右=0左右,故不成立等式,定理得证.定义:使求积公式达到最高代数精度2n-1的求积公式称为Guass求积公式Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数.因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论:插值型求积公式的代数精度d满足：n-1d2n-1,5,定理:若f(2n)(x)在a,b上连续，则高斯求积公式的余项为其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2).(x-xn)。高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的.Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk,Guass系数Ak都有表可以查询.,6,Gauss-Legendre求积公式其中高斯点为Legendre多项式的零点Ln(x)=对于一般有限区间a,b，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成为-1,1。,7,nxk(n)Ak(n)Rn1022-0.57735031+0.577350313-0.77459675/9=0.5555556+0.77459675/9=0.555555608/9=0.88888894-0.86113630.3478548-0.33998100.6521452+0.33998100.6521452+0.86113630.34785485-0.90617990.2369269-0.53846930.478628700.5688889+0.53846930.4786287+0.90617990.2369269,Gauss-Legendre点及系数表,8,例题：利用高斯求积公式计算,解令x=1/2(1+t),则用高斯-Legendre求积公式计算.取n=5积分精确值为I=ln2=0.69314718由此可见，高斯公式精确度是很高的,9,2.Gauss-Chebyshev求积公式其中高斯点为Chebyshev多项式Tn(x