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文档简介

13.2二重积分的计算方法,一、利用直角坐标计算二重积分,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,则面积元素为,1,已知平行截面面积的立体的体积,注：二重积分转变为二次积分的推导过程借助于几何直观，略去了分析证明过程。,2,用平面x=x0截立体，截得A(x0).应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,注意D的特殊之处。,3,定理13-1（基本定理）函数f(x,y)在闭矩形区域D:,可积,若每一个,若每一个,4,dc,ab,如果积分区域为：,5,6,如果积分区域为：,其中函数、在区间上连续.,X型,X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,7,如果积分区域为：,Y型,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,8,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,对非X、Y型区域,9,解,积分区域如图,10,解,积分区域如图,11,(1).计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,例3计算下列二重积分,12,解,13,解,X-型,14,（4）.计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线,则,15,解,16,（6）.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X型域:,先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,17,解,18,令y-x=u,交换积分次序,令u=-t,19,20,O1x,y1,21,例7,解,先去掉绝对值符号，如图,22,o1x,23,o1x,24,25,例6,证,26,利用二重积分计算空间立体体积,27,例1.,解,所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,底为,28,例2.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,29,二、利用极坐标系计算二重积分,30,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,31,32,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,33,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,34,解,35,36,解,37,解,38,39,40,解,41,例5求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ax所围立体的体积。,解：,x,y,o,42,43,44,解,D
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