用拉氏变换法解线性微分方程.doc

用拉氏变换法解线性微分方程一 基本定义0 若函数f(t)，t为实变量，线积分0 f(t)e-st dt (s为复变量)存在， 则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或f(t)，即F(s)=f(t)= f(t)e-st dt 常称：F(s)f(t)的象函数； f(t) F(s)的原函数。二 基本思路 用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算拉氏变换象函数微分方程解代数方程拉氏反变换象原函数（微分方程解）象函数代数方程f(t)三 典型函数的拉氏变换11、单位阶跃函数0f(t)=1(t)= 1 t000t 0 t 0F(s)=f(t)= f(t)e-st dt = 1 e-st dt =1/sf(t)2、单位斜坡函数f(t)= t 1(t) = t t00 0 t0tF(s)=f(t)= t e-st dt =1/s3、等加速度函数f(t)f(t) = 1/2 t t00 0 t0tF(s) = 1/2 t e-st dt = 1/s4、指数函数f(t)tf(t)= e t0 0 t00tF(s)= 1/2 t e-st dt =1 / (s-)f(t)5、正弦函数f(t)= sinwt t0t0 0 t0F(s) =sinwt e-st dt= w/(s+w)四 拉氏变换的几个法则对于一些简单原函数，可根据拉氏变换定义求象，但对于较复杂的原函数，必须用到下面几个定理求取其象函数：1、 线性定理 若：f1(t)=F1(s) ， f2(t)=F2(s) (a、b为常数) 则 a f1(t) + b f2(t) = aF1(s) + bF2(s)2、 微分定理n-1 若：f(t)=F(s) i=0 则 df(t)/dt=sF(s) - sn-i-1 f(i) (0) 式中f(i) (0)为f(t)及其各阶导数在t=0时的值 若 f(i) (0) = 0 （a=1，2，n） 则 df(t)/dt =sF(s)3、 积分定理 若：f(t)=F(s) ， 在零初始条件下： 则 f(t)dt=1/s F(s)4、 位移定理（延时定理）-sto 若：f(t)=F(s)-t 则 时域：f(t-t0)1(t-t0) = F(s)e S域：f(t)e = F(s+)5、 初值与终值定理 若：f(t) = F(s) ，且f(t)的拉氏变换存在，st0 则 f(0)=limf(t) = lim s F(s) s0t f()=limf(t)=lim sF(s)例：求阶跃函数 f(t)=A 1(t) 的象函数解： F(s)= A 1(t)= A 1(t)=A 1/s例：求脉冲函数(t) 的象函数解： (t) = d1(t)/dt 应用微分定理（初零）得： F（s）= d1(t)/dt = sF(s) =s 1/s = 1 -t例：求f(t) = e sinwt 的拉氏变换-t解：应用位移定理， F（s）= e sinwt = w/(s+)+w-st+-五 拉普拉斯反变换 定义：若-F(s) = f(t) = 1/（2j） F(s)e dt ， 则称上式为F(s)的拉氏反变换。 由于上式中复变函数积分一般很难计算，由F(s)求f(t)常用部分分式法。1、 求拉氏反变换的思路与步骤 将F(s)分解成简单的有理分式函数之和 确定待定系数ssi 若F(s)分母无重根,则系数Ci = lim (s-si) F(s)ssi 若F(s)分母有重根,则系数Cm=lim (s-si)m F(s)ssi Cm-1= lim( d/ds)(s-si)m F(s)ssi Cm-j = lim 1/j! dj/dsj (s-si)m F(s) ssi C1 = 1/(m-1)! lim dm-1/dsm-1 (s-si)m F(s) 化简F(s) 由变换表求F(s)f(t) s+2s2+4s+3 2、 应用举例例： F(s)=C2s+3C1s+1 s+2(s+1)(s+3)解：(1) F(s)= = + s+2(s+1)(s+3)s-1 (2) C1 = lim (s+1) = 1/2 s+2(s+1)(s+3)s-3 C2 = lim (s+3) = 1/2 1s+1 3s+1 (3)简化F(s)=1/2 +1/2 (4)查表：f(t) = 1/2e-t+1/2e-3t=1/2(e-t+e-3t) s+2s(s+1)2(s+3)例： F(s) = ，求拉氏反变换。 C4s+3 C3 s C2s+1 C1（s+1）2 解：(1) F(s)= + + + s+2s(s+1)2(s+3)s-1 (2) C1 = lim (s+1) =-1/2 s+2s(s+1)2(s+3)s-1 C2 = limd/ds(s+1)2 =-3/4 s0 C3 = lim (s-0) F(s) = 2/3 1s+3 1 s 1s+1 1（s+1）2s-3 C 4 = lim (s+3) F(s) =1/12 (3) F(s)= -1/2 -3/4 +2/3 +1/12(4) 查表得：f(t) = -1/2te-t - 3/4e-t + 2/3 + 1/12e-3t六 用拉氏变换解线性微分方程 1、建立微分方程 2、取拉氏变换 3、取拉氏反变换 4、整理例： RC电路如图(1) RC dUc/dt + Uc = Ur 1(t) RC(RCS+1) UrS(RCS+1)(2) RC SUc(s)-RC Uc(0) + Uc(s) = 1/s Ur(3) Uc(s) = + Uc(0) RC(RCS+1) RC(RCS+1) 11+1/RC 11+1/RC (4) Uc(s) =1/S Ur - Ur + Uc(0) =1/S Ur - Ur + Uc(0)-1/RC t-1/RC t (5) Uc(t)=Ur Ur e + Uc(