量子物理基础2.ppt

量子物理基础,第十五章,重点：,德布罗意公式不确定关系物质波波函数及其统计解释薛定谔方程及其在一维无限深势阱中的应用,旧量子论：在经典理论框架中引入量子假设,通过革新基本观念，解决各局部领域的问题。,量子力学：从基本属性上认识微观粒子的运动规律,1.基本思想：自然界是对称统一的，光与实物粒子应该有共同的本性。,整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽视了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于粒子图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？德布罗意,L.V.deBroglie,15-1德布罗意波实物粒子的波粒二象性,一、德布罗意波,回顾：光的本性的两个不同侧面,表现在传播过程中（干涉、衍射）,表现在与物质相互作用中,（光电效应、康普顿效应）,无法用经典语言（波动或粒子）准确建立光的模型。,光的量子理论模型光子,借用经典“波”和“粒子”术语，但既不是经典波，又不是经典粒子,具有“波粒二象性”,人类对光的本性的认识过程启发了德布罗意。,辐射波与量子光学光量子、衍射和干涉量子气体运动理论及费马原理,1923年9-10月法国科学院通报：,1924年博士论文：量子理论研究,提出实物粒子“波粒二象性”概念及实验验证思路，并获得1929年诺贝尔物理奖。,对称性：实物粒子与光类比,对当时最有生命力的理论的把握：普朗克能量子理论，爱因斯坦光量子理论,为什么德布罗意能够提出如此具有独创性的见解？,先进的科学观念自然界的对称性自然界是对称统一的，光与实物粒子应该有共同的本性。,创造性思维模式：非逻辑思维（联想、想象、类比、灵感）,L.V.德布罗意电子波动性的理论研究,1929诺贝尔物理学奖,德布罗意提出了物质波的假设：一切实物粒子(如电子、质子、中子)都与光子一样,具有波粒二象性。,运动的实物粒子的能量E、动量p与它相关联的波的频率和波长之间满足如下关系：,德布罗意公式(或假设),与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波),2.对物质波的描述,练习：设光子与电子的德布罗意波长均为，试比较其动量和能量大小是否相同。,例一）一质量m0=0.05Kg的子弹，v=300m/s，求其物质波的波长。,解：,即4.410-24,例二）一原静止的电子被电场加速到速度V（VC），加速电压为U，则速度为V的电子的DeBrglie波波长为多大？,代入h、e、m0值：,德布罗意波长：,二、德布罗意波的实验证明,1.戴维孙革末实验,1923年：用电子散射实验研究镍原子结构,1926年：了解德布罗意物质波假设,1927年：有意识寻求电子波实验依据，2-3个月出成果，观察到电子衍射现象。,1925年：偶然事件后实验曲线反常，出现若干峰值，当时未和衍射联系起来。,1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验装置。,与德布罗意物质波假设相符,用X光衍射理论（布喇格公式）,用德布罗意理论,衍射最大值：,电子的波长：,一切微观粒子都具有波粒二象性。,实验表明电流极大值正好满足此式,2.汤姆生实验,1927年汤姆逊（GPThomson）以600伏慢电子（=0.5）射向铝箔，也得到了像X射线衍射一样的衍射，再次发现了电子的波动性。,1937年戴维逊与GP汤姆逊共获当年诺贝尔奖,（GPThomson为电子发现人JJThmson的儿子）,C.J.戴维孙通过实验发现晶体对电子的衍射作用,1937诺贝尔物理学奖,3.其它实验,1.波由粒子组成，波动性是粒子相互作用的次级效应,2.粒子由波组成，是不同频率的波叠加而成的“波包”,山重水复疑无路，柳暗花明又一村。一种崭新的观念和优美的数学方法悄然而生,3.玻恩“概率波”说（1954年诺贝尔奖）,设想：,物质波的强度分布反映实物粒子出现在空间各处的概率,强度大：电子到达概率大,强度小：电子到达概率小,零强度：电子到达概率为零,1926年，德国物理学玻恩(Born,1882-1972)提出了概率波，认为个别微观粒子在何处出现有一定的偶然性，但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律。,M.玻恩对量子力学的基础研究，特别是量子力学中波函数的统计解释,1954诺贝尔物理学奖,4.微观粒子不同于经典粒子，也不同于经典波,水波干涉实验,打开两孔的效应不是单独打开每孔效应之和：呈现干涉现象。,电子干涉实验,电子总是像粒子一样以颗粒形式到达，但是其到达的概率分布像波的强度分布，打开两孔的效应不是单独打开每孔效应之和：呈现干涉现象。,比较：,微观粒子的运动具有不确定性，不遵从经典力学方程，只能用物质波的强度作概率性描述。借用经典物理量来描述微观客体时，必须对经典物理量的相互关系和结合方式加以限制。其定量表达海森伯不确定关系。,人们还在继续探索物质波的本质，但无论其物理实质是什么，物质波的强度代表着微观粒子在空间的概率分布已经是没有疑问的了。,德国理论物理学家。他在1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献，于26岁时提出的不确定关系，与玻恩的波函数统计解释共同奠定了量子力学诠释的物理基础。为此，他于1932年获诺贝尔物理学奖。,海森伯（W.K.Heisenberg）1901-1976,微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具有确定的位置和确定的动量。,15-2不确定关系UncertaintyRelation,电子具有波粒二象性，也可产生类似波的单缝衍射的图样，若电子波长为，则让电子进行单缝衍射则应满足：,1)位置的不确定程度,电子在单缝的何处通过是不确定的!只知是在宽为a的的缝中通过.,一.位置与动量的不确定关系,以电子束单缝衍射为例：,2）单缝处电子的动量的不确定程度,强调：电子衍射是电子自身的波粒二象性结果，不能归于外部的原因，即不是外界作用的结果。,如有人认为衍射是电子与单缝的作用，即电子与单缝材料中的原子碰撞的结果，碰撞后电子的动量大小与方向均发生改变，但实验告诉我们衍射的花样与单缝材料无关，只决定于电子的波长与缝宽a，可见不能归结于外部作用。,显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因此通过单缝后，其动量大小P不变。但不同的电子要到达屏上不同的点。故各电子的动量方向有不同。,X方向电子的位置不确定量为：,电子大部分都到达中央明纹处.,研究正负一级暗纹间的电子。这部分电子在单缝处的动量在X轴上的分量值为：,为一级暗纹的衍射角,由单缝暗纹条件：,为一级暗纹的衍射角,到达正负一级暗纹间的电子在单缝处的动量在X轴上的分量的不确定量为,考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：,经严格证明此式应为：,这就是著名的海森伯不确定关系式,物理意义：,1）微观粒子运动过程中，其坐标的不确定量与该方向上动量分量的不确定量相互制约,与经典描述比较（以一维运动为例）,2）微观粒子永远不可能静止存在零点能，否则，x和,均有完全确定的值，违反不确定关系。,海森伯的原理只是发出警告的路牌：“普通的语言只能应用到这里为止”，当你走到原子领域时，就会遇到麻烦。维斯科夫,设有一个动量为P，质量为m的粒子，能量,考虑到E的增量：,能量与时间不确定关系式,即：,二.时间和能量的不确定关系,粒子能量的不确定量与其寿命的不确定量互相制约。,应用举例：粒子的发现,19661974年，丁肇中与里特克实验小组，分别在美国布鲁克海文国立实验室和斯坦福直线加速器中心，用不同方法独立发现同一种静质量很大的新粒子(判据：m=E/c2，t=?),用能量不确定关系确定寿命：能量不确定度为0.063MeV。,由此证明存在第四种夸克（粲夸克c）,为大统一理论提供实验基础。丁肇中、里特克共同获得1976年诺贝尔物理学奖,解：1）,2）,所以坐标及动量可以同时确定,1.宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？,电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。,2.微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？,例3电子射线管中的电子束中的电速度一般为105m/s，设测得速度的精度为1/10000，即V=10m/s，求电子位置的不确定量。,可以用位置、动量描述,结论：能否用经典方法来描述某一问题，关键在于由不确定关系所加限制能否被忽略。,三、不确定关系的物理实质,注意：不确定（测不准）关系不是实验误差，不是由于理论不完善或仪器不准确引起的。它来自微观粒子的本性。,2.给出了宏观与微观物理世界的界限，经典粒子模型可应用的限度,该问题可用经典力学处理，否则要用量子力学处理。,3.互补原理哥本哈根精神,宏观世界:可不计及“测量”对被测对象状态的影响。1）认为自然过程是连续的，原则上可把测量干扰连续减小，限制在所需的测量精度内。2）认为客体与仪器的相互作用服从因果决定论，可以估算和控制干扰，修正测量值。,测量反映着客体、仪器和观察者的相互作用,微观世界：不能不计及测量行为产生的干扰。1）以“量子化”取代连续性，作用量子h的存在规定了干扰的范围，无法超越。2）以概率性描述取代“决定论”，使对测量的干扰不可控制，不可预测，不能校正。,量子现象不只属于被观测的客体，而是属于客体和仪器整体，反映的不仅仅是客体的存在和性质，而且是客体和仪器的“关系”。,犹如“瞎子摸象”，我们得出的各种结论不是互相排斥、对立的，而是互相补充协调的，共同揭示客体的属性。,必须记住，我们所观察的并不是自然本身，而是自然向我们的探索方法所暴露的一面。海森伯,微观客体的本来面目究竟如何？已超出经验范围，用经典概念和语言来描述只能是互补性的，不确定关系就是对互补原理的数学表述。,微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达，“波粒二象性”借用经典语言进行互补性描述。对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾。,量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程薛定谔方程是量子力学的基本方程。波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本假设之一。,15-3薛定谔方程,量子力学的建立,薛定谔（1887-1961）：奥地利物著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖。,薛定谔的波动力学把物质波表示成数学形式，建立了量子力学中描述微观粒子(如电子等)运动状态的基本定律,与经典力学中的牛顿运动定律地位相当。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到经典力学哈密顿方程。薛定谔方程在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。,1943年发表生命是什么？引导许多物理学家参与生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，开创了现代分子生物学，该文被誉为分子生物学的“汤姆叔叔的小屋”。,一、波函数概率密度,单色平面简谐波波动方程,一维自由粒子波函数,推广：三维自由粒子波函数,波函数的统计铨释（波恩Born）,代表什么？看电子的单缝衍射：,极大值,极小值,中间值,较多电子到达,较少电子到达,介于二者之间,波强介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,统一地看：粒子出现的几率正比于,2、概率密度,波函数的统计解释,t时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比,t时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的概率概率密度。,t时刻，粒子在空间的概率密度分布,的物理意义：,注意：,3、波函数的标准化条件与归一化条件,1）波函数具有有限性,在空间是有限函数,2）波函数是连续的,3）波函数是单值的,粒子在空间出现的几率只可能是一个值,4）满足归一化条件,因为粒子在全空间出现是必然事件,波函数的标准条件：单值、有限、连续,微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。,牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的，决定性的。,量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道|2大的地方粒子出现的可能性大，|2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）,德布罗意波的波函数与经典波的本质区别是什么？,经典波：实在的物理量（位移、场强.）随时间、空间按波动规律变化。德布罗意波：概率波。其波函数（概率幅）不表示实在物理量的波动，没有直接的物理意义。波函数的强度表示粒子在空间的概率密度分布。,练习.,练习.将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布概率将1）增大D2倍，2）增大2D倍，3）增大D倍，4）不变。,答案：D,解：利用归一化条件,例：求波函数归一化常数和概率密度。,W.海森堡创立量子力学，并导致氢的同素异形的发现,1932诺贝尔物理学奖,这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程,对于非相对论粒子,一维自由粒子的波函数,1、薛定谔方程,二、薛定谔方程,在外力场中粒子的总能量为：,一维薛定谔方程,三维薛定谔方程,拉普拉斯算符,哈密顿量算符,薛定谔方程,如势能函数不是时间的函数,代入薛定谔方程得：,用分离变量法将波函数写为：,2、定态薛定谔方程,粒子在空间出现的几率密度,几率密度与时间无关，波函数描述的是定态,定态薛定谔方程,粒子在一维势场中,E.薛定谔量子力学的广泛发展,1933诺贝尔物理学奖,质量为m的粒子在外力场中作一维运动,势能函数为：,当xa时，,三、一维无限深势阱,方程的通解为：,由边界条件,粒子的能量,一维无限深势阱中的粒子,四、一维势垒、隧道效应,一维方势垒是指粒子受到势能为,的作用，称为一维方势垒。,入射波,反射波,透射波,透射系数,当U0-E=5eV时，势垒的宽度约50nm以上时，透射系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。,经典量子,表面电流表面结构,狮子的能量必须满足,才能越过高墙,按经典的观点：,量子：同样用势能表示,狮子可能穿过势垒到左方,实际：,扫描隧道显微镜STM(Scanningtunnelingmicroscopy),原理：电子穿过金属表面的势垒形成隧道电流,隧道电流I与样品和针尖间距离a的关系,样品表面,隧道电流,扫描探针,计算机,放大器,样品,探针,运动控制系统,显示器,扫描隧道显微镜示意图,神经细胞的STM扫描图象,镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的扫描隧道显微镜照片。48个Fe原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波：,由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了1986年度的诺贝尔物理奖。,前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者，第三人是1932年电子显微镜的发明者，这里是为了追朔他的功劳。,罗赫尔,宾尼,鲁斯卡,五、一维谐振子,粒子的势能函数,薛定谔方程,算符的本征值方程,1.算符的本征值和本征函数,15-4力学量的算符表示,2.对应原理,对x求导并整理,所以动量算符,一、力学量的算符表示,动量算符,角动量算符,总能量算符,动能算符,坐标算符,3、力学量算符,1、态的叠加原理,电子双缝实验：,单缝“1”打开，“2”关闭，波函数为1,单缝“2”打开，“1”关闭，波函数为2,双缝都打开，波函数为：,二、力学量的平均值,双缝实验中：,干涉项,注意：双缝衍射出现的粒子几率分布正好与此结果相同。且只有波函数是复数时，几率密度才与实际相同。复数已本质地进入量子力学。这不同于用枪打靶时的概率相加。,（满足归一化条件）,态叠加原理：,即：,也是体系的一个可能状态。,2、力学量测量结果的概率,力学量在某态中的测量平均值：,3、力学量的平均值,例：在阱宽为a的无限深势阱中,一个粒子的状态为,多次测量其能量。问,每次可能测到的能量值和相应概率？,能量的平均值？,解：已知无限深势阱中粒子的,则,多次测量能量(可能测到的值),能量的平均值,概率各1/2,三、算符的对易和不确定关系,15-5氢原子的量子理论,1911年：卢瑟福在粒子散射实验基础上提出原子结构的有核模型（行星模型）。,遇到困难：理论与实验结果矛盾！,1913年：玻尔氢原子理论（旧量子论）原子结构的量子模型,复习玻尔氢原子理论要点，注意与量子力学结论对比,氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量是电子质量的1837倍，可近似认为质子静止，电子受质子库仑电场作用而绕核运动。,电子势能函数,电子的定态薛定谔方程为,一、氢原子的薛定谔方程,1.建立方程,氢原子中心力场是球对称的，采用球坐标处理。,定态薛定谔方程为：,用分离变量求解，令,代回原方程化简，得三个常微分方程:,2.求解过程中为了使波函数满足归一化条件和标准条件，自然引入三个量子数：n,l,ml,称为角谐函数,二、量子数的物理意义,2）l角量子数，表征“轨道”角动量量子化,即,电子云绕核分布，角向概率密度旋转对称,类比为玻尔理论中电子“轨道”运动，其“轨道”角动量量子化：,3)ml磁量子数，表征空间量子化,电子轨道角动量在空间取向只能沿一些不连续的特殊方向，使在z方向分量取值量子化,1、主量子数n,决定着氢原子的能量,2、角量子数l,角动量大小,3、磁量子数ml,角动量空间取向量子化,小结：氢原子系统的量子化,电子的几率分布,代表电子在体积元内出现的几率。,归一化条件：,因此上式中径向积分等于1，同时角部分的积分也必须归一。,在半径r到r+dr的球壳内找到电子的几率,径向几率密度为：,计算表明径向波函数的节点数,通常把节点数为零（）的“态”，称为圆轨道，例如：1s,2p,3d,，它们极大值的位置：，其中是第一玻尔轨道半径。,驻波,1)径向概率分布：,称为最概然半径。,电子的径向几率分布,电子的几率密度随角度的变化,电子在附近的立体角内的几率：,2)角向概率分布,电子在某方向上单位立体角内出现的概率对z轴旋转对称分布，与无关。,核外电子的角向概率分布(xz断面）,电子在核外不是按一定的轨道运动的，量子力学不能断言电子一定出现在核外某确切位置，而只给出电子在核外各处出现的概率，其形象描述“电子云”,一、电子自旋,自旋量子数,证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。即角动量在空间的取向是量子化的。,15-6多电子原子中的电子分布,1921年，斯特恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发现一些处于S态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。,1.史特恩-盖拉赫实验,目的：研究角动量空间量子化,（德国.18881969）,实验现象：屏上几条清晰可辨的黑斑,结论：原子磁矩只能取几个特定方向，即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。,原子炉,准直屏,磁铁,2.电子自旋,对应的经典模型及解释：相当于电子具有绕自身轴自旋的内禀角动量，分裂是自旋磁矩与磁场相互作用的结果。,斑纹条纹数=2l+1,从斑纹条纹数可确定角量子数l,发现：Li,Na,K,Cu,Ag,Au等基态原子的斑纹数为2,角动量在外磁场方向（取为z轴正向）的投影,概念的提出,1924年泡利为解释“反常塞曼效应”提出电子具有第四个自由度，但认为无对应的经典模型。美国克罗尼格提出“自旋”被否定。,荷兰物理学家埃伦斯非特的学生乌伦贝克、高斯米特独立提出电子自旋模型，得到埃伦斯非特、洛仑兹、海森伯、爱因斯坦、玻尔、托马斯等的关心和帮助,1926年电子自旋模型得到承认。泡利将其纳入量子力学体系。狄拉克建立相对论量子力学，自然得出电子具有内禀角动量的结论。,1925年，乌仑贝克(G.E.Uhlenbeck)和高德斯密特(S.A.Goudsmit)提出：除轨道运动外，电子还存在一种自旋运动。电子具有自旋角动量和相应的自旋磁矩。,自旋角动量,自旋角动量的空间取向是量子化的，在外磁场方向投影,电子自旋及空间量子化,“自旋”不是宏观物体的“自转”只能说电子自旋是电子的一种内部运动,二、多电子原子系统,多电子的原子中电子的运动状态用(n,l,ml,ms)四个量子数表征：,（1）主量子数n，可取n=1,2