2011年高考数学一轮复习 第7章《立体几何》空间几何体的表面积与体积精品课件

学案2空间几何体的表面积与体积,返回目录,一、棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面面积计算公式:S直棱柱侧=.即直棱柱的侧面积等于它的.2.设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h，则正n棱锥的侧面积的计算公式:S正棱锥侧=,即正棱锥的侧面积等于它的.,ch,底面周长和高的乘积,nah=ch,底面的周长和斜高乘积的一半,考点分析,返回目录,3.设棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a，周长为c，斜高为h，则正n棱台的侧面积公式:S正棱台侧=.4.棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等于.5.半径为R的球的表面积公式:S球=，即球面面积等于它的.,大圆面积的四倍,n(a+a)h=(c+c)h,侧面积与底面积的和,4R2,6.柱、锥、台的侧面积公式的内在联系.二、棱柱、棱锥、棱台和球的体积,返回目录,1.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的,即V柱体=.底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱=.2.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体=.如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积V圆锥=.3.如果一个台体（棱台、圆台）的上、下底面的面积分别是S,S，高是h，那么它的体积V台体=h(S+S).如果圆台的上、下底面的半径分别是r,r，高是h，则它的体积是V圆台=h(r2+rr+r2).,返回目录,底面积S和高h的乘积,Sh,r2h,Sh,r2h,返回目录,4.如果球的半径为R，则它的体积V球=R3.5.柱、锥、台的体积公式的内在联系.,返回目录,已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.,【分析】求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特征直角梯形，转化为平面问题来求解所需几何元素.,考点一多面体的表面积问题,题型分析,返回目录,【解析】如图所示，正三棱台ABCA1B1C1中，O,O1为两底面中心，D，D1为BC和B1C1的中点，DD1为棱台的斜高.设A1B1=20，AB=30，则OD=5,O1D1=，由S侧=S上+S下，得（20+30）3DD1=(202+302),DD1=.在直角梯形O1ODD1中,O1O=棱台的高为cm.,返回目录,【评析】求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如圆柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系.,对应演练,已知正三棱锥的侧棱长为10cm，侧面积为144cm2，求棱锥的底面边长和高.,设斜高为xcm，则x=1443，x2=36或64.x=6或8（cm）.底面边长为2=16或12（cm）.,返回目录,OC1=16=（cm）.OC2=12=4（cm）.在RtSOC中,SO2=答:棱锥的底面边长为16cm,高为cm或底面边长为12cm,高为2cm.,返回目录,返回目录,如图7-2-3,在ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.,【分析】首先要弄清该旋转体是由哪些基本的几何体组成的，再通过轴截面分析和解决问题.,考点二旋转体的表面积,【解析】如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.底面半径等于CO=，所以所得旋转体的表面积为S=OC（AC+BC）=(3+4)=；其体积为V=OC2AO+OC2BO=OC2AB=.,返回目录,返回目录,【评析】解决旋转体的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可.,返回目录,对应演练,如图所示，在直径AB=4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使BAC=30,将圆中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180形成一个几何体，求该几何体的表面积.,AB=4,R=2,S球=4R2=16,设DC=x,则AC=2x,BC=.在RtABC中,4x2+=16,x=.S锥侧上=rl=2=6,S锥侧下=rl=2=2.S表=（S球+S锥侧上+S锥侧下）=(11+).,返回目录,如图所示，长方体ABCD-ABCD中，用截面截下一个棱锥C-ADD，求棱锥C-ADD的体积与剩余部分的体积之比.,【分析】选择适当的量，分别表示出两个几何体的体积.,考点三多面体的体积,返回目录,【解析】已知长方体可以看成直四棱柱ADDA-BCCB.设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.而棱锥C-ADD的底面面积为S，高是h,因此，棱锥C-ADD的体积VC-ADD=Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥C-ADD的体积与剩余部分的体积之比为1:5.,返回目录,返回目录,【评析】求几何体的体积问题，可以多角度、多方位地思考，特别是对几何体的“割”与“补”，是在求几何体体积时常用的思想方法.在平面几何中对不规则图形面积的求解也是该思想的具体应用.,A.B.C.D.,返回目录,对应演练,如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为(),A（如图，分别过A，B作EF的垂线AG，BH,垂足分别为G，H,连结HC，GD，则ADGBHC为直棱柱.过G作GPAD于P，则AP=DP=，在RtAGE中，EG=，AE=1，,返回目录,AG=,在RtAPG中，GP=.SAGD=,VAGDBHC=，VEAGD=VFBHC=SAGDEG=，V=VAGDBHC+2VEAGD=.故应选A.）,返回目录,如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,求该几何体的体积(其中BAC=30).,【分析】先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状，再求表面积.,考点四旋转体的体积,【解析】如图所示，过C作CO1AB于O1，在半圆中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC=R,BC=R,CO1=R,又V球=R3,V圆锥=AO1=R2AO1，V圆锥=BO1=BO1R2，V几何体=V球-(V圆锥+V圆锥)=R3-R3=R3.,返回目录,返回目录,【评析】解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算.,对应演练,已知一个组合体的三视图如图7-2-10所示，请根据具体数据求几何体的体积(单位:cm).,返回目录,由三视图可知此组合体结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部又是一个圆柱.由条件中的尺寸可知:V圆锥=Sh=222=(cm3);V圆柱中=Sh=2210=40(cm3);V圆柱下=Sh=421=16(cm3).所以此组合体体积V=V圆锥+V圆柱中+V圆柱下=+40+16=(cm3).,返回目录,返回目录,如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB=90,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为.,【分析】将所求最值问题转化为熟悉的平面上的最值问题，易解决.,考点五曲面最值,【解析】由直三棱柱的性质得A1B=2,又A1C1B=90,A1C1=6,BC1=2,将A1C1B与BC1C沿BC1折放在同一平面内，则A1C为所求.,返回目录,返回目录,【评析】将A1PC1与BC1C放在同一平面内，找到A1C为所求最小值.,返回目录,如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.,对应演练,将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：,返回目录,abc,abacbc0.故最短线路的长为.,返回目录,返回目录,1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大.2.要注意将空间问题转化为平面问题.3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供便利.,高考专家助教,4.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切