结构力学第五章_结构的位移计算

第五章结构的位移计算,LastEdit:2009.8.12,2/72,本章主要内容：,1概述；2线性变形体系的功能原理;3结构位移计算的一般理论;4结构位移计算（荷载作用）的单位荷载法;5图乘法；6温度变化引起的结构位移7由于支座位移引起的结构位移计算。课后作业,3/72,5-1概述,4/72,5-1概述,一、结构位移的种类,结构在荷载和温度变化等外界因素的影响下将会发生变形，因而结构上各点或截面的位置可能发生改变即产生位移。,结构的位移可分为1线位移：结构上各点产生的位置移动2角位移：杆件横截面所产生的位置转动,变形体：在外界因素影响下产生变形（弹性变形和非弹性变形）的物体统称为变形体,5/72,5-1概述,一、结构位移的种类,6/72,5-1概述,一、结构位移的种类,绝对位移相对位移：两点或两截面相互之间位置的改变量,7/72,5-1概述,二、使结构产生位移的因素,1.荷载,结构在荷载作用下产生内力材料发生应变结构产生位移,2.温度变化,材料的热胀冷缩结构产生位移,3.支座位移,基础发生沉降结构支座移动、转动结构产生位移,4.其他因素,结构构件的尺寸制作误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等,8/72,5-1概述,三、计算结构位移的目的,1.验算结构的刚度,结构要满足强度、刚度、稳定性要求。结构的刚度：以其变形或位移来量度（在验算结构刚度时，需计算结构位移）。闸门：沿水流方向位移超过允许限度时，将使闸门的启闭受到阻碍，同时影响止水效果。结构设计规范中具体规定,2.计算超静定结构,计算超静定结构：静力平衡条件、变形协调条件（结构的位移）,本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下的作用。,9/72,5-1概述,三、计算结构位移的目的,3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据,(a)大跨度建筑中，结构变形产生明显的下垂现象不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。,(b)建筑起拱(起拱)：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲形式，用以抵消由挠度产生的下垂现象。(需要计算结构位移),10/72,5-1概述,三、计算结构位移的目的,3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据,大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时荷载的作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装时使构件准确就位；大型结构进行吊装时，需要合理设置起吊点，使安装部位产生的位移小而且较为均匀，便于安装就位。,11/72,5-1概述,四、线性变形体系的假设及其特性,1线性变形体系（线性弹性体系/线弹性体系）：满足两个基本假设的体系（1）材料是完全弹性的，服从虎克定律结构在荷载作用下，最大应力不超过材料的弹性比例极限（2）结构的变形(位移)是微小的，因此不影响荷载的作用(材料力学小变形假设)(不改变荷载作用点的位置和方向)应用静力平衡条件建立方程时，可以不计结构变形(位移)的影响，而采用原始的几何尺寸。,12/72,5-1概述,四、线性变形体系的假设及其特性,2线弹性体系的两个主要特性：,(1)结构的变形(位移)与其作用力成正比,柔度(影响)系数d：施加单位力时所产生的结构位移位移D：作用力为一般值时所产生的结构位移DKi第一个下标K位移所在的地点和方向DKi第二个下标i产生位移的原因有DKi=dKiPi,13/72,5-1概述,四、线性变形体系的假设及其特性,2线弹性体系的两个主要特性：,（2）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理,叠加原理：由若干因素共同作用时所产生的效果（内力、变形等），等于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。,14/72,5-2线性变形体系的功能原理,15/72,5-2线性变形体系的功能原理,一、外力实功,线性变形体系的功能原理是结构力学的重要理论基础,本节包括外力实功、实变形能、附加功或虚功的互等定理以及虚功原理等。,线弹性体系的静力加载过程,荷载:0P变形:0D两者同步加载过程中，加载速度缓慢，不至于引起振动，这样的家在过程，称为静力加载，相应的荷载为静力荷载,16/72,5-2线性变形体系的功能原理,一、外力实功,单位荷载对应的变形:d,当荷载到达最后数值:P,加载过程中荷载的值:F,外力做功增量,图示蓝色部分的面积,一、外力实功,17/72,5-2线性变形体系的功能原理,一、外力实功,一、外力实功,图示黄色三角形的面积,线弹性体系线性在静力荷载作用下，外力所做的实功等于外力的最后数值与其相应位移乘积的一半。,注意点：,(1)外力实功中，位移是由做功的力本身引起的，且外力是变化的(由零开始逐渐增加到其最后数值)。(2)计算外力实功时，力与位移必须相对应。,18/72,5-2线性变形体系的功能原理,一、外力实功,一、外力实功,计算外力实功时，力与位移必须相对应,19/72,5-2线性变形体系的功能原理,一、外力实功,一、外力实功,广义力：凡是做功的力统称为广义力,广义位移：与广义力相对应的位移统称为广义位移,广义力(集中力)广义位移(线位移),广义力(集中力偶)广义位移(角位移),广义力(一对大小相等方向相反的共线力)广义位移(相对线位移),广义力(一对大小相等方向相反的共线力偶)广义位移(相对角位移),20/72,5-2线性变形体系的功能原理,一、外力实功,一、外力实功,体系上多个外力共同作用时，总的外力实功,Di所有外力共同作用时，在i点沿Pi方向所产生的位移,21/72,5-2线性变形体系的功能原理,【例5-1】图示等截面直杆，在截面1-1和2-2处，分别作用沿轴线方向的静力荷载P1和P2，已知杆件截面积为A，材料弹性模量E，试求外力P1和P2所做的实功。,22/72,5-2线性变形体系的功能原理,23/72,5-2线性变形体系的功能原理,第一项:P1单独作用时所做的实功,第二项:P2单独作用时所做的实功,第三项:两个力的相互影响所产生的功,结论：计算外力实功时不能应用叠加原理。,24/72,5-2线性变形体系的功能原理,第三项的物理意义,先加载P1,P1做功:,再加载P2,P2做功:,由于P2作用,1-1截面再次下移Dl12,P1在附加位移Dl12上所做的功,“附加功”“虚功”,“附加功”用以区别于外力再其本身所引起的位移上所做的实功,25/72,5-2线性变形体系的功能原理,二、实变形能,线弹性体系，受到荷载作用，发生变形，荷载卸去后，变形消失。是什么力量能使体系消除变形的呢?,原因:加载过程中，外力作功，通过体系变形，转化为变形能储存到体系内部;卸载过程中，通过消除体系的变形，释放变形能,变形能:因弹性变形而积储或释放的能量，称为线弹性体系的变形位能(变形势能)，简称变形能。一般用U表示,实变形能:与外力实功相对应的变形能,虚变形能:与外力附加功(虚功)相对应的变形能,变形能以体系内力作功来量度的,26/72,5-2线性变形体系的功能原理,二、实变形能,从某体系的某根杆上任意截取微段ds，研究其内力变形,内力在相应位移上所做的内力实功实变形能；略去二阶微量,对于线弹性体系，三种变形能各自独立，由材料力学,m为剪应力不均匀分布系数，与截面形状有关矩形截面1.2，圆形截面32/17，工字形截面总面积A除以腹板面积AS，即A/AS,27/72,5-2线性变形体系的功能原理,二、实变形能,(1),将式(2)代入(1)，并在长度方向积分，得到一个杆件的实变形能,(2),累加所有杆件的实变形能，得到体系的实变形能,计算实变形能时，不能应用叠加原理(不能按单个荷载产生的实变形能累加得到全部荷载作用的实变形能),28/72,5-2线性变形体系的功能原理,三、实功原理-外力实功与实变形能的关系,线弹性体系，静力加载，只发生变形，不引起振动，故无动能的变化。,如果不计体系内部因材料应变发生内摩擦而损耗的微小热能，则体系上外力所做的实功，将全部被吸收转化为变形能(能量守恒)。,29/72,5-2线性变形体系的功能原理,四、附加功(虚功)的互等定理,实功：一批荷载在其本身产生的位移上所做的功附加功：一批荷载在别的因素产生的位移上所做的功,做功和位移的下标说明,TKi,第一下标K表示做功的荷载第二个下标i表示做功的位移是在哪个状态,DKi,第一下标K表示位移发生的位置第二个下标i表示引起该位移的荷载,1.附加功的互等定理,30/72,5-2线性变形体系的功能原理,四、附加功(虚功)的互等定理,第一组荷载在状态所做实功,第二组荷载在状态所做实功,第一组荷载在状态所做附加功,第二组荷载在状态所做实功,第一组荷载在状态所做实功,第二组荷载在状态所做附加功,31/72,5-2线性变形体系的功能原理,四、附加功(虚功)的互等定理,由于线性变形体系外力做的实功，与加载顺序无关，只与体系的初始状态和最终状态有关，所以两种加载次序下所得到的外力(Pi,Pk)实功相等,附加功互等定理:第一状态的外力在第二状态位移上所做的功，等于第二状态的外力在第一状态位移上所做的功。,32/72,5-2线性变形体系的功能原理,四、附加功(虚功)的互等定理,（1）位移互等定理力法解超静定梁,2.附加功的互等定理的推论,位移互等定理：第个单位力在第二个单位力方向上所产生的位移，等于第二个单位力在第一个单位力方向上所产生的位移。,注意：单位力广义力位移广义位移,33/72,5-2线性变形体系的功能原理,四、附加功(虚功)的互等定理,（1）位移互等定理力法解超静定梁,2.附加功的互等定理的推论,34/72,5-2线性变形体系的功能原理,四、附加功(虚功)的互等定理,（2）反力互等定理位移法解超静定梁,i状态的反力在k状态的位移做功,k状态的反力在i状态的位移做功,反力互等定理：第一个约束发生单位位移时在第二个约束中所引起的反力，等于第二个约束发生单位位移时在第一个约束中所引起的反力,35/72,5-2线性变形体系的功能原理,五、附加功原理,体系总的外力实功：,体系总的实变形能：,U11与T11相对应(实变形能),U22与T22相对应(实变形能),荷载单独作用时做功和变形能,由实功原理，T11=U11T22=U22(单独作用)T=U(共同作用),则有，T12=U12,同理可推知，T21=U21,一般情况Tik=Uik,i状态中的外力在k状态中的位移上所做的附加功，等于i状态中的内力因k状态中的变形而产生的附加应变能。,36/72,5-2线性变形体系的功能原理,五、附加功原理,根据：,线弹性体系的附加功原理(外力虚功与虚变形能的关系)方程称为虚功方程。可写为外力位移内力变形虚功原理需要涉及到两个状态：(1)一个状态取其外力和内力(2)一个状态取其位移和变形实际上一般只提供一个状态即实际状态，另一个状态假设(根据分析问题的需要设定)虚拟状态,37/72,5-2线性变形体系的功能原理,五、附加功原理,外力虚设虚力原理,外力位移内力变形,实际的位移(变形),虚拟的力系,位移虚设虚位移原理,外力位移内力变形,虚拟的位移(变形),实际的力系,虚功原理适用范围：线弹性体系，非线弹性体系产生的变形(位移)的原因可以为外界各种因素：(包括荷载、温度变化、支座沉降、制造误差等)小变形范围,38/72,5-4结构位移计算的一般理论,39/72,5-3结构位移计算的一般理论,一、结构位移计算的一般公式,虚功方程：,虚设Pi=1(虚拟状态)：,结构位移的一般计算公式（单位荷载法）,表示虚拟状态中由虚设单位力Pi=1所产生的内力,表示实际状态中结构杆件微段的变形。,表示实际状态中由于杆件变形引起的结构位移。,40/72,5-3结构位移计算的一般理论,二、虚拟状态的设置方法,虚拟状态中所设置的单位力与所求位移，必须符合广义力与广义位移的对应关系。,单位力是无量纲的量,41/72,5-3结构位移计算的一般理论,42/72,5-3结构位移计算的一般理论,43/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,44/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,虚力原理的应用(MaxwellMohr法),根据结构位移计算的一般公式,k状态：实际状态，内力以FNP、MP、FQP表示对线弹性体系，有,线弹性体系杆件结构在荷载作用下，结构位移计算的一般公式,45/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,一、桁架,二、梁和刚架,三、组合结构,链杆受弯杆件,四、曲杆和拱轴线的曲率半径较小采取同梁或刚架那样的处理方法较扁平的拱必须同时考虑轴向变形和弯曲变形两项影响(由于轴力较大，轴向变形显著),46/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,【例5-2】图示钢桁架，P=160kN，各杆用两个80mm5mm的等边角钢(2L805)，A=2791.2mm2，E=210GPa，试求DCV,47/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力(轴力),如图,160KN,160KN,0,0,200,120,120,120,200,48/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,49/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,【例5-3】图示简支梁，受到集中荷载FP作用，试求梁两端截面A、B的相对转角jAB,50/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,解,虚拟状态,在截面A,B施加一对反向单位力偶,确定实际状态下的弯矩方程(参见弯矩图),虚拟状态下的弯矩方程(参见弯矩图),正值表示与所设的一对单位力偶方向相同。,51/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,【例5-4】图示一等截面圆弧曲杆AB,截面为矩形，圆弧的圆心角为a,半径为R。设均布竖向荷载q沿水平线作用，试求B点的竖向位移DBV,52/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,虚拟状态：在B点加单位竖向荷载,取B点为坐标原点，任一点C坐标(x,y),圆心角q,计算实际状态和单位荷载作用下的内力,53/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,取q为积分变量,代入前三式,代入前三式，经整理计算,54/72,5-4结构位移计算(荷载作用)的单位荷载法,若,讨论：设,在题示给定的条件(受弯的梁/曲杆)下，弯曲变形对位移D的影响是主要的。一般轴力和剪力所引起的位移可以忽略不计。,55/72,5-5图乘法,56/72,5-5图乘法,一、图乘法的应用条件,(1)杆件轴线为直线直杆；(2)杆件是等截面的（或分段等截面的）EI=常数；(3)两个弯矩图中至少有一个是直线变化的（或分段直线变化）直线图形。可用图乘法求积分运算,57/72,5-5图乘法,二、图乘法公式推导,MK图面积对y轴的面积静矩,58/72,5-5图乘法,二、图乘法公式推导,注意点：(1)两个弯矩图中，一个取面积w，另一个取纵坐标yC,但纵坐标必须取自直线图中，并与面积w的形心相对应。(2)两个弯矩图在杆件的同一侧为正，反之为负。(3)实际上，梁和刚架的单位弯矩图是直线变化的。,59/72,5-5图乘法,二、图乘法公式推导,若弯矩图长度上由两根直线组成,60/72,5-5图乘法,若两个弯矩图均为梯形时,将梯形分解为两个三角形，分别与另一个弯矩图相乘后相加,61/72,5-5图乘法,若两个弯矩图均为梯形时,注：(1)如a、b、c、d分处于杆的不同侧边时，上式仍然适用注意正负号：“同侧相乘为正，异侧相乘为负”(2)如两个弯矩图中一个为梯形，另一个为三角形上式仍可应用。,62/72,5-5图乘法,三、几种常见图形的面积及其形心,注意:二次抛物线顶点处切线与基线平行,63/72,5-5图乘法,【例5-5】试用图乘法求简支梁C截面jC,64/72,5-5图乘法,1)确定虚拟状态,2)画出实际状态和虚拟状态的弯矩图,3)图乘,逆时针,65/72,5-5图乘法,【例5-6】图示阶梯形变截面梁，q=20kN/m，已知其弯曲刚度：AB段为4EI，BC段为EI。试求DCV,66/72,5-5图乘法,1)确定虚拟状态,2)画出实际状态和虚拟状态的弯矩图,3)图乘,AB段：,AB段：,矩形部分,抛物线部分,BC段：,67/72,5-5图乘法,【例5-7】图示刚架，EI常数，试求C、D两点沿CD方向的相对线位移DCD,68/72,5-5图乘法,虚拟状态,弯矩图,刚架轴力产生的轴向变形和剪力产生的剪切变形对于结构位移的影响忽略不计(参见第4节)。,69/72,5-5图乘法,CD之间的相对距离缩短,70/72,5-5图乘法,【例5-8】组合结构，CD杆横截面A200200mm2，AB和BE杆横截面为bh300600mm2，弹性模量E=30GPa，试求DBH,71/72,5-5图乘法,画出组合结构的实际状态和虚拟状态内力图(ABCE-弯矩图CD-轴力图),【分析】ABCE刚架，弯矩对位移有影响CD链杆,轴力对位移有影响,虚拟状态：在B处施加水平向右的单位力,实际状态的内力图未标单位kNm,虚拟状态的内力图,72/72,5-5图乘法,73/72,5-5图乘法,74/72,5-6温度变化引起的结构位移,75/72,5-6温度变化引起的结构位移,一般的建筑材料(钢，砼)都有热胀冷缩的特性，因此结构在实际使用过程中，如果其周围温度发生变化，则杆件将发生变形，因而结构可能引起位移。,在静定结构中，由于体系不存在多余约束，当温度发生变化时，结构及其各杆可以自由地发生(符合体系约束条件的)变形或位移，但不会引起任何的反力和内力。,t1,t2,均匀升温t1=t2,t1,t2,不均匀升温t1t2,76/72,5-6温度变化引起的结构位移,假设杆件内部的温度变化沿截面高度按直线变化,故杆件中性轴上的温度为,若h1=h2,微段的轴向变形：,微段的弯曲变形：,(杆件上、下侧温度差的绝对值),微段的弯曲变形：,微段的相对剪切位移：,77/72,5-6温度变化引起的结构位移,根据结构位移计算的一般公式,代入上述三式，得,78/72,5-6温度变化引起的结构位移,等直杆情况下，h为常量,若有a,t1,t2沿杆长不变,t0升高为正，降低为负wNi拉为正，压为负,wMi温度变化产生的弯曲变形与产生的弯曲方向相同时为正，反之为负,79/72,5-6温度变化引起的结构位移,注意：(1)温度变化时，杆件的轴向变形与其横戴面大小无关(截面很大的杆件，也可能产生显著的轴向变形)在梁、刚架计算中，由于温度变化引起的位移时，必须考虑受弯杆件的轴向变形对结构位移的影响。(2)温度升高或降低，均为相对温度，而不是绝对温度。,桁架：一般只承受轴力，故可得桁架由于温度变化引起的位移计算公式：,80/72,5-6温度变化引起的结构位移,【例5-9】AC、BC杆截面为矩形，高h300mm，已知材料的线膨胀系数为a，温度变化如图，试求结点C上两杆截面的相对角位移qC,81/72,5-6温度变化引起的结构位移,虚拟状态,绘制虚拟状态的轴力图和弯矩图提示：约束反力均为0,弯矩图,轴力图,链杆AB,t0=12,受弯杆ACBC中性轴温度,t0=(t1+t2)/2=3,上下温差,Dt=|t1-t2|=18,ACCB由于温度变化引起的弯曲为下凸上凹，而单位荷载下上凸下凹，故计算时该项取负号。,82/72,5-6温度变化引起的结构位移,结果为负值，表明结点C上两杆截面相对角位移实际方向与Mi=1假设的方向相反，即结点C上两杆的截面法线的夹角q减小,83/72,5-6温度变化引起的结构位移,求DCV的虚拟状态,如果结构均匀升温和降温，如图求DCVqC,各杆轴力,轴力图,结构成为桁架。确定虚拟状态的轴力,求qC的虚拟状态,(各杆按比例伸长或缩短，形状不变),84/72,5-6温度变化引起的结构位移,制造误差引起的结构位移,温度变化时：,at0l杆件由于温度变化引起的轴向变形现在是杆件长度的尺寸误差为me，用me代替at0l，则得杆件尺寸制造误差引起的结构位移计算公式为,me为杆件长度制造误差，超出量为正、短缺量为负,85/72,5-6温度变化引起的结构位移,例：图示桁架，为建筑起拱，制作时有意把DE杆的长度超出me=10mm，试求DCV,Pi=1,其实只要求DE杆的单位内力,=7.5mm,能达到建筑起拱的目的,86/72,5-