第22讲 等比数列

第22讲等比数列,复习目标：1.掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单问题；2.了解等比数列的概念，会求两数的等比中项；3.利用等比数列的性质解决相关问题；4.掌握等比数列前n项和公式，并运用公式解决简单问题；5.能在具体问题情境中发现数列的等比关系，并能利用上述知识解决有关的应用问题。,知识要点,1.相关概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列就叫做等比数列(geometricprogression),这个常数就叫做等比数列的公比(commonration),通常用字母q表示.(an+1/an=q)若a,G,b成等比数列，则称G为a,b的等比中项，且G=ab.,知识要点,2.等比数列的通项公式与前n项和公式等比数列an中，其首项为a1,公比为q,则其通项公式an=a1qn-1.(an=Aqn)等比数列的前n项和公式：Sn=或Sn=Aqn-A（其中A=a1/(q-1),na1(q=1),疑难释疑,Q1:对等比数列的理解应注意哪几点？(1)an0,q0;(2)常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.比如：常数列的各项为0时，它就不是等比数列.(3)证明一个数列为等比数列，其依据是：an+1/an=q(非零常数).(4)等比数列的求和公式的使用注意对q的讨论.(5)数列an的前n项和为Sn=Aqn+B(A,B,q0),则数列an为等比数列的充要条件是A+B=0.,疑难释疑,练习1：已知数列an的前n项和为Sn=2an+1.求证：an是等比数列，并求出其通项公式,知识要点,3.等比数列的性质：推广通项公式：an=amqn-m;推广中项公式：若m+n=2k,则ak2=aman;下标和性质：若m+n=p+q,则aman=apaq；项的其它性质：比较多，不一一列举；连续等间隔相应项的和性质：(慎重)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,.,仍成等比数列(q-1).,(1)已知等差数列an的公差为d0,且a1,a3,a9成等比数列，则:(2)在等比数列an中,若a9+a10=a,a19+a20=b,则a99+a100=_.(a,b0)(3)等比数列的前n项和为Sn,若S2=7,S6=91,求S4=_.(作比值，和的性质角度)(4)等比数列an中，已知a7a12=5,则a8a9a10a11=_(5)已知等比数列an,若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an=_.,练习2,例题讲解,例1.已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6,且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项。,an+1-an=5(常数),d=5,a1=2,例题讲解,例2.有正数组成的等比数列an,若前2n项和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第三项与第四项之和为第二项与第四项之积的11倍，求数列an的通项公式.,an=1/10n-2,例题讲解,例3.我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列an依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与他左边一格的数之和”的规则填写其他空格.,例4.(1)设第2行的数依次为B1,B2,Bn,试用n,q表示B1+B2+Bn的值；(2)设第3列的数依次为c1,c2,c3,cn,求证：对于任意非零实数q,c1+c32c2;(3)能否找到q的值，使得(2)中的数列c1,c2,c3,cn的前m项c1,c2,cm(m3)成等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由；(4)能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由。,例题讲解,例题讲解,1q1q21+q1q31+q+q22+q1q41+q+q2+q33+2q+q23+q1q5