22量子物理(Mi)

第二十四章,量子物理的基本概念,24-1热辐射普朗克的量子假设,一、热辐射,物体中的分子、原子受到热激发而发射电磁波。,铁块加热：,不发光,这说明能量按波长（或频率）的分布随物体的温度而不同。,这种能量按波长（或频率）的分布随物体的温度不同而不同的电磁辐射，称为热辐射。,物体在任何温度下都向四周发射不同波长的电磁波，单位时间内辐射能量的多少和辐射能量按波长的分布决定于物体的温度。,人体热辐射能量集中在红外波段。,二、描述热辐射的基本物理量1.单色辐出度(辐射度)M(T),温度为T的物体单位时间内从单位表面积发射的波长在附近单位波长区间内的能量。,单位：,即波长在-+d范围内的辐射能dM与波长间隔d之比，,意义：反映不同温度下物体的辐射能按波长分布的情况。,能谱,2.辐出度(总辐射度)M(T),物体单位时间内从单位表面积发射的各种波长的总辐射能。,几何意义：能谱曲线下所围的面积。,单位：,3.单色吸收比和单色反射比,吸收比：被物体吸收的能量与入射能量之比。,反射比：反射能量与入射能量之比.,物体不透明时，,当时，则称为绝对黑体或黑体。,在+d波长区间内的吸收比。,在+d波长区间内的反射比。,单色吸收比：,单色反射比：,三、基尔霍夫辐射定律,在相同温度下，对各种不同材料的物体，同一波长处的单色辐出度与单色吸收比的比值都相等，并等于同一温度的黑体在同一波长处的单色辐出度。即,或,(1)物体的辐射能力越强，吸收能力也越强,好的发射体，必定是好的吸收体。(2)在相同温度的各种物体中,对任何波长,黑体的吸收本领最大，发射本领也最大。,讨论：,四、黑体辐射的实验定律1.黑体模型：,开小孔的腔体,小孔辐射为黑体辐射。,T增大，曲线峰值上升。,随T的升高，峰值所对应波长m减小。,曲线分布规律：,用分光技术测出不同温度黑体的单色辐出度按波长分布的曲线。,2.黑体辐射的实验定律,1879年德国物理学家斯特藩实验得到黑体的总辐射度,(1)斯特藩-玻耳兹曼定律,=5.6710-8Wm-2K-4,-斯特藩常数,几何意义：曲线下的面积与温度四次方成正比。,(2)维恩位移定律,b=2.89710-3mK,1893年德国物理学家维恩推出,m:最大单色辐出度对应的波长,太阳的温度：太阳辐射能谱很接近温度为5800K黑体的能谱，这说明太阳是表面温度为5800K的黑体。,黑体辐射定律的应用：,该定律说明随着T的增大，m向波长短的方向移动。,红外遥感技术：地表温度300K,相应的m10m,属红外波段。卫星在该波段测地表的热辐射，进行各种探测。,宇宙3K背景辐射：宇宙大爆炸学说预言，今日宇宙中应残留2.7K的热辐射。1964年被美国彭齐亚斯和威尔孙的射电测量证实。,例:实验测得太阳辐射波谱的m=490nm,计算(1)太阳单位表面积上的发射功率；(2)地球表面阳光直射的单位面积接收的功率；(3)地球每秒接收的太阳辐射能。太阳半径RS=6.96108m,地球半径RE=6.37106m,日地距离d=1.4961011m。,分析:(1)求太阳单位表面积的辐射功率即求辐出度MB(T),先从维恩位移定律求T。,解:(1),(2)太阳辐射为球面波，其表面辐射总功率,地球轨道处单位面积接收到垂直入射阳光的功率,(3)地球接收的辐射功率,19世纪末，物理学最引人注目的课题之一：从理论上导出与实验能谱曲线相符的黑体单色辐出度数学表达式。,五、普朗克公式和量子假设,c1,c2:实验确定的经验参数,维恩的半经验公式-假设黑体辐射能谱分布类似于麦克斯韦速率分布，,仅在短波段与实验曲线相符。,维恩线,1.维恩公式和瑞利-金斯公式,瑞利-金斯公式-根据经典的能量均分原理导出,只适用于长波段。,-“紫外灾难”,2.普朗克经验公式,该结果与实验曲线符合得很好。,德国物理学家普朗克综合维恩和瑞利-金斯公式，利用内插法得出,C1和C2分别为第一和第二辐射常数。,为寻求理论依据，普朗克“绝望地”,“不惜任何代价地”提出了能量量子化的假设。,3.普朗克的能量量子化假设,1900年普朗克提出假设:,辐射黑体的分子和原子的振动可看成谐振动，这些带电谐振子的能量以及它们吸收或辐射的能量都是不连续的，只能是一些离散的值（量子化）;频率为的振子能量只能取=h的整数倍。,称为能量子,-普朗克常数,-普朗克公式,由能量量子化的假设，普朗克从理论上导出公式,根据能量量子化的假设，从理论上导出了普朗克经验公式。,普朗克1918年获诺贝尔物理学奖。,说明：对普朗克公式由积分即得斯特藩-玻耳兹曼定律,对普朗克公式求MB(T)极值，即得维恩位移定律,光电效应：金属在光的照射下发射电子的现象。,24-2光电效应爱因斯坦的光子理论,一、光电效应的实验规律,这表明单位时间内，阴极逸出的光电子数与入射光强成正比。,1.饱和电流与入射光强成正比,IU特性曲线,饱和电流,截止电压,2.存在遏(截)止电压Ua,光电子逸出时最大初动能满足,反向电压加至Ua时光电流为零。Ua与入射光强度无关.,3.存在遏止频率0（红限）,实验得到遏止电压与入射光频率成线性关系：,:与金属种类有关的恒量,:与金属无关的普适恒量,最大初动能与入射光频率成线性关系，而与入射光强无关。,存在遏止频率(红限),入射光频率小于红限时，不论光的强度多大，都不能发生光电效应。,4.存在弛豫时间光电子几乎是即时发射的，从光入射到电子逸出，弛豫时间不超过10-9s。,二、光的波动理论的缺陷,波动说,金属中电子吸收光能逸出,其初动能决定于光振动振幅,即由光强决定。,实验结果,初动能与入射光频率相关，而与入射光强无关。,光的强度足够时，光电效应对各种频率的光都会发生。,存在遏止频率(红限)。,电子吸收光波能量只有到一定量值时，才会从金属中逸出。,光电子几乎是即时发射的。,波动说,实验结果,三、爱因斯坦的光子理论,1905年爱因斯坦受普朗克的能量子学说启发，提出光子假设：,一束光就是一束以光速运动的粒子流，这些粒子称为光子。频率为的光的每一光子具有能量h。,光有波粒二象性！,1.光子假设,2.爱因斯坦光电效应方程,一个自由电子吸收一个光子后从金属表面逸出，由能量守恒有,逸出功,-光电效应方程,即,又可写为,对比光电效应方程可得,3.爱因斯坦的光子理论对光电效应的解释,光强大,光电子动能(或遏止电压)与光频率成线性关系，与入射光强度无关。,饱和电流,遏止电压Ua,光子能量一次性地被一个电子吸收，不需要积累能量的时间。,爱因斯坦1921年获诺贝尔物理学奖。,0才能产生光电效应，与入射光强度无关.,遏止频率0（红限）,弛豫时间,例:波长为2500、照射强度为2W/m2的紫外光照射钾,钾的逸出功为2.21eV,求：(1)所发射的电子的初动能；(2)每秒从钾表面单位面积所发射的电子数。,解:(1)应用爱因斯坦方程,(2)每个光子的能量,因一个光子被吸收后只能释放一个电子,故每秒从钾表面单位面积所发射的电子数,一、康普顿实验,24-3康普顿效应,1923年美国物理学家康普顿研究物质x射线通过时的散射现象时发现,散射x射线中除了有与入射线波长0相同的射线外，还有0的射线。,这种波长发生改变的散射称为康普顿效应。,康普顿效应是对光子理论的重要验证，康普顿1927年获诺贝尔物理学奖。,探测器,石墨,x射线管,实验装置,1.经典波动理论无法解释该效应,经典波动理论:光作用使带电粒子作同频受迫振动，辐射同频光波(散射光)，波长应不变。,光子与自由电子或束缚较弱电子发生弹性碰撞，,2.光子理论的定性解释,光子的一部分能量传给电子，则散射光子能量小于入射光子。,二、光子理论对康普顿效应的解释,光子与整个原子作弹性碰撞，而原子质量比光子大的多，所以光子不会显著失去能量，即有=0或=0，散射光中有一部分保留原波长的光。,或,即,光子与束缚很紧的电子发生碰撞时,3.波长的变化的定量推导,光子与静止自由电子发生弹性碰撞.,前,光子：,能量,动量,电子：,后,光子：,电子：,动量守恒,x方向,y方向,消去得,(1),能量守恒,上式也可从动量的矢量关系得到。,(2),两边平方得,(3),(3)-(1)得,(1),两边同除以,或,-电子的康普顿波长,其中,=0时，=0；=时，=2c为最大值。,讨论：(1)与散射角有关，,(2)与0以及散射物质种类无关.不论入射光的波长多大，都相同。,对可见光,波长的相对改变量,康普顿效应不易觉察。,只有x射线和射线的康普顿效应才显著。,例:(例24-2,P.670)波长0=0.01nm的x射线与静止的自由电子碰撞,现从与入射方向成900角的方向去观察散射辐射。求：(1)康普顿散射x射线的波长;(2)反冲电子获得的动能和动量。,解:(1),(2),反冲电子获得的动能,根据碰撞前后动量的矢量关系,一、氢原子光谱的规律性,25-1氢原子光谱玻尔的氢原子理论,6563,4861,4341,4102,3646,1885年瑞士的巴耳末用经验公式表示出氢原子的可见光谱线前四条波长：,紫外区：莱曼系,可见光区：巴尔末系,红外区：帕邢系，布拉开系，普丰德系，哈弗莱系,B=365.47nm,用波数(波长的倒数)表示：,-巴耳末公式,1889年瑞典物理学家里德伯提出一个普遍方程,R=1.096776107m-1,-里德伯公式,-里德伯常量,k=1,n=2,3,莱曼系,紫外区k=2,n=3,4,巴尔末系,可见光区k=3,n=4,5,帕邢系,红外区k=4,n=5,6,布拉开系,红外区k=5,n=6,7,普丰德系，红外区k=6,n=7,8,哈弗莱系,红外区,不同的k对应不同的谱系:,里德伯公式反映了原子的内在规律。,玻尔的氢原子理论揭示了这种规律。,二、玻尔的氢原子理论,1897年英国物理学家汤姆逊通过阴极射线实验发现了电子。,1904年汤姆逊提出原子的“嵌梅布丁”模型：每个电子分布在正电荷组成的球中，并绕平衡位置震荡。,1.卢瑟福原子模型及其困难,1907年卢瑟福等人通过粒子对原子核的散射实验否定了汤姆逊模型。,离中心越近散射角越大,1911年卢瑟福提出原子核模型：原子是由带正电的原子核和核外作轨道运动的电子组成。,卢瑟福原子模型的困难：原子的不稳定性：电子绕核转动具有加速度发射电磁波能量减少作螺旋运动落入原子核不稳定,原子光谱无分立性：发射电磁波的频率等于电子绕核转动的频率电子作螺旋运动的频率连续变化光谱为连续光谱,2.玻尔理论的基本假设,1913年丹麦物理学家玻尔在卢瑟福核模型基础上，结合普朗克量子假设和原子光谱的分立性，提出假设：,(1)定态假设：原子系统只能处在一系列不连续能量的状态。在这些状态中，核外电子在一定的轨道上作圆周运动，虽然是加速运动，但不发射电磁波，这些状态是稳定的(定态)。,(2)频率条件(跃迁假设):当原子从一个能量为En的定态跃迁到另一个能量为Ek的定态时，就要发射或吸收一个频率为kn的光子。,EnEk-发射光子,EnEk-吸收光子,(3)量子化条件:电子在稳定圆轨道上运动时，其轨道角动量L=mvr必须等于h/2的整数倍，即,-约化普朗克常数,-量子数,1922年玻尔因对原子结构和原子放射性的研究获诺贝尔物理学奖。,三、氢原子轨道半径和能量的计算1.轨道半径,根据牛顿定律和库仑定律有,而,得,代入上式，得,r1=0.52910-10m,时，,-玻尔半径,-轨道半径量子化,氢原子的能量等于电子的动能和电势能之和，,由,得,2.能量,-能量量子化,则,而,量子化的能量称为能级。,时，,能级处于激发态。,此时能级趋于连续，原子趋于电离，即基态氢原子的电离能为13.6eV。,此时能级处于基态，能量最低，原子最稳定。,电子轨道,能级,基态,激发态,四、玻尔理论对氢原子光谱的解释,氢原子从高能级En跃迁到低能级Ek时，氢原子的发光频率为,波数为,-里德伯公式,其中,-与实验结果符合得很好,玻尔理论的缺陷：,以经典理论为基础，其定态时不发出辐射的假设又与经典理论相抵触.,量子化条件没有适当的理论解释.,玻尔理论只能求出谱线频率，对强度、宽度和偏振等都无法解释.,一、德布罗意波,24-4微观粒子的波动性,与光子类比，粒子具有波长。,1924年法国年轻的博士德布罗意提出设想：实物粒子与光一样也具有波粒二象性。（实物粒子具有波动性！）,光子动量,粒子动量,粒子的波长,-德布罗意公式,vC时，,光子能量,粒子能量,还可引入粒子频率：,粒子频率,1929年德布罗意获诺贝尔物理学奖。,与实物粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。,1927年美国的戴维孙和革末实验证实了实物粒子波动性。,二、实物粒子波动性实验,观察到在晶体表面电子的衍射现象与x射线的衍射现象相类似。,电子枪,探测器,镍单晶,-电子具有波动性,1.戴维孙-革末实验,静止的电子经电场加速，加速电势差为U，电子速度vC,电子的德布罗意波长,-波长的量级与x射线相似,电子束照射到镍单晶体上也会出现衍射现象。应符合布拉格方程。,实验测得U=54V,=500时，强度为极大。,满足布拉格方程时，掠射角为的电子束，沿反射方向电子束的强度为极大。,则,计算德布罗意波长：,理论计算的德布罗意波长,-与实验结果相符,取k=1,得,已知晶格常数,同年(1927年)，小汤姆逊让电子束穿过多晶薄膜后，得到了与x射线实验极其相似的衍射图样。,戴维孙和小汤姆逊同获1937年诺贝尔物理学奖。,2.证明实物粒子波动性的其他实验,大量实验证实除电子外，中子、质子以及原子、分子等都具有波动性，且符合德布罗意公式。,-一切微观粒子都具有波动性,1961年约恩逊的电子衍射实验,在某一时刻，空间各点附近粒子出现的概率不同。粒子在亮纹处出现的概率大，暗纹处出现的概率小。,三、德布罗意波的统计解释,1926年德国物理学家玻恩首先提出概率波的概念。(参见24-5部分内容),或大量粒子同时通过圆孔，粒子在屏上各处分布的密度不同。,对粒子出现的概率的理解:,让粒子逐一通过圆孔，一个粒子落在屏上哪一点有偶然性；但大量粒子在屏上各处分布的密度不同。,大量粒子在屏上的分布具有规律性，对粒子密度大的区域，称粒子在该区域出现的概率大。,宏观物体也具有波动性，但德布罗意波长太小，其波动性很难显示。,例:（例24-4，P.673）子弹质量m=0.01kg,子弹从枪筒射出速度v=300ms-1，把枪口视为小孔，由于小孔衍射效应，子弹是否会偏离目标？,解：子弹的德布罗意波长,波长远小于小孔直径。无法观察到小孔衍射效应，子弹不会偏离目标。,电子显微镜原理：,电子显微镜具有很高的分辨率和放大倍数，能直接观测大型分子和大型单个原子的尺寸。,提高分辨率的方法：提高加速电压，减小电子的德波罗意波长，提高成像的分辨率。,利用电子的波动性成像。,圆孔衍射的分辨率,光学显微镜的可见光,电子显微镜,分辨率提高10万倍！,经典力学中运动物体具有完全确定的位置、动量、能量、角动量等.,24-6不确定关系,微观粒子由于有明显的波动性，粒子在空间各个位置上以一定的概率出现，粒子的位置具有不确定性。,同样，粒子的动量、能量和角动量等也具有不确定性。,一、不确定量概念,这种不确定性具有一定的范围，该范围称为不确定量。,以电子单缝衍射实验为例：,衍射电子位置的不确定量：,设垂直入射到单缝上的电子束速度为v,狭缝宽度为d。,就射到屏幕上的单个电子来说，不能确定它通过狭缝时的精确位置x。,所以位置沿x轴方向有不确定量x=d。,但,衍射电子动量的不确定量：,先考虑中央明纹区。该区域衍射电子动量有不同方向，x方向动量大小的范围为,x方向动量大小的不确定量为,单缝衍射第一级暗纹满足,二、位置和动量的不确定量的关系,考虑其它高级次衍射条纹有,-粗略结果,1927年德国物理学家海森伯由量子力学得到位置与动量不确定关系,得,量子力学还推出能量与时间之间有如下的不确定性关系：,1932年海森伯获诺贝尔物理学奖。,-约化普朗克常数,海森伯公式的物理意义：,微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。,x=0,px;px=0,x,位置确定时,动量完全不确定。反之亦然。,粒子位置的不确定量越小，动量的不确定量就越大，反之亦然。,说明：由于粒子不可能同时具有确定的位置和动量，所以粒子没有确定的轨道。或者说粒子有许多可能的轨道,每个轨道以一定的概率出现。,不确定性关系仅是波粒二象性及其统计关系的必然结果，而不是测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器的测量误差所致。,例：(例24-7，P.680)原子的线度约为10-10m，求原子中电子速度的不确定量。并与电子在原子中运动速度106m/s相比较。,解：电子位置的不确定量,根据,得,v与v在数量级上相同，粒子波动性十分明显，因此用经典方法讨论原子中电子的速度没有实际的意义。,电子的位置和速度的不确定性，使它没有确定的轨道。电子运动必须用电子在各处的概率分布来描述。,例：(例24-6，P.680)设子弹的质量为0.01kg，枪口的直径为0.5cm,求子弹射出枪口时横向速度的不确定量.,解：,子弹的速度和轨道视为确定的。,例：(例24-8，P.681)氦氖激光器所发红光波长为=632.8nm,谱线宽度为=10-9nm，求当这种光子沿x方向传播时，它的x坐标的不确定量多大？,解：,谱线宽度表示波长分布在一定范围内，则动量也有一定范围。,只计数值时，去除负号，,根据,得,取等号计算光子的位置不确定量，,24-7波函数薛定谔方程,(参见24-5,P.676),一、波函数及其统计解释,1.波函数,从机械平面波与物质波类比，导出波函数。,奥地利物理学家薛定谔提出用德布罗意波的波函数来描述微观粒子的运动状态，反映粒子在空间各处出现的概率。,写为复数形式并取其实数部分,沿x方向传播的机械平面波波动方程为,引用上面复数形式的波动方程，对能量为E、动量为p的自由粒子，其平面物质波波函数写为,自由粒子在三维空间运动时有,2.波函数的统计意义,在光的衍射中，光强大的地方，单位时间内到达的光子数多，光子在该处出现的概率较大,光强小的地方，光子出现的概率较小.,把物质波与光波类比，引用到粒子上。,光的强度。,光子出现的概率与光振动的振幅成正比。,粒子在某时刻某处出现的概率与波函数振幅平方成正比，即与波函数模的平方成正比。,*为的共轭复数。,在三维空间,它表示t时刻在位置(x,y,z)处单位体积内粒子出现的概率，称为概率密度。,一维情况下，概率密度表示t时刻在位置x处单位长度内粒子出现的概率。,则粒子出现在（x,y,z）处体积元内的概率为,物质波又称为概率波。,说明：,经典波动方程描写实在物理量在空间中的传播过程。,概率波的波函数不代表实在物理量的传播过程。,波函数本身没有直接的物理意义，只有其模的平方才有物理意义。,归一化条件：对粒子存在的所有空间积分,3.波函数的标准条件（数学特征）,单值：某时刻粒子出现在某点的概率是唯一的。,有限:粒子出现的概率应是不大于1的有限值。,连续:概率不应出现突变。,二、薛定谔方程,如何求得粒子的波函数？,波函数从薛定谔方程解出。,薛定谔方程是薛定谔“猜”和“凑”出来的。,薛定谔方程应用于微观粒子，从方程解出的结果与实验的结果相符，证明了薛定谔方程的正确性。,薛定谔方程是量子力学的基本方程，不可能从其它更基本的方程推导出来。,薛定谔方程在量子力学中的地位和作用，相当于牛顿方程在经典力学中的地位和作用。,若已知粒子运动所满足的薛定谔方程，可从方程求出波函数，从而掌握粒子的运动情况。,1.自由粒子的薛定谔方程,设自由粒子沿x轴方向低速运动，,波函数,自由粒子的E和p都是定值，上式对x求两次导得,写为,比较(1)、(2)式得,(2),波函数对t求导,写为,(1),-一维运动自由粒子的含时薛定谔方程,在势场U(x,t)中,粒子的总能量为,2.势场中低速运动粒子的薛定谔方程,(1),(2),在势场中粒子的E和p都是x、t的函数，假设上面的(1)、(2)式仍成立，,得,把总能量E的表达式代入(2)式，,把(1)式,即,代入上式得,-势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程,推广到三维空间,引入拉普拉斯算符,-一般的薛定谔方程,1925年薛定谔提出其方程，1933年获得诺贝尔物理学奖。,定态：势能函数与时间无关。在一维运动中，即。,这表示粒子在稳定的力场中运动。粒子的能量等于动能与势能之和，即,它是不随时间变化的恒量,即能量守恒。,3.定态的薛定谔方程,在定态情况下，方程可用分离变量法求解，波