数学概念教学的实践与思考.doc

“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”结题报告之一数学概念教学的实践与思考陶维林 （江苏南京师范大学附属中学 210003） 自2006年10月参加“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”课题研究，笔者在教学中更多地运用从课题研究中学习到的一系列理论，尤其是教学设计的理论；在课题研究中，受到了来自课题组其他老师的经验、点拨获得启发，在教学中更多地加强了对教学设计的研究本文小结在课题研究中，笔者所实施的课堂教学的几个案例，并对有关概念教学的教学设计作出一些思考，供同行参考不当之处，敬请指正1概念教学应该围绕概念的核心展开核心概念的教学应当围绕概念的核心展开，教学设计应该加强对概念核心的理解的教学设计函数概念是中学数学中的核心概念之一，函数的思想和方法贯穿高中数学课程的始终理解函数概念及由其反映的数学思想方法，学会用函数的观点和方法解决数学问题和现实问题，是高中阶段最重要的数学学习任务之一因此，搞好函数概念的教学至关重要另一方面，函数概念因为其高度的抽象性而成为最难把握的概念之一，无论是教师的教还是学生的学都存在很大困难函数概念的核心是“对应关系”（也称为对应法则），围绕“对应关系”这个核心开展教学就显得十分重要但是，笔者曾经在某地一所比较好的学校教学函数的概念，这些学生其实已经学习过函数概念，但是30人中仍然有29人认为由图象给出的函数以及由表格给出的函数，其“对应关系”是说不出来的因为其对应关系“说不出来”，所以认为以图象形式表示的以及以表格形式表示的函数都不是函数291，这不应该是学生的问题由此暴露出，在函数教学中关于“对应关系”是什么的教学并没有得到落实在函数概念教学中，教师常常把重心放在定义域、值域的计算上，放在有解析式表示的那些函数上教学中即使重视，也只是重视了那些“关键词”的解释在现实世界中，显然大量的函数是由图象或者表格给出的即便是一个由解析式给出的函数，学生指出“对应关系”的方法就是把这个解析式再念一遍，并不明白在这个函数中“对应关系”到底指什么，因而也不会用自然语言来叙述所谓对应关系，就是给出自变量x的值之后，如何找到与之对应的函数值y，即按照什么规则，什么路径去找到这个y比如，函数y的对应关系是，给出一个非负数，“取它的算术平方根”这就是与这个非负数对应的y的值，就是对应法则或者说“非负数与它的算术平方根对应”也可类比成“给出正方形的面积，去找出这个正方形的边长”再比如，图1中的曲线记录的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况其对应关系就是：在横轴上任意给出一个属于上午9：30至下午3：00的时刻，作出经过这个时刻的与横轴垂直的直线，找出这条直线与股票价格指数曲线的交点，这个交点的纵坐标就是与这个时刻对应的价格指数 图1再比如，下面是某运动员在一次训练中射击序号与中靶环数的对应表：序号123环数898这个函数所表示的对应法则就是：给出一个打靶次序，在表格的第一行找到这个序号，与这个序号位于同一列的那个环数就是与这个次序对应的环数在教学中，怎样让学生感受、体验函数概念中的“对应关系”这个核心，突破教学的这个难点呢？怎样理解抽象的符号“f：AB，yf(x)，xA，f(x)B”？尤其是对应关系f到底是什么含义？我们采用的方法是，在学生已有认知基础上，充分利用初中学过的函数和生活实例，通过师生共同举例，以及对每一个实例的分析（由自变量值找对应的函数值的过程），让学生领悟对应关系f的含义（这是重中之重），体会限定变量x，y的变化范围的必要性，体会在其变化范围内变量的依赖关系，进而逐步使学生学会用数量关系刻画两个变量的依赖关系为了认识抽象符号f(x)，特别注意采用从从特殊到一般、从具体到抽象的方法，以大量的、形式多样的实际问题为依托，使抽象符号f(x)具有坚实的具体背景，使学生更好地体会它所包含的具体信息：f(x)是数集A中的数x在对应法则f的作用下所对应的数集B中的一个数这个数f(x)由两个因素确定，自然应当包含两个方面的信息，一个是对应关系f，一个是自变量x就好象一个学生的名字叫“刘李一”，是因为她父亲姓刘，母亲姓李，在她身上包含了父亲与母亲两个人的信息为了加深对f(x)的理解，对于解析式给出的函数的“对应关系”再进行适当的“等值语言”叙述的训练由于由图象、表格给出的函数，定义域、值域更加明确（不需要费力去求），又了解对应关系如何确定，不再认为对应关系“说不出来”，确信它们也符合函数的定义，使得对函数概念的理解更加全面在教学中，笔者感受到，对于函数概念的教学，由于突出了“对应关系”这个核心，学生有了更多的由自变量的值x找与之对应的函数值y的过程的体验，对函数概念中的 “每一个”、“唯一”、“确定”这些关键词的认识也迎刃而解，不需要教师多费口舌进行形式化的强调函数概念突出“对应关系”的教学，纲举目张，促进了对整个函数概念的理解，教学效果有了坚实的保证2概念教学要让学生感受必要性、合理性 数学中的概念都是有必要产生才产生的，数学中的概念一般都是非常合理的曲线与方程的概念是解析几何中的核心概念所谓曲线C的方程，就是在曲线C与方程f（x，y） 0之间建立了一种联系，这种联系是：（1）曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y） 0的解；（2）以方程f（x，y） 0的解为坐标的点都在曲线C上一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y） 0的实数解建立了以上这种关系，那么，方程f（x，y） 0叫做曲线C的方程；曲线C叫做方程f（x，y） 0的曲线“我们为什么要建立曲线与方程之间的这种联系呢？”教学中，笔者在建立曲线方程的概念之后有意提出了这个问题让学生感受建立这一关系的必要性感受到必要性，学生才能在求曲线方程的过程中自觉地按照五个步骤办事，才不会认为“证明坐标满足方程的点在曲线上”是多余的，才能够更加深刻地认识这个概念，理解解析几何的本质由于在建立这个概念的过程中，讨论过“三角形一边上的中线（线段）的方程到底应该是什么”这个问题，因此，学生的回答也是令人满意的：“为了用代数来研究几何，用几何来研究代数”教师肯定了学生的回答，并强调：只有方程f（x，y） 0是曲线C的方程，曲线C是方程f（x，y） 0的曲线时，我们才能达到“通过研究方程来研究曲线”的目的这正是解析几何的本质用代数的方法研究几何这个概念建立了形和数之间的一种联系，体现了数形结合的特点不仅可以用代数的方法来研究几何，反过来加强了几何直观，给代数以形的支撑，解释了代数方程的几何意义为了突出坐标法的思想，感受这一概念的合理性，教师进一步问：“曲线与方程之间为什么会有这种联系呢？”“这是因为点与坐标有对应关系”“什么对应关系呢？”“在直角坐标系中，点M与它的坐标（x，y）一一对应”“那么，曲线与方程之间的关系又是怎样形成的呢？”“曲线上的点动起来，点的坐标之间就形成方程”通过这一串逻辑性强的问题让学生感受知识的来龙去脉，发生发展过程教师适时介绍笛卡尔等人的功绩，并借助几何画板演示，动点在运动过程中形成曲线，同时展示坐标之间所形成约束关系，逐渐形成：点M 坐标（x，y） 动（规则运动） （x，y间的约束） 曲线C 方程f（x，y） 0利用集合表示曲线方程定义中的两个条件，可以使学生进一步理解这一关系设集合CM | p（M），其中p（M）表示对点M的限制条件；集合FP（x，y）| f（x，y） 0表示以方程f（x，y） 0的解为坐标的点形成的集合“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y） 0的解”可以用“CF”表示；“以方程f（x，y） 0的解为坐标的点都在曲线C上”可以用“FC”表示说明当且仅当CF，即这两个集合所表示的点完全一致时，方程f（x，y） 0是曲线C的方程；曲线C是方程f（x，y） 0的曲线形象地说，曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y） 0的解，说明没有一点例外，“一点不多”；以方程f（x，y） 0的解为坐标的点都在曲线C上，说明没有一点漏掉，“一点不少”再要求学生利用充要条件的知识解释这一关系“以方程f（x，y） 0的解为坐标的点都在曲线C上”是“方程f（x，y） 0曲线C的方程”的充分条件；“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y） 0的解”是“方程f（x，y） 0是曲线C的方程”的必要条件借助函数、集合、充要条件等知识帮助学生“多元联系表示”地认识这一核心概念，使学生能够把握概念的本质概念教学要讲必要性使学生感受学习的迫切性，激发求知欲当教师问：“我们为什么要建立曲线与方程之间的这种联系呢？”他们回答得真好：“为了用代数研究几何（有必要）”还想到了，也可以“用几何来研究代数”这是他们学习椭圆、双曲线、抛物线时的一次又一次的感受与体验用代数的方法研究几何，这是解析几何的本质概念教学要讲合理性教师问：“曲线与方程之间为什么会有这种联系呢？”同学们很快想到了，是因为在直角坐标系中，点M（几何）与它的坐标对（x，y）（代数）建立了一一对应关系正是因为这个原因，当点按照某种规则运动时，对应的，它的坐标之间的约束关系就形成一个等式（方程）相应地，“点M在曲线C上坐标（x，y）满足方程f（x，y） 0”这样形成的概念就显得合情合理，很自然教学中，不仅要让学生弄清“是什么”，还要帮助他们明白“为什么”，为什么要学？为什么是这样的？不知道“为什么”的知识是肤浅的知识概念教学要讲过程应当是学生已经有了一定的体验、感受以后的一种自然的归纳、概括不把概念“抛”给学生，“一个概念，三项注意”普通高中数学课程标准（实验）指出：“结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想”就是这个目的3概念教学要让学生参与“再创造”直线的倾斜角是解析几何的一个基本概念教科书中这样写道：“过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线的区别在哪里呢？”这不仅让学生明白为什么要定义倾斜角，感受概念产生的必要性，而且给学生有参与定义的机会笔者在教学中边演示（用几何画板演示直线束）边提出问题：“解析几何的特点是在直角坐标平面上研究问题，经过一点可以画无数条直线，怎样把它们区别开来呢？”然后由学生提出解决问题的办法有学生说，它们的区别在于直线的方向不同；有学生说，角度不同；也有学生说它们与y轴的交点位置不同应该说，他们想出的都是区别过同一点的直线位置关系的办法经过各自的表述，经过议论，我们取合理的，最后达成共识发现用角把它们区别开来比较简便那么“角的顶点、两条边（射线）分别是什么呢？”因为研究的是直线与x轴相交的情况，自然选择直线与x轴的交点作为角的顶点比较合理；选择由这个顶点指向正方向的射线作为角的一条边（基准），还有一条边选择直线向上的方向为好选择直线向下的方向不是不对，是不好这样哪个角就确定了“这样定义，能表示经过一点的所有直线吗？”不行我们把直线平行于x轴时的倾斜角定义为0定义为180也行，但不好，要小的不要大的，计算方便，合理这样倾斜角的取值范围就是0180在教师与学生会话、协商中完成概念的形成过程学生感受到这个概念就是我们大家定义的，不是老师一个人给的“当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基准，x轴的正方向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角”这就指出了怎样定义，让学生感受到定义的合理性“当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0”这个补充定义体现了定义的“完整性”这就是定义的整个过程，是全体学生努力的结果 借助学生已经了解的坡度知识过渡，引入斜率的概念ktan（90）也显得自然教师可以让学生比较直线的倾斜角与斜率各自的特点，突出斜率是对直线倾斜程度的代数刻画，是解析几何的本质符合课程标准指出的“理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程” “导数的概念是微积分的核心概念之一”，而不是平均变化率“平均变化率”这一节内容中最有价值的东西是怎样把“变化率”问题转化为“平均变化率”问题来研究这就有了学生进行“再创造”的机会促使微积分产生的因素主要有四种类型的问题其中第一类问题是，已知物体移动的距离表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数，求速度和距离困难在于，17世纪时，所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化计算瞬时速度就不能象匀速运动时计算平均速度那样，用物体移动的距离去除以运动的时间；同样，反过来，也不能用物体运动的时间乘任意时刻的速度来求得物体移动的距离微积分的创立主要是由研究变速运动而产生的，是由研究曲线在某点处的切线而产生的定义平均变化率是为了定义变化率这给教学设计提供了可靠的历史背景教学中，可以从学生熟悉的匀速运动说起当物体的运动规律用svt刻画时，物体做匀速运动，瞬时速度等于位移除以时间，即v，“瞬时速度平均速度”，并辅以图像（画出其中的一个直角三角形）然后以教科书上运动员“高台跳水”求瞬时速度问题为背景来说明，当跳水运动员在跳水时的运动规律由h4.9t26.5t10刻画（并画出它的图像）时，显然不能再用位移除以时间4.9t6.5来求落水前任意时刻的瞬时速度，那么“怎样求运动员在落水前某个时刻的瞬时速度呢？”这就把学生推入“愤”、“悱”境地然后给学生充足的时间思考、讨论、交流，开展探究活动，进行“再创造” 学生受匀速运动以及图像的支持，发现可以先研究该时刻邻近的一个时间段，得到“瞬时速度平均速度”这个“平均速度”正是“平均变化率”，这个“瞬时速度”正是“变化率”，也就是“变化率平均变化率”它充分体现了微积分解决问题的特点，把一点的问题先转化为包含这一点的一个邻域的问题，找出它的近似表示，然后通过“逼近”来解决变化率问题，并体验其中所蕴涵的数学思想这些就是学生“再创造”活动的关键点而不仅仅是让学生了解什么叫平均变化率和会计算平均变化率在研究运动员在某时间段平均速度以及吹气球时气球膨胀率问题等实例（由学生参与举例）后，不难抽象出的数学概念：我们把称为函数yf（x）从x1到x2的平均变化率这里也揭示出促使数学发展的一个重要原因外部需求解决物理问题的需求对于变化率、平均变化率这些抽象的数学概念，在学生头脑中，就是以物理中的变速运动在某一点的瞬时速度、这点邻近的一个时间段的平均速度为支撑来理解的符合课程标准指出的“学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵”的要求 陆游说过：“纸上得来终觉浅，绝知其事要躬行”在学生探究运动员在某时刻的瞬时速度的再创造的过程中，学习方式改变了是“通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法”4概念教学要体现数学刻画世界的过程向量是数学中的重要概念，向量方法是数学中的重要方法许多老师认为，“平面向量的实际背景及基本概念”一节“概念多但不难理解”，其实不然人类是怎样提出向量这个概念，并建立向量这一“大厦”，研究向量，利用向量解决问题的呢？事实上，从“概念的形成”的角度看，本节内容，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程教学中，笔者试图带领学生来体验这一过程，体验数学建立概念、研究问题的方法，感受数学是怎样刻画世界的首先让学生感受引入概念的必要性甲、乙两车分别以v140km，v250km的速度从同一地点出发向北行驶2小时后，它们相距20km甲、乙两车分别以v140km，v250km的速度从同一地点出发，甲车向北，乙车向南2小时后，它们相距180km它们的行驶速度一样，为什么2小时后的距离相差这么大？用这一简单、直观例子中的“速度不仅有大小，而且有方向”，让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容让学生感受“向量概念不是凭空产生的”然后请学生举例：“你能否再举出一些既有方向，又有大小的量？”激活学生的已有相关经验实践说明学生很容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量接着，再请学生举例“生活中有没有只有大小，没有方向的量？”让学生感受提出概念的必要性区别两类不同的量学生所举的例子有年龄、身高、面积等概念抽象需要典型丰富的实例“教师引例，学生举例”是概念教学的重要环节让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备水到渠成，抽象概括由同学们的举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方向类似于从一支笔、一本书、一棵树中抽象出只有大小的数量1，数学中对位移、力这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量向量如同孩子诞生之后都要起名字一样向量概念建立之后，自然地就是给各个向量起名字（代数表示），以及几何表示因为向量有大小和方向两个要素，只用代数形式或几何形式是无法确定的，必须两者结合这样向量就可以看得见叫得出也以便于区别、传输、运用教学中，在学生参与向量的定义后，再让学生参与了向量的表示实践证明，大家都认为用带箭头的线段和加上箭头的字母表示向量比较好因为在初中已经有AB，CD，a，b，c等表示线段的经验加上箭头用，等表示向量顺理成章在初中AB与BA表示同一线段，和自然表示起点、终点正好相反的向量向量也有表示大小的属性，这一属性我们用|表示，称为向量的模用|来表示向量的模至此，向量这个集合已经构成下面就是引导学生来观察这个刚刚建立的集合“现在，我们已经建立了一个向量的集合就象每个人都有名字一样，这个集合中的每一个向量都有了名称那么，你认为在所有向量组成的集合中，哪些向量较特殊？”引导学生学会观察一组数学对象大家都认为“零向量、单位向量最特殊”“你们为什么认为它们最特殊？是怎么想的？”同学们从长度这个角度进行解释，认为零向量的长度是0，单位向量的长度是1，最为特殊这表明他们已经自觉把向量集与实数集作类比从实数集的认知经验出发，自然会想到零向量、单位向量的特殊性零向量、单位向量这两个概念也自然产生教师及时强调了这两个向量是特殊而重要的对象，如同在实数中，0是数的正与负分界点，有0就可定义相反数；1是“单位”，作用很大并及时画出导游图对实数研究的经验告诉我们，“引进一个新的数就要研究它的运算；引进一种运算就要研究运算律”可以预见，引进向量就要研究向量的运算，进而就要研究相应的运算律或运算法则所以，对于向量，还有许多内容等待我们去研究对于向量这个集合，通过观察，发现零向量、单位向量是两个特殊对象，紧接着，应该观察的是向量之间的关系，也应该是从简单到复杂教学中，教师引导学生参与“相等向量、平行向量、共线向量、相反向量”概念的定义过程，使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物“观察图2中的正六边形ABCDEF给图中的一些线段加上箭头表示向量，并说说你所标注的向量之间的关系（举例说明）”教学实践表明，这是一个十分热烈、有趣的过程有的学生首先画出向量与，认为它们长度相等且方向相同，是相等的向量，叫相等向量；也有学生首先画出向量与，认为它们是共线的向量等教师适时介入，解释数学中的向量是自由向量，可以平移，因此，与也称为共线向量“平行向量”的产生比较顺利，但“相反向量”的产生有困难，其间还类比了“相反数” 图2这一过程不同于，先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义，再做练习巩固在这一过程中，同学们要自己确定观察角度，提出学习任务，观察能力、概括能力都得到发展，从而思维能力得到充分的发展同学们在与同伴之间的交流中相互学习，体验着数学研究问题的乐趣 教师不仅关注大伙获得的结果，更关注何如提出任务、研究问题的经过归纳，得到：（1）从“方向”角度看，有方向相同或相反，就是平行向量，记为 ；（2）从“长度”角度看，有模相等的向量，|；（3）既关注方向，又关注长度，有相等向量，相反向量既然是谈论向量之间的关系，当然应该是冲着全体向量的，就不应该遗漏零向量规定“零向量与任意向量都平行，即”就是很自然、很合理的事情“零向量与任意向量都平行”只不过是一个补充定义罢了以后再研究向量之间的关系自然要用角来刻画了概念教学的过程应该是学生领略数学玩世界的过程5让学生在概念的联系中认识概念数学中的许多概念都不是孤立存在的，而是在概念的联系中产生概念、发展概念的概念教学应该让学生感受到概念之间的联系，在概念的系统中学习概念，在概念的联系中认识概念角的概念由锐角扩展到0360内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了极大的方便从锐角三角函数到任意角三角函数的学习，类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”从认知结构发展的角度来说，是属于“下、上位关系学习”，是一个从特殊到一般的过程，“先行组织者”是锐角三角函数的概念教学策略上先复习包容性小、抽象概括程度低的锐角三角函数的概念，然后让学生“再创造”抽象程度高的上位概念（参与定义），并形成新的认知结构，让原有的锐角三角函数的概念类属于抽象程度更高的任意角三角函数的概念之中学生过去在直角三角形中研究过锐角三角函数，这对研究任意角三角函数在认识上会有一定的局限性，所以学生在用角的终边上的点的坐标来研究三角函数可能会有一定的困难可以让学生在原有的对锐角三角函数的几何认识的基础上，尝试让学生建立用终边上的点的坐标定义任意角三角函数，或者尝试用终边上的点的坐标定义锐角三角函数，然后再定义任意角的三角函数在“函数”这个概念系统中，任意角三角函数是一种特殊的函数在这个系统中，三角函数又是函数这个概念的下位概念因此，自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域任意角三角函数概念在三角学中显然处于核心位置，它是解决一切三角函数问题的基点无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，同角三角函数间的关系，诱导公式，以及三角函数的周期性，单调性等性质，都具有基本的重要的意义在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形的结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法教学中，教师设置了一串有逻辑联系的问题，通过这些问题的讨论认识新概念 问题1 任意画一个锐角，借助三角板，找出sin，cos，tan的近似值意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数的基础突出：（1）与点的位置的选取无关；（2）是直角三角形中线段长度的比值问题2 能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？意图：尽快使用单位圆这个平台建立新概念，为“单位圆定义法”做准备，免去在终边上取其他点的纠缠实践证明，学生根据自己实际画图操作，以及计算比值的体验，很快认为把斜边画成单位长比较方便这里的“不用计算”指只要度量图中线段的长即可获得三角函数（正弦）值问题3 锐角三角函数sin作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？意图：初中学习过的锐角三角函数并不是从函数角度认识的，要补上这一课锐角三角函数sin作为一个函数，自变量是实数，（0，）而与之对应的函数值sin是线段长度的比值，是区间（0，1）上的实数问题4 现在，角的范围扩大了在直角坐标系中，使得角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合在这样的环境下，你认为，对于任意角，sin，cos，tan怎样来定义好呢？意图：角的范围扩大了，锐角三角函数也应该“与时俱进”，感受学习新知识的必要性，感受概念发展的必要性同时把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程，给学生以“再创造”的机会，发展思维强调坐标系这个环境，就是强调坐标系中的点有坐标，各点到原点有距离等，引导学生利用坐标与距离的联系，采用坐标、距离来定义新概念问题5 这样定义的任意角三角函数包括锐角吗？意图：旧概念扩充成新概念之后，应该把旧概念纳入新的概念系统中，以旧概念作为它的特殊情况，这样就完成了概念的扩充过程实践证明，学生借助锐角三角函数的概念，利用坐标系这个环境，从“距离之比”走向“坐标或者坐标之比”，把锐角三角函数扩充成