模糊数学_3第五章 模糊映射与变换,模糊关系方程

第五章模糊映射与变换、模糊关系方程,1投影、截影、模糊映射,一、投影、截影定义5.1设,所谓在U中的投影,乃是U的一个模糊子集,记作,它具有隶属函数同样可定义在V中的投影当U,V为有限集,用模糊矩阵表示时,可分别表为向量：,其分量例:则:,定义5.2：设，所谓在U中的内投影,指的是U的一个模糊集,记作，其隶属函数当U，V为有限集，用矩阵表示时,例：定义5.3设，对任意，所谓在处的截影，乃是V的一个模糊子集,记作，其隶属函数,同理：当U，V为有限集，可表示为模糊矩阵，的截影可表为向量，它们就是R的某一行或某一列。定义5.4称映射为从U到V的模糊映射,记：定理5.1任给,却唯一确定了一个从U到V的模糊映射,记作:使对任意都有,例:,二、模糊映射（关系与映射的转换）普通映射：给定一个普通关系，如果（a.满）对任意，投影都包含而且只包含一个元素（一一对应）那么，满足，两个条件的普通关系，便唯一确定了一个普通映射,满足：反之任给一普通映射也可确定普通关系或普通关系的映射象和原象都是清晰的。,定义（模糊映射）称映射为从U到V的模糊映射，记：映射把U中的元素u映射为V的一个模糊子集。例：设令使,：模糊映射，通过可建立一个模糊关系只要例：上例中,定理：由U到V的模糊映射与U到V的模糊关系一一对应：由关系得到即可。,例：,2模糊变换,给定，对任意都可得到因此R决定了一个映射，记作：把一个模糊向量变为另一个模糊向量，相当于一种变换。定义（模糊变换）称映射为从U到V的一个模糊变换。对U、V均为有限集，可将T定义成映射，,定理：任给都唯一确定了一个从U到V的一个模糊变换，记作使对任意均有此处：叫由诱导出的模糊变换，为方便起见不加区别,模糊关系的直观意义，可解释为论域的变换模糊概念：在表现为a又U与V存在模糊关系R则，故例：是男少年：在体重论域上只表现为,设某地区体重身高的关系为在身高论域V上应表现为,3扩展原理（扩张原理）,在普通集合中，设有映射可诱导出一个新的映射叫做集合A在f之下的象。用特征函数来表示，有约定：上确界下确界一般地a=0，或1,由映射f还可诱导另一映射，记作叫做集合B在f之下的原象，用特征函数来表示例：U=a，b，c，d，e，f，V=1，2，3，4，5令则，称1，2为a，b，c的象。,对于模糊集合普通映射，给定，在之下的象应当是什么？给定，在之下的原象应当是什么？普通集合怎样扩展到与之间去。定义5.设，所谓在模糊集类上的扩展，乃是指这样两个映射，仍记为与它具有隶属函数：（u可能是多个元素）,它具有隶属函数叫做在之下的象，叫做在之下的原象。例：设,设，由扩展原理：,定义5.7对任意及任意，记叫做的开截集。定义5.8给定映射，对任意，及任意，在定义5.6的意义下恒有：,证明：,4模糊综合评判,一、综合评判所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的生物或对象，作为一个总的评价。若考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评判分权按分数高低，就可将评判对象排出优劣的次序。但考虑多种因素，就是综合判定问题。由于在很多问题上，我们对生物的评价常常带有模糊性，应用Fuzzy方法进行综合评判，将会取得更好的实际效果。,综合评判两种简单方法：（一）总分法：对每个因素给一个评分计算总分（二）加权法：根据不同因素的重要程度，赋予一定的权重。令表示对第i个因素的权重,并规定于是二、模糊综合评判步骤1:建立评判对象的因素集因素就是对象的各种属性或性能,根据因素给对象评价.,步骤2:建立评判集步骤3:建立单因素评判,既建立一个从U到F(v)的模糊映射由可诱导出模糊关系。,步骤4:综合评判:由于对U中各因素有不同的侧重,需要对每个因素赋予不同的权重，即U上的一个模糊子集：故综合评判为,三、综合判定的逆问题已知决策问决断b赖以产生的因素权重a=?需要解模糊关系方程，（无解或无穷多组解）从一组解中找出相对比较理想的方案。设为U上的一组模糊子集，根据择近原则若有i使认为是J中的最佳权重。例：取U=耐用程度,颜色,式样,品种,规格,价格,包装V=很欢迎,比较欢迎,不太欢迎,不欢迎,方法:任意固定一种因素,进行单因素评价,联合所有的单因素评价得到单因素评价矩阵R。将R看为是从U到V的模糊关系和变换，再进行综合评判。例：对服装进行评价U=花色式样，耐穿程度，价格费用V=很受欢迎,比较欢迎,不太欢迎,不欢迎花色式样：20%的人很受欢迎,70%比较欢迎,10%不太欢迎,0%不欢迎花色式样（0.2,0.7,0.1,0）类似的耐穿程度(0,0.4,0.5,0.1)价格费用(0.2,0.3,0.4,0.1),某类顾客考虑权重，既对各因素注意的程度a=(0.2,0.5,0.3)综合评判为：归一化b=(0.17,0.34,0.40,0.09),若已知b求a就是综合评判的逆问题，设b=(0,0.8,0.2,0)备择集其中取格贴近度来进行计算:,比较接近于此类顾客的考虑方式。,5模糊关系方程,设给定模糊矩阵，求未知模糊矩阵使满足或只讨论下面形式的模糊关系方程（由解出行向量得出）化为模糊线性方程组,又可表示成一、考虑一元一次方程xa=b若ab则有唯一解x=b若a=b则有无穷多解，构成区间b,1x=b,1若ab则无解x=,定义一个算符二、一元模糊线性不等式xab其解为的定义为三、n元模糊线性方程,它对应n个一元方程：求n个一元不等式：其解表示为:表示区间向量,令为将的第i个分量或的Y第i个分量而得到的区间向量方程的解集合为：解的充分必要条件是Y的各个分量不全空。例:解模糊方程,=(0,0.6,0,0.6,0,1,0,1)W（1）=(0.6,0,0.6,0,1,0,1)W（2）=(0,0.6,0.6,0,1,0,1)W（3）=(0,0.6,0,0.6,0.6,1,0,1)Y的第四个分量为空集，W（4）不必写出，故x=W（1）W（2）W（3）设是n维欧氏空间的两个点，如果有,那么便称其中(0.6,0.6,1,1)为最大解(0.6,0,0,0)、(0,0.6,0,0)、(0,0,0.6,0)为极小解。,E.sanchez证明了:对任意模糊关系方程,如有解必有最大解,最小解可能有多个。四、对方程组的解方程的解集合等于各个方程的解集合的交。,将Y的每一列中选定一个非空元素分别代入的相应位置上去替换中相应的元素，得一矩