清华大学 计算流体力学讲义 第二章 理论基础(5).doc

2.4经典差分式介绍。一、 双曲型方程经典格式： 1、 迎风格式，(upstream, windward)M.Eq.: 稳定条件 耗散及频散特性. 2,蛙跳格式( Leap Frog) 这是一个无耗散的格式。3. Lax格式M.Eg.: 4.Lax-Wendroff格式5、两步Lax-Wendroff格式 step1: step2: 6,MacCormack显式格式 step 1: ( Predict step) step 2: (Correct step) 作业*分别针对标准的模型方程与非线性方程（例如Eueler方程）讨论Lax-Wendroff, 两步L-W格式和 MacCormack格式的异同,7,Beam- Warming两步迎风格式 (a0)P: C: 该格式合并一步的形式是：; 或M,E：稳定条件 8,隐式格式;分析与思考：隐式格式的稳定性如何。9,时间中心隐式格式(梯形差分格式)Time-Centered implicit Method (Trapezoidal Differencing Method) 由Taylor展开;同时考虑 (1)-(2)： 对于若采用中心差 无条件稳定；但当C很大时解是振荡的10，介绍一种高阶格式，Rusanov (Burstein-Mirin) Mefhgd这是一种三步格式 稳定条件： 当 时无4阶粘性项当时， 无5阶频散项。二， 抛物型方程经典格式（通过模型方程 来描述）1、 显式FTCS格式方程： （注意由上述M。Eq。不能直接看出稳定条件,）2混合(显隐)格式. 时 为FTCS 稳定性分析; 按Von-Neumam稳定性分析方法,可得 上式中分母恒大于零 解上述不等式；右边； 讨论；上式无条件满足 无条件稳定 稳定条件综合格式之图示如下：1/21/61/2s3,DuFort-Frankel格式、 格式； 这是绝对不稳定的格式！修正为； D-F格式 仍为显式格式讨论稳定性； 若 则：若 则 稳定性分析结论是无条件稳定的。但是对DuFot-Frankel 格式的相容性分析,(或推导M.Eg.)有: 或由此可见DnFort-Franew格式的相容性是有条件的，即必须有 才是相容的，即应是的高阶小量，这对计算是附加了一个严格的要求！为什么？固而对于使用该格式而言，对时间步长仍有限制，虽然不是从稳定性的要求提出的！4,Box(盒式)格式不等距网格划分的Box格式：方程： 令由（1）式得；上式两组关系分别代入（2）式，分别得到（3）和（3）式：将（3） 式之下标增加1、即改为，余类推，得： 其中若，x,t两方向为等变长网格划分则 5,ADE格式；奇数步： 计算中j从小到大偶数步： 计算中j从大到小条件：第一类边界条件相容性条件隐式格式生成的三对角短阵的追赶法求解。令代入（*）式或与（）式对比可知； 设为第一类边界条件,即已知 由此 可由式求得 若已知；即故由对于为矩阵的方程组问题，可类似导出，（不做除法，改为求逆运算）三， 多维问题的差分格式1，ADI方法(Alterating -Direction-Implicit Method)基本思想; 保持隐式格式的无条件稳定特点的同时,将多维问题仍退化为只求解三对角(块)矩阵的代数方程组问题.i) * Peaceman & Rachford ADI格式 step1;step2; 合并一步考虑,用VoN-Neumanm方法分析,得在二维条件下,是无条件稳定的;但此格式简单推广到三维时,则并非无条件稳定;在三维条件下,Peaceman & Rachford格式应修正为；Step1 2 3