趣味数学——安东尼的名次.doc

安东尼的名次安东尼、伯纳德和查尔斯三人参加了几项田径比赛。（1）每项比赛只取前三名，第一名、第二名、第三名分别得3分、2分、l分。（2）并列同一名次者，都得到与该名次相应的分数。（3a）把每人在撑竿跳、跳远和跳高比赛中的得分加起来得到一个个人总分，结果这三人的个人总分都一样。（3b）把这三人在某项比赛中的得分加起来得到一个团体分，结果三个项目的团体分都一样，而且这个团体分与上述的个人总分相等。（4）在撑竿跳比赛中没有出现得分相同的情况。（5）安东尼和查尔斯在跳远比赛中得分相同。（6）安东尼和伯纳德在跳高比赛中得分相同。（7）在这三项比赛中，伯纳德有一项没有得分，查尔斯也有一项没有得分。在撑竿跳比赛中，安东尼得了第几名？（提示：找出一个每一行的和与每一列的和都相等的33方阵，即可判定出安东尼在撑竿跳比赛中的名次。为此，用代数方法表示安东尼和查尔斯在跳远比赛中的得分，以及安东尼和伯纳德在跳高比赛中的得分。）答案这三人在三项比赛中的得分可以记入如下的33方阵： 撑竿跳比赛跳远比赛跳高比赛安东尼伯纳德查尔斯根据（3a）和（3b），这个方阵中每一行的和与每一列的和必须都等于同一个数。根据（2）和（5），设安东尼和查尔斯在跳远比赛中的得分为b。根据（2）和（6），设安东尼和伯纳德在跳高比赛的得分为h。根据（l）和（2），b可以是0、l、2或3，h也可以是0、l、2或3。因此，把b和h组合起来共有十六对可能的数值。如果bh（即两者同时是0、1、2或3），则为了满足（3a）和（3b），方阵变成：abbbabbba这种情况与（4）在撑竿跳比赛中没有出现得分相同的情况。矛盾，因而是不可能的。如果b0而h不等于0（b0，h1；b0，h2；b0，h3），则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。0h2h+ah0a为了满足（3b）把这三人在某项比赛中的得分加起来得到一个团体分，结果三个项目的团体分都一样，而且这个团体分与上述的个人总分相等，第二行的和必须等于每一列的和。但是第二行的和已经大于所示的任何一列的和，因此这种情况是不可能的。如果h0而b不等0（bl，h0；b2，h0；b3，h0），则为了满足（3b），第三列的和必须等于第二列的和。b0a0b2b+a为了满足（3b），第三行的和必须等于每一列的和。但是第三行的和已经大于所示的任何一列的和，因此这种情况是不可能的。如果bl，h3，则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。13a+431a这种情况与（1）每项比赛只取前三名，第一名、第二名、第三名分别得3分、2分、l分。矛盾，因为a不能小于0，从而a4至少等于4。（再者，第二行的和已经大于所示的任何一列的和，这与（3b）矛盾。）因此这种情况是不可能的。如果b3，hl，则为了满足（3b），第三列的和必须等于第二列的和。31a+21aa这种情况与前一种类似，所以是不可能的。如果b2，h3，则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。23a+232a为了满足（3b），第三行的和必须等于每一列的和。于是，查尔斯在撑竿跳比赛中必须得到4分，但这与（l）矛盾。因此这种情况是不可能的。如果b3，h2，则为了满足（3b），第二列的和必须等于第三列的和。32a23a+2这种情况与前一种类似，所以是不可能的。如果b1，h2，或者b2，h1（它们是剩下的仅有可能），则为了满足（3a）和（3b），方阵变成下列二者之一：a+1120a+2231aa+1213a102a+2本题的要求是求出al的值（这是上述两个方阵中唯一相同的记录）：a不能大于0，否则与（7）在这三项比赛中，伯纳德有一项没有得分，查尔斯也有一项没有得分。矛盾；因此a必须等于0。于是all。由于1分是第三名的得分，所以安东尼在撑竿跳比赛中得了第三