3[1].双曲线(学生版).doc

心桥教育 3双曲线一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a|F1F2|。 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在。当2a=0时，动点的轨迹是 F1F2的垂直平分线2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（，其中|=2c）1. 双曲线的标准方程：-=1(0,b0)表示焦点在x轴上的双曲线； -=1(0,b0)表示焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.2共焦点的圆锥曲线方程 与椭圆 共焦点的椭圆或双曲线的方程为 ，根据条件确定的数值. 当l-b2时，方程表示与已知椭圆共焦点的椭圆. 当-a2l0时，方程表示焦点与已知双曲线焦点在同一直线上的共渐近线双曲线. 当0时，方程表示焦点在已知双曲线的虚轴所在直线上且与已知双曲线共渐近线的双曲线. 三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双曲线设直线，双曲线联立解得若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，直线与双曲线相交，有两个交点；直线与双曲线相切，有一个交点；直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。四、双曲线与渐近线的关系（如何求双曲线的渐近线方程）五、双曲线与切线方程六、双曲线的性质七、 弦长公式1、若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。3、若弦AB所在直线方程设为，则。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径，分别记作九、等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长；（2）其标准方程为x2-y2=C，其中C0；（3）离心率e=2（4）渐近线：两条渐近线 y=x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；（7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a2；十、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，也可以看做把原方程中的正负号交换了位置后得到的新方程，通常称它们互为共轭双曲线（1）共轭双曲线有共同的渐近线；（2）共轭双曲线的四个焦点共圆，即c相等；（3）共轭双曲线离心率平方的倒数和等于1.3.1双曲线及标准方程一、双曲线的定义1到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹 （ ）A椭圆B线段C双曲线D两条射线2双曲线上P点到左焦点的距离是6，则P到右焦点的距离是（ ）A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 3. 方程化简得：A B. C. D. 4、5、已知两定点F1（-5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时，P点的轨迹为（ ） A、双曲线和一直线 B、双曲线和一条射线 C、双曲线和一支和一条射线 D、双曲线的一支和一条直线二、双曲线的标准方程1已知a=3,c=5，并且焦点在x轴上，则双曲线的标准程是（ ）A B. C. 2已知并且焦点在y轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A B. C. D.3 双曲线的焦距是（ ）A4BC8D与有关4、5、ax2+by2=b(ab2或k5 B、2k5或-2k2D、k5 xyoxyoxyoxyo4已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mxy+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是（ ） A B C D四、定义法求双曲线的轨迹方程 例1已知两定点F1（-5，0）、F2（5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6点的轨迹方程。例题2：求下列动圆圆心的轨迹方程：（1）与内切，且过点（2）与和都外切（3）与外切，且与内切变式1：已知两定点F1（-5，0）、F2（5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于10点的轨迹方程。2、平面内有两个定点F1(5，0)和F2(5，0)，动点P满足条件|PF1|PF2|6，则动点P的轨迹方程是（ ）。 （A）1 (x4) （B）1(x3) （C）1 (x4) （D）1 (x3)3、在周长为48的直角三角形MPN中，MPN=90， 求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程。 4、5、已知动圆与定圆C1：(x+5)2+y2=49,C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心的轨迹方法。五、 焦点三角形的有关问题例1 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小变式：1已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上，且，求的大小例2 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积例3P为双曲线 上定点，F1，F2为两焦点，且F1PF2=，求证:F1PF2面积为 .变式1双曲线的两个焦点分别是F1（0，2），F2（0，2），点P（1，0）到此双曲线上的点的最近距离为，M是双曲线上的一点，已知F1MF260，求F1MF2的面积。2交点，则|PF1|PF2|的值是（ ） 3解二：焦点三角形面积公式4、设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上，且,则|+|= . 5、已知F1、F2分别为双曲线C：1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2,0)，AM为F1AF2的平分线，则|AF2|_.6过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（ A ）A28 B22C14D12A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m综合应用 A、内切 B、外切 C、外切或内切 D、无公共点或相交3.2双曲线的简单性质一、 双曲线的几何性质例题1：求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。变式1、已知双曲线C：，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，渐近线方程。 A、-16 B、-4 C、12 D、144 A、5 B、3 C、25 D、9 A、共同的准线 B、共同的渐近线 C、共同的焦点 D、共同的顶点 5、已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、46、双曲线mx2-2my2=4的一条准线是y=1,则实数m等于（ ） 7、如果双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率是（ ） A、焦距 B、准线 C、焦点 D、离心率形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角或钝角三角形 10、 已知双曲线C0,b0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（A）a(B)b(C)(D)11、P是双曲线1(a0，b0)的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则PF1F2的内切圆的圆心横坐标为()Aa Ba Cc Dc 答案B二、 求双曲线的标准方程例题：根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）过点，且焦点在坐标轴上（2），经过点（5，2），焦点在轴上（3）与双曲线有相同焦点，且经过点例2：求满足下列条件的双曲线方程。 (1)以2x3y=0为渐近线，且经过点(1，2)； 变式1、2、中心在原点，一焦点在(0,3)，一条渐近线为 的双曲线方程为_.3、 已知双曲线的渐近线方程为xy=0，两顶点的距离为2，则双曲线的方程为 。4、求渐近线为y=，且与直线5x6y8=0有且仅有一个公共点的双曲线方程。5、中心在原点，焦点在轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为37。（1）求这两条曲线的方程；（2）若P为这两条曲线的一个交点，求的值。三、 双曲线的离心率问题例题：求双曲线的离心率。 变式1. 若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)2. 若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（ ）（A）3 （B）5 （C） （D）3. 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B C D4过双曲线 =1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若PF1Q=90，则双曲线的离心率是（） A、 B、1+ C、2+ D、3- 5.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 6过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_7.如图，F1和F2分别是双曲线=1(a0,b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 .8. 已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为_四、 直线与双曲线的位置关系例题：过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.1、一条直线和一条双曲线公共点的个数最多有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2、过点P(4,4)且与双曲线1只有一个交点的直线有 ()A1条 B2条 C3条 D4条3已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 .4、k为何值时，直线y=kx+2 与双曲线（1）有一个交点；（2）有两个交点；（3）没有交点5已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线总有公共点，试求实数k的取值范围.五、 弦长问题。例题：过双曲线=1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于两点A、B，求|AB|的长。变式:1直线与双曲线相交于两点，则=_ 2求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。3已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线l1于P(，)(1)求该双曲线方程；(2)过点F作直线l2交该双曲线于M，N两点，如果|MN|4，求直线l2的方程4双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程5过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为 （中点弦问题）六、双曲线的最值问题1若点O和点F(2,0)分别是双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，) C. D.综合问题1已知双曲线1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F(2,0)，点P为双曲线上一点，0，.(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线上有两个不同点M，N，点E(0，1)，当(3,1)且|时，求MON的面积(O为原点)2.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0.(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k0)为斜率的直线