20VAR模型(2).doc

8.3 VAR模型中协整向量的估计与检验8.3.1 VAR模型中协整向量的估计此估计方法由Johansen提出。假定条件是，ut IID (0, W)。实际中这个条件比较容易满足。当ut 中存在自相关时，只要在VAR模型中适当增加内生变量的滞后阶数，就能达到ut非自相关的要求。此估计方法为极大似然估计法。给定VAR模型 Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-1 + + Pk Yt-k + FDt + ut, ut IID (0, W) (8.60)其中Yt 是N1阶列向量。Dt表示d1阶确定项向量（d表示确定性变量个数）。用来描述常数项m、时间趋势项t、季节虚拟变量（如果需要）和其他一些有必要设置的虚拟变量。F 是确定性变量Dt的N d阶系数矩阵。其中每一行对应VAR模型中的一个方程。上式的向量误差修正模型形式（推导过程见8.1.6节）是DYt = P Yt-1 + G1 DYt-1 + G2 DYt-2 + + Gk-1 DYt - (k-1) + FDt + ut (8.61)其中 Gj =, j = 1, 2, , k-1，P = G0 - I =- I = P1 + P2 + + Pk - I，正确地估计协整参数矩阵 b 的秩r非常重要。若r被正确估计，则所有误差修正项都是平稳的。那么模型 (8.61) 中的所有项都是平稳的。参数估计量具有一致性。任何高估或低估r值都会给参数估计与推断带来错误。当低估r值时，将导致把余下的误差修正项并入模型的随机误差项Ut。而高估r值将会把非协整向量带入协整参数矩阵中。N1阶的 P Yt -k 将由I(0) 项（协整向量与变量的积）和I(1)项（非协整向量与变量的积）混合而成，从而导致回归参数估计量及其相应统计量的非正态性分布。当用t检验临界值进行显著性检验时就会得出错误结论。估计的第一步是用样本数据Yt , (t = - k + 1, - k + 2, , 0, 1, 2, , T ) 确定协整参数矩阵 b 的秩r。对于任何r N 情形，模型 (8.61) 的零假设是 H0: rk(P) r 或 P = a b (8.62)其中 a 和 b 是N r阶矩阵。注意，这一步只能估计r（协整向量个数），无法估计 a 和 b，因为对VAR模型 (8.61) 来说，a 和 b 是“过多参数（over-parameterization）”的，无法与r同时估计。接下来构造协整检验统计量LR，估计协整向量个数r，进而估计a 和 b。把模型 (8.61) 看作数据生成系统，且0 r 组成的对角矩阵，D r表示前r个特征值组成的对角矩阵。依据 (8.84)式，因为有条件b S11 b = I，并可证明D r =S1 0 S00-1 S 01，所以集中对数似然函数（去掉常数项）表示为，logL()r = -log | (S11- S1 0 S00-1 S 01) | -log | S11-S1 0 S00-1 S 01 | = -log | I - Dr | = - (1 - li ) (8.91)其中logL()r表示约束对数似然函数。约束条件是零假设 (8.62) ，含有r个协整向量。当对 P 不施加约束时，即rk(P) N时（保留N个特征值），无约束集中对数似然函数是 logL()u = -log | I - D | = -(1 - li ) (8.92)检验零假设 (8.62) 所用的统计量是 LR = - 2 (logL()r - logL()u) = - T (1- li ) , r = 0, 1, , N - 1. (8.93)LR统计量 (8.94) 在零假设 0 r N 或“存在N - r个单位根”成立条件下不服从c2分布。Johansen证明LR统计量渐近服从如下分布。tr, (8.94)其中tr () 表示迹，W(i) 是N - r维的Wiener过程。上述统计量也称作迹统计量。该分布不能用解析的方法计算。用蒙特卡罗模拟方法得到的上述分布的百分位数表见8.3.4节。8.3.2 VAR模型中协整向量的检验检验存在r个协整向量，即（N r）个非协整向量，或者（N r）个单位根，可以表达为相应（N r）个特征值，lr+1, , lN，为零。上述 LR检验是一个连续检验过程。DYt = P Yt-1 + G1 DYt-1 + G2 DYt-2 + + Gk-1 DYt - (k-1) + FDt + ut (8.61)(1) 首先从检验r = 0开始。意即在VAR模型 (8.61) 中不存在协整向量（含有N个单位根）。如果r = 0不能被拒绝（LR 临界值），则应继续进行下面的检验。(2) r 1。意即在VAR模型 (8.61) 中存在1个协整向量（含有N-1个单位根）。如果r 1不能被拒绝（LR 临界值），检验到此终止。如果r 1被拒绝，则应进一步作如下检验。(3) r N 1。意即在VAR模型 (8.61) 中存在N 1个协整向量（含有1个单位根）。如果r N 1不能被拒绝（LR 34.91（临界值）接着检验r = 1。 LR = - 100= -100 log(0.5)+ log(0.96)= -100 (-0.693-0.04) = 73.30 19.96（临界值）接着检验r = 2。 LR = - 100 Ln (1- l3 ) = -100 log(0.96)= -100 (-0.04) = 4.082 34.91r = rk(P ) 120.5073.30 19.96r = rk(P ) 210.044.082 9.24 注：临界值取自附表1的b部分。8.3.3 VEC模型中确定项的处理1常数项的处理VEC模型中常数项的位置可分3种情形讨论。位置不同，相应的协整检验用表也不同。（1）常数项m完全属于协整空间。那么可以把m写成如下形式：m = a m1其中m是N 1阶的，a是N r阶的，m1是r 1阶的。以VAR模型Yt = m + P1 Yt-1 + ut为例，相应VEC模型形式是DYt = a b Yt-1 +a m1 + ut = a (b , m1 )+ ut (8.100)（2）常数项 m 的一部分进入协整空间，一部分属于数据空间（VAR的常数项）。下面介绍怎样把m 分离成两部分。因为a 是N r阶的，构造一个N (N r ) 阶矩阵a，使a a = 0。a 与a 正交。定义a 的目的是要把m 分离成相互无关的两部分。m = a m1 + a m2 (8.101)显然a m1能进入协整空间（见(8.100)式）。m1属于协整空间的常数项。因为a 与a 是正交，a m2不能进入协整空间。m2属于数据空间的常数项。DYt = m + a b Yt-1 + ut = a m1 + a m2 + a b Yt-1 + ut = a m2 + a (b , m1 )+ ut (8.102)下面介绍m1，m2的求法。用 (a a)-1a 左乘(8.101) 式，得(a a)-1a m = (a a)-1a a m1 + (a a)-1a a m2 = m1 (8.103)上式是 m1的计算公式。用 (a a)-1a 左乘(8.101) 式，得(a a)-1a m = (a a) 1 a a m1 + (aa)-1a a m2 = m2 (8.104)上式是 m2的计算公式。例8.6 举例说明m 的位置。设N =2的VAR模型如下， =+ (8.105)其中m =。先求a。变化上式， =+ (8.106)因为 a =，所以a =，则 a a = 0。按（8.103）式，(a a)-1a m = m1计算m1， m1 = (a a)-1a m = 1/10按（8.104）式，(a a)-1a m = m2计算m2， m2 = (a a)-1a m = 1/20验证，m = a m1 + a m2。 m = a m1 + a m2 =(1/10) +(1/20) = +=按（8.102）式，VEC模型表示为DYt = m + a b Yt-1 + ut = a m1 + a m2 + a b Yt-1 + ut = a m2 + a (b m1 )+ ut (8.107)=+m 的一部分进入协整空间，一部分进入数据空间。（3）常数项只进入数据空间（VAR的常数项），不进入协整空间。对于(8.101) 式，当a m1 = 0时，m = a m2。常数项只进入数据空间DYt = m + a b Yt-1 + ut = a m2 + a b Yt-1 + ut (8.108) 2趋势项的处理 同理，对时间趋势项t的系数d 也可以做上述分解。d = a d1 + a d2 (8.109)a d1进入协整空间，表示变量协整关系中也存在线性趋势。a d2进入数据空间（VAR的常数项）。表示原变量中存在二次方的时间趋势项，或差分变量中存在一次方的时间趋势项，例如VAR模型为，Yt = m + d t + P1 Yt-1 + ut 相应的VEC模型形式是DYt = m + d t + PYt-1 + ut = a m1 + a m2 + a d1 t + a d2 t + a b Yt-1 + ut= a m2 + a d2 t + (a b Yt-1 + a m1 + a d1 t ) + ut (8.111)= a (m2 + d2 t )+ a ( b Yt-1 + m1 + d1 t ) + ut (8.112) = a (m2, d2) + a (b , m1, d1 )+ ut8.3.4 协整检验用表 根据 m 和 d t所在位置不同，检验协整关系的LR统计量的分布也不同。检验时应选择相应的临界值表。附表1给出了5种模型条件下所对应的临界值。 附表1 VAR模型协整检验临界值表（迹统计量）单位根个数a 模型类型 N - r0.100.050.0112.863.846.51 模型（1）210.4712.5316.31m = 0, d = 0321.6324.3129.75协整空间中无常数项、无趋势项。436.5839.8945.58数据空间中无均值、无趋势项。555.4459.4666.52678.3682.4990.457104.77109.99119.808135.24141.20152.329169.45175.77187.3110206.05212.67226.4011248.45255.27269.8117.529.2412.97 模型（2）217.8519.9624.60m1 0, m2 = 0, d = 0332.0034.9141.07协整空间中有常数项、无趋势项。449.6553.1260.16数据空间中无均值、无趋势项。571.8676.0784.45697.18102.14111.017126.58131.70143.098159.48165.58177.209196.37202.92215.7410236.54244.15257.6811282.45291.40307.6412.693.766.65 模型（3）213.3315.4120.04m1 0, m2 0, d = 0326.7929.6835.65协整空间中有常数项、无趋势项。443.9547.2154.46数据空间中有线性趋势、无二次趋势项。564.8468.5276.07689.4894.15103.187118.50124.24133.578150.53156.00168.369186.39192.89204.9510225.85233.13247.1811269.96277.71293.44110.4912.2516.26 模型（4）222.7625.3230.45m1 0, m2 0, d1 0, d2 = 0339.0642.4448.45协整空间中有常数项、有线性趋势项。459.1462.9970.05数据空间中有线性趋势、无二次趋势项。583.2087.3196.586110.42114.90124.757141.01146.76158.498176.67182.82196.089215.17222.21234.4110256.72263.42279.0711303.13310.81327.4512.573.746.40 模型（5）216.0618.1723.46m1 0, m2 0, d1 0, d2 0331.4234.5540.49协整空间中有常数项、有线性趋势项。450.7454.6461.24数据空间中有二次趋势项。573.4077.7485.786100.14104.94114.367130.84136.61146.998164.34170.80182.519201.95208.97222.4610244.12250.84263.9411288.08295.99312.58 注：1模型(1)-(5)分别摘自Osterwald-Lenum (1992) 表0，表1*，表1，表2*，表2。 2a 表示检验水平，N表示VAR模型中变量个数，r表示协整向量个数。案例分析1：关于中国GDP、宏观消费与基本建设投资的VEC模型分析。(293-302)用EViews估计VAR、VEC模型。1建立VAR模型对任何一组有关系的经济变量都可以直接建立VAR模型。最大滞后期k的选择可以依据LR检验、赤池准则、Schwartz准则。建立VAR模型的EViews步骤是（1）点击Quick键，选Estimate VAR功能，得如下对话框：EViews 4.1 View 的子菜单 图8 图9问题：（1）非平稳经济变量之间可以建立VAR模型吗？若不存在协整关系不可以；若存在协整关系，在滞后项充分多的前提下可以建立VAR模型。这相当于每个方程都是AEG协整回归式。2检验变量间是否存在协整关系。从工作文件中选中变量，打开数据组窗口，点击View键，选Cointegration Test功能，得如下对话框：其中有5种选择。协整空间无常数项、无时间趋势项；协整空间有常数项、无时间趋势项，数据空间无常数项；协整空间有常数项、无时间趋势项；协整空间有常数项、有时间趋势项，数据空间无时间趋势项；协整空间有常数项、有时间趋势项，数据空间有时间趋势项。上述5种情形总览。根据变量的实际情况作出选择。表8.2 由第2种选择（k =3）得到的输出结果说明3个变量之间存在一个协整关系。3建立VEC模型。EViews命令是点击Quick键，选Estimate VAR功能，得如下对话框：在VAR设定（VAR Specification）对话框中点击VEC估计（Vector Error Correction），如下图，点击OK，得如下对话框：其中协整式（Cointegration equation）中的选择应该与前述协整检验中的选择保持一致。点击OK， 问题：（1）若对协整式（Cointegration equation）中的选择前后不一致可以否？要慎重。（2）写VEC表达式。（3）解释经济意义。注意：（1）协整检验的临界值是对极限分布而言。当样本容量比较小时，检验效果相当不可靠。在小样本条件下，Reinsel and Ahn (1992) 和Reimers (1992)建议把统计量从 LR = - T (1- li ) , r = 0, 1, , N - 1. (8.93)修改为 LR = - (T- kN) (1- li ) , r = 0, 1, , N - 1 (8.93)从而改变小样本条件下过分频繁地拒绝原假设现象。（2）通常是先确定VAR的最大滞后期k和是否包含漂移项、趋势项，然后估计协整向量个数r。但是在实际中，r的选值对k和是否包含漂移项、趋势项的选择十分敏感。为了使VEC模型具有实际可操作性，必须对模型的滞后期k，协整矩阵中包含几个协整向量r，协整向量中是否包括趋势项、漂移项l，即VECM模型的结构参数做出联合选择。 设向量误差修正模型用VECM(k, l, r)表示，其中k表示最大滞后阶数；l表示是否包括漂移项，趋势项。设定漂移项，趋势项都包括时，l为1；只包括漂移项时，l为0；漂移项，趋势项都不包括时，l为 -1。）；r表示协整向量个数。可以使用Schwartz准则BIC（统计量取极小值）确定k, l, r。 分别以滞后期k和协整向量个数r对BIC值画图，那么对应l = 1, 0, -1，每张图中都可以得到3个曲线。哪一种组合的BIC值最小，该种组合最好。如图的最佳选择是VECM(2, 1, 2)。详见金融时间序列的经济计量模型（Econometric Modeling of Financial Time Series），经济科学出版社，2002，第304-307页。上图说明向量误差修正模型选用VECM(2, 1, 2)模式最好。案例分析2：中国进出口贸易总额的协整性分析（1951-1991，file:b7c1）。用中国进出口贸易总额序列检验出协整关系。用滞后2期的VAR模型最终建立起误差修正模型。 (EViews 4.1)(EViews 4.1)(EViews 3.1)案例分析3：英国购买力平价和利率平价的协整性分析，Johansen-Juselius (1992) Johansen-Juselius (1992) 发表在计量经济学杂志（Journal of Econometrics）第53卷，211-244页。1购买力平价和利率平价同种商品在不同国家应该保持相同价格。否则就会存在套利问题。但是当汇率可以自由浮动时，套利问题就会消除。用Pt表示国内商品价格，Pt*表示国外同类商品价格，Et表示购买力平价，则有Et = Pt / Pt*即一个单位的外国货币相当于多少本国货币。对数形式是LnEt = Ln Pt - LnPt*3个变量的长期均衡关系是Ln Pt - LnPt* - LnEt = u1t其中ut表示非均衡误差，是一个均值为零，平稳的随机过程。在均衡点处有ut = 0。下面考虑与商品有关的资本市场条件。生产商品必然与金融资产相联系。而金融资产可以用金融债券度量。国内外对这些债券的利息率是不一样的。分别用Rt，Rt*表示。资本市场的套利行为对汇率形成压力。制定汇率必须使国内外利率差与t+1期、t期之间汇率差相等，即保证Rt - Rt* = E(t) (Et+1) - Et = u2t其中Et 表示名义汇率（货币的购买力平价）。E(t) (Et+1)表示t期对t+1期汇率的期望。u2t是非均衡误差，是一个平稳的随机过程。保持Rt，Rt*相等称为利率平价。2协整关系的预分析如果用 Yt = (LnPt, LnPt*, LnEt, Rt, Rt*)表示变量列向量，希望能存在两个协整关系。b1 = (1 -1 -1 0 0)b2 = (0 0 0 1 -1)b1表示购买力平价协整向量，b2表示购利息率平价协整向量。3估计协整向量个数r。 用Pt表示英国商品综合批发价格指数。Pt*表示进口商品综合批发价格指数。Et表示英国实际汇率。Rt表示三个月的金融债券利率。Rt*表示三个月的欧元利率。样本数据范围是1972:1-1987:2。通过对数据走势的分析，认为批发价格指数序列中存在线性趋势。所以在VAR模型中应该有一个非约束常数项（既进入协整空间，也进入数据空间）。2阶VAR模型估计结果显示残差序列的峰度值很高（高峰厚尾特征），为非正态分布。残差序列的方差很大主要是由于世界石油价格的变化造成的。用石油价格调整批发价格指数，再次估