第十八章混沌动力学.ppt

第一节混沌运动,一、混沌概念二、混沌运动,（一）、Logistic方程定义域为0,1，a0,1,（二）、从周期倍化到混沌三条通往混沌的典型道路：倍周期分叉道路、阵发性道路以及准周期分叉道路。,1、Feigenbaum常数分叉点序列是几何收敛的，而且序列中前后两点的间距之比也是收敛的。令比值为则为Feigenbaum常数。,2、标度因子设前后两次分叉宽度之比为则有，又称为第二Feigenbaum常数,（三）、混沌区的秩序1、混沌带的分叉序列,2、周期3窗口和阵发混沌,3、无穷尽的自相似嵌套结构,第二节混沌与奇怪吸引子,一、相空间与吸引子（一）相空间,（二）吸引子集合U由许多点组成，U内的点按某种规律运动，U内含有子集合A，如果（1）集合A中的点永远不会运动出A，（2）集合B中的点在t时进入集合A或者无穷地接近集合A，则A为U的吸引子。,1、稳定点不动吸引子2、稳定点极限环吸引子3、准周期吸引子,平庸吸引子的基本特征是：第一具有低的整数维度。第二稳定性。,二、混沌运动与奇怪吸引子,（一）Lyapounov指数设迭代函数，初值为，迭代值时间序列为若是对初值的偏离，则各次迭代产生的偏离为将每次迭代产生的偏离用指数形式表示为,再用表示的n次迭代函数，则有称为Lyapounov指数。,（二）奇怪吸引子的主要特征1、整体稳定性奇怪吸引子局限于有限的区域内，会吸引附近的动点进入自己的集合，内部动点永远都不会离开吸引域，这表现它是一类吸引子。若以吸引子上任一点为初值，经过多次迭代都可得到完全相同的吸引子，这说明它对应决定方程的一个稳定解集。2、局部不稳定性奇怪吸引子上各处Lyapounov指数均为正，所以局部轨道极不稳定，表现为相邻轨道指数分离，运动对初值敏感，长期预测不可能。,3、无穷层次的自相似结构,4、具有分数维，连续功率谱，以及正的测度熵等统计特征。,第三节分形与分维,一、分形（一）规则分形,（二）随机分形,无标度性，是指被研究的客体与尺度无关。,二、分维,用边长为的小块覆盖边长为1的空间。如果所需要的小块数为N，那么空间维数可表示为,第四节生物混沌,一、生物分形健康动力学应以分形结构为标志。分形过程与多尺度，宽频带相联系，这有利于生物系统去适应复杂的环境变化。细胞的有丝分裂过程就是分形蛋白质的分子链具有分形的特征DNA（脱氧核糖核酸）的自我复制方式类似于康托儿集的生成过程。DNA是一个分形体，内部存在多个层次。生命体在组织和器官层次上表现出的分形性相当普遍。,二、生物混沌（一）生理节律中的混沌1、生理混沌2、病理混沌,（二）生物混沌模型,1、研究心率失常的模型设第n个脉冲刺激时相位为，下一个脉冲时相位为，则有令其中，C、n和s都是与脉冲强度有关的参量。,2、神经元放电活动模型,其中a、b、c、d、r、s、均为参数。,3、白细胞生成控制模型x表示粒细胞密度，表示单位时间内衰亡比例，表示过去某时刻细胞密度，则应满足的方程为：,其中，、n是参量。,第五节混沌控制及其应用,一、混沌控制将动力学系统的混沌状态转化为预先确定的平衡状态或周期性状态，也可以是非周期性状态或新的混沌状态，并且实现稳定控制。这里所指的动力学系统即可以是由微分方程描述