加权残数法课件.ppt

计算结构力学,加权残数法,3.1基本原理及发展概况3.2加权残数法分类3.3伽辽金法的应用3.4最小二乘法的应用,3.1基本原理及发展概况,3.1.1基本原理试探函数,代入,微分方程边界条件,域内残值：,边界残值：,令,加权积分=0,关于代数方程组,域内权函数,边界权函数,解方程,U近似解,试函数：多项式、三角函数、样条函数等,3.1基本原理与发展概况,3.1.2发展概况基本思想在19世纪初提出1920年代用于求解微分方程1950年代crandall统一命名为“加权残数/余量法”1970年代前主要应用于计算流体力学、空气动力学、热传导等1970年末，徐次达教授引入国内并应用于固体力学,3.2加权残数法分类,3.2.1按试函数分类,按试函数分类,内部法试函数满足边界条件,边界法试函数满足微分方程,混合法试函数不满足微分方程、边界条件,内部法：,边界法：,混合法：,实际分析中尽可能采用内部法或边界法,(j=1,2,m),(j=1,2,m),(j=1,2,m),3.2加权残数法分类（续）,3.2.2按权函数分类（以内部法为例）,按权函数分类,子域法,配点法,最小二乘法,矩量法,伽辽金法,1.子域法,在求解域V中取m个子域（j=1,2，.,m)使,权函数,1，,0，,M个线性代数方程：A=b,例3-1,微分方程：,边界条件：,求u的近似表达式,解：采用内部法选取满足边界条件的试函数,取用前两项：,残值：,1、子域法（续）,例3-1：取两个子域，即m=2,0,0.25,0.5,0.75,1,子域1：x=00.25，,子域2：x=0.250.5，,解得：,误差：34%,2、配点法（thecollocationmethod）,配点法的权函数,Diracdelta函数的定义：,函数的性质：,x,(x-),3、最小二乘法（leastsquaresmethod）,基本思想-使残值平方和I最小。（1）连续型最小二乘法,权函数：,例3-1：,取满足边界条件的试函数：,残值：,解得：,误差：,1.772.41%,（2）离散型最小二乘法,取n个配点，使配点残值平方和I最小。,例3-1：,取满足边界条件的试函数：,残值：,取配点数n=3，选,求得：,解得：,误差0.00.53%,如选配点,误差0.720.97%,4.矩量法（MethodofMoment）,权函数：加权积分式：理论依据：有限矩阵定理：若连续函数f(x)在有限区间a,b上满足则f(x)在a,b上至少变号n次。显然，当n时，f(x)0例3-1【解】取权函数为1，x,可得：解得：,5.伽辽金法（GalerkinMethod）,选：满足边界条件基函数线性无关取权函数加权积分式：例3-1.【解】取试函数：残值：,3.3伽辽金（Galerkin）法的应用,3.3.1Galerkin法解一维问题例3-2简支梁受均布荷载，求弹性挠曲线。微分方程：边界条件：,例3-2（续）Galerkin方程组：,3.3.2Galerkin法解矩形薄板弯曲问题,例3-3周边固支矩形薄板弯曲问题D2aAx微分方程：2bCB边界条件：y满足对称性，满足边界条件,取一阶近似：,残值：,、,权函数：,Galerkin方程：,解得：,对于方板（a=b）中心挠度：,精确解：,误差：5.4%,3.4最小二乘法的应用,3.3.1最小二乘法的一维问题例3-4：两端固定梁受均布载荷，求弹性挠曲线,微分方程：,边界条件：,内部法取试函数：,满足边界条件,残值：,权函数：,A,B,y,x,l,EI=常数,例3-4(续),加权参数方程组：,与精确解答案一致。,3.3.1最小二乘法解一维问题（续）2.混合法,取：,不满足方程，不满足边界条件,相对权函数,内部残值：,边界残值：,3.3.1最小二乘法解决一维问题（续）,2.混合法（续）,内部权函数：,边界权函数：,混合法（续）,代入加权残数方程组，解得：,为精确解,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力