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文档简介

2013年1月工科数学分析试题(A)解答一. (10分)1. 用语言叙述“极限”的定义. 2. 根据数列极限的定义证明: 解1 如果对每个, 存在, 当时, 就有, 那么称是数列的极限, 记做.证2 任取. 根据平均值不等式, .因此, ,.为使左端小于, 只需右端, 即. 因此, 如果选, 那么当时, . 证毕. 二. (15分)1. 求极限 . 2. 求极限 . 3. 求极限 . 解1 用表示所给的数列, 那么根据Stolz法则, .因此, . 另一种方法 根据平均值不等式, ,所以, . 解2 所给极限可化为.后一个因式的极限为.所以, 原极限为解3 根据定积分的保序性, . 三. (20分)设函数(1) 证明是有界函数. (2) 分析函数在哪些区间上单调增, 在哪些区间上单调减. (3) 求的极值. (4) 求函数的上确界和下确界证(1) . 因此, 结论(1)成立. 解(2) 在区间内, 求导数, 令, 得.得到. 于是,因此, 函数在区间上单调增, 在上单调减. 解(3) 根据(2)的结果, 函数在点处取得极大值, 解(4) 因为, 而, 所以另外, 从单调性可以看出, 函数在点处取得最大值, 所以四. (20分)1. 设, 求导数.2. 设函数由下列参数方程定义,. 求一阶导数和二阶导数. 3. 求不定积分 4. 求定积分. 解1 设中间变量, 那么, 所以 解2 根据参变量求导法, . 解3 原积分可以化为最后这个积分可化为.因此, . 解4 所给的定积分可化为五. (10分)1. 设函数在区间上有界. 对这个函数叙述定积分的定义. 2. 求极限.解1 分割 把区间任意分割成有限个子区间的并: . (7.1.1)用表示第个子区间的长度: .用表示各个子区间长度的最大值, 假定 采样 在每个子区间上, 任取样点, 求出函数在样点上的值, 乘以相应子区间的长度, 得到乘积值.求和 把这些数值相加, 得到和数.求极限 当时, 如果和数的极限存在, 并且极限值与区间的分割方式无关, 与样点的选取也无关, 就把这个极限称为在区间上的定积分, 记做.这时, 就说函数在区间上是可积的. 解2 在所给的和数中, 对各被加项的分子、分母同除以, 就得到.现在, 在区间上考虑函数.把区间等分, 取各子区间的右端点为样点, 那么积分和数就是上述和数, 而函数是连续的, 所以, 根据定积分的定义, 六. (10分)证明不等式: 如果都是正数, 并且, 那么.证 考虑对数函数.这个函数的导数为, 所以, 是区间内的凹函数. 因此, , 即 . 在这个不等式的两边取指数, 就得到要证明的不等式. 证毕. 七. (10分) 设函数在区间上有连续的导函数, 并且, 证明:.证 对左端的积分应用分部积分法, 就得到于是, 根据柯西不等式, 就得到 . 八. (5分)1. 求积分. 2. 证明不等式: .解1 根据三角函数的积分的特点, 就得到. 证
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