第5章 刚体力学.doc

101 第5章 刚体力学对于机械运动的研究，只局限于质点的情况是很不够的。质点的运动只代表物体的平动。物体是有其形状和大小的，它可以做平动、转动，甚至于做更为复杂性的运动；而且在运动中，物体的形状也可能发生变化。在本章讨论的刚体，考虑其形状和大小，但是不考虑其形变，仍然是一个理想模型。前四章我们介绍了力学的基本概念和原理，比如：质点、位矢、位移、速度和加速度，牛顿定律、动量和冲量、功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定律。在那里，这些概念和定理、定律是应用于质点，也用于质点系。本章将介绍一种特殊的质点系刚体所遵从的力学规律。这些规律实际上是前几章的基本概念和原理在刚体上的应用。 本章重点讨论刚体的定轴转动这种简单的情况。重要的概念有转动惯量、力矩、角速度和角动量等，守恒定律同样适用于包括刚体的系统。角动量定理和角动量守恒定律在现代物理学和航天科技中有着特别重要的意义。5.1刚体的基本运动5.1.1 刚体一般假定物体在任何情况下，形状和大小都不发生变化，称之为刚体。5.1.2 刚体的平动刚体在运动过程中，连接刚体内任意两点的直线始终保持自身平行，则这种运动称为刚体的平动。图5.1-1 刚体的平动 如图5.1-1所示。刚体平动时，刚体上各点的运动情况完全相同，具有相同的位移、速度和加速度等。只要知道刚体上任一点的运动情况，整个刚体的运动情况也就知道了。这样刚体的平动可以看成是质点的运动，描述质点运动的各个物理量和质点力学的规律都适用于刚体的平动。5.1.3 刚体的定轴转动如果在运动过程中，刚体上所有质元都绕同一直线作圆周运动，则这种运动称为刚体的转动；该直线称为转轴，若转轴固定不动，则这种运动称为刚体定轴转动，如图5.1-2所示。 图5.1-2 刚体定轴转动圆周轨道所在平面垂直转轴，这平面称为转动平面；圆轨道的中心就是转动平面与转轴的交点O，称为转心。刚体上所有半径（）不等、速度不同，但是各个在相同的时间间隔内都转过了相同的角度，如图5.1-2所示。5.2刚体的定轴转动刚体绕某一固定轴转动时，各质元的线速度、加速度一般是不同的，如图5.2-1所示。但是，由于各质元的相对位置保持不变，所以描述各质元运动的角量，如角位移、角速度和角加速度都是一样的。因此，描述刚体运动时，用角量较为方便。5.2.1 基本角量若用表示刚体在时间内转过的角位移，其角速度矢量为图5.2-1，其大小为， 图5.2-1 它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。刚体定轴转动的角速度实际上是其在转轴方向上的分量。所以，可以简化为标量。即 （5.2-1），角加速度为 （5.2-2）离转轴的距离为r的质元的线速度和刚体的角速度的关系为： （5.2-3）其加速度和刚体的角加速度的关系为： （5.2-4） （5.2-5）刚体转动的一种简单的情况是匀加速转动，在这一转动过程中，刚体的角加速度保持不变。以表示刚体在t=0时的角速度，以表示刚体在t时的角速度，以表示刚体在0到t时刻的角位移，类比匀速直线运动，可推导出相应的公式： （5.2-6） （5.2-7）， （5.2-8）。图5.3例5.2-1、 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，如图5.2-2所示。滑轮半径，如果升降机从静止开始以加速度匀加速度上升，求： （1）、滑轮的角加速度；（2）、开始上升后，末滑轮的角加速度；（3）、在5秒内滑轮转过的圈数；（4）、开始上升后，末滑轮边缘上一点的加速度（假设缆索和滑轮之间不打滑）。图5.2-2解：（1）由于升降机的加速度和轮缘上一点的切向加速度相等，根据， ；（2）、 ， ；（3）、 ，；（4）、如图5.2-2所示，已知，又 ，故 这个加速度的方向与轮缘切线方向的夹角 。5.2.2 力矩为了改变刚体原来的运动状态，必须对刚体施加作用力。外力对刚体转动的影响，不仅与作用力的大小有关，而且与力的方向和作用点的位置有关。例如，我们用同样大小的力推开门时，当作用点靠边门轴不易把门打开；当作用点远离门轴，门就容易推开。由此可以看出，要改变刚体原来的运动状态就必须考虑作用力的大小、方向和作用点三要素。为此，我们引入力矩这一物理量。图5.2-3 力矩的方向右手螺旋法则如图5.2-3所示，设转轴O垂直于刚体的转动平面，作用力和作用点的矢径都在平面内，力与矢径的夹角为。显然，力越大、力的作用点离O轴越远（即矢径越大），且其夹角越接近于，力产生的效果就越显著。因此，我们定义作用力对转轴的力矩为 （5.2-9）由5.2-9式可知力矩的大小为 （5.2-10）令5.2-2式中，则d是转轴O与作用力线间的垂直距离，称为力臂。力矩方向用右手螺旋法则确定：伸出手掌，四指先指向矢径方向，沿小于180度转向作用力的方向，则拇指所指方向就是力矩的方向，如图5.2-3所示。力矩的方向用表示，它只有正和负两个方向：刚体沿逆时针转动时方向为正，沿顺时针转动时方向为负。当刚体同时受到几个力矩作用时，合力矩等于各个力矩的代数和。5.2.图5.33 转动定理为了研究刚体的运动，我们可以将刚体无限的分解为无穷多的质点，然后采用叠加原理进行求和或者积分的手段，对整个刚体进行研究。这样，我们就可以将研究质点运动的方法应用于刚体力学的研究。如图5.2-4所示，刚体绕定轴O转动，以质元为研究对象，其所受外力为，内力为，到定轴O的矢径为；且与之夹角为，与之夹角为。刚体转动时，该质元做圆周运动，半径是；所受的切线方向力的大小为：，1、应用牛顿第二定律 两边同时乘以 2、应用叠加原理求和图5.2-4，此式的物理意义是：等式的左边为合外力矩和合内力矩之和。3、根据牛顿第三定律，内力中的任何一对（比如质元和）作用力和反作用力大小相等、方向相反，且在同一线上，所以每一对内力的合力矩为零，则有 ，上式转化为 4、刚体定轴转动定理因为力矩 ，设 （5.2-11）（5.2-11）式定义为其转动惯量，式，改写为 （5.2-12）严格地讲，这个式子是矢量式， 即 它在Z轴上的投影为 。（5.2-12）表明：刚体做定轴转动时，刚体对定轴的转动惯量与其角加速度的乘积等于刚体所受外力的合外力矩，称为刚体定轴转动定理。5.2.4 刚体的转动惯量的计算应用刚体定轴转动的动能定理公式时，我们需要先求出刚体对定轴的转动惯量，按（为刚体的转动惯量）的定义式计算。对于质点连续分布的刚体，上述求和可以用定积分代替， 即 （5.2-13）式中，r为刚体质元dm到转轴的垂直距离。转动惯量的物理意义:由（5.2-11）可知，刚体对定轴的转动惯量等于刚体中各质元的质量和它们各自离该轴的垂直距离的平方的乘积的总和，它的大小不仅与刚体的总质量有关，而且和质量相对于轴的分别有关，其关系可概括如下1、形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大；2、刚体总质量相同，质量分别离轴越远，转动惯量越大；3、同一刚体，转轴不同，质量分别就不同，而转动惯量就不同。在国际单位制中，转动惯量的量纲为ML，单位名称是千克二次方米，符号为kgm。下面举几个计算刚体转动惯量的例子。例5.2-2 求一质量为，长度为L均匀细棒相对于（）垂直于棒且通过棒的一端的轴和（）垂直于棒且通过中心轴的转动惯量。解：这是一道“转动惯量的计算”的问题，从转动惯量的定义出发依题意作图，如图5.2-5所示。选定研究对象（质元 ）数理逻辑推理（微积分）归纳得出和讨价结论。1、 选定研究对象和坐标系OXYZ（为单位体积质量）， 2、 从转动惯量的定义出发，解（）：；解（）：利用（）的结果，将棒分为相等的两段，每段的质量为，长度为；每段的转动惯量为图5.2-5 根据叠加原理：；例5.2-3、求质量为，半径为，厚度极薄的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过其圆心，如图5.2-6（）所示。解：根据转动惯量的定义式，又因为环上个质元到轴的垂直距离为R，且都相等，所以 （b）图5.2-6（a）由于转动惯量是可加的，所以一个质量为，半径为的薄圆筒对其轴的转动惯量也是。例5.2-4、求质量为，半径为，厚度为的均匀圆盘的转动惯量。轴与圆盘平面垂直并通过其圆心，如图5.2-6（）所示。解：根据转动惯量的定义式，又因为圆盘可以认为是由许多原环组成。取任一半径为，宽为的薄圆环，其转动惯量为，式中为薄圆环的质量，以表示圆盘的体密度，则，所以， 。5.2.5 转动定理的应用5.2-5、如图5.2-7（）所示，一条轻质绳绕过一只轴承光滑的定滑轮绳的两端分别悬挂质量为和的物体，且。设滑轮的质量为，半径为，绳与论之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳中的张力？解题思路：这是一道刚体定轴转动的试题，根据已知条件，应用牛顿定律和刚体转动定理，可解此题。做图，如图5.2-8（）所示。解题：1、用隔离体法分别对物体进行受力分析，运用牛顿定律对 （1） 因为绳不可伸长，所以，对 （2）2、由刚体转动定理 （3）3、 根据牛顿第三定律 （4）4、运动学方程 （5）5、数理逻辑推理联立（1）、（2）、（3）、（4）和（5）求解（2）-（1） （6）图5.2-7（6）代入（3），得到 ， 将代入（5），将代入（1） ，将代入（2） 。所以 。 5.3 刚体定轴转动的功和能在刚体转动时，作用在刚体上某点的力做的功仍然用此力和受力作用的质元位移的标积来定义。但是，对于刚体这个特殊的质点系，在转动中做的功可以用一个特殊形式表示。5.3.1力矩的功 图5.3-1 如图5.3-1所示，刚体的一个截面与其转轴正交于O点，F为在此截面内作用在刚体上P点的外力。当刚体绕转轴有角位移时，力F做的元功为 （5.3-1）由于是力F沿方向的分量，因而垂直于的方向，所以就是力对转轴的力矩M，因此有 （5.3-2）即力对转动刚体做的元功等于相应的力矩和角位移的乘积。对于有限的角位移，力的功应该用积分求得 （5.3-3）上式称为力矩的功，这就是里做的功在刚体转动中的特殊表示形式。则力矩的功率为 （5.3-4）5.3.2 刚体定轴转动的动能1、研究方法以质元mi为研究对象，质元作圆周运动和应用叠加原理进行研究；2、质元的动能 （5.3-5） （5.3-6）式中，为刚体的转动惯量，则 （5.3-7）3、刚体定轴转动的动能与质点的动能对比： 质点的动能 ，刚体转动的动能；由此可以看出：刚体的转动惯量I是刚体绕定轴转动的惯性大小的度量，类比：。5.3.3 动能定理当外力矩对刚体做功时，刚体的转动动能发生变化。下面求力矩的功与刚体的转动动能的变化之间的关系。将转动定理代入（5.3-2），得当角速度由变成时，外力矩对刚体做的功为 （5.3-8）上式表明，刚体绕定轴转动时，刚体所受外力矩所做的功等于刚转动动能的增量，称为刚体定轴转动的动能定理。 例5.3-1、如图5.3-2所示，一个质量为M，半径为R定滑轮上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此刻滑轮的角速度。图5.3-2解：选取滑轮、物体和地球为研究系统，在质量为m的物体下降的过程中，滑轮轴对滑轮的作用力（外力）的功为零（无位移）。因此，系统只有重力（保守力）做功，所以机械能守恒。图5.3-2滑轮的重力势能不变，可以不考虑；取物体的初始位置为零势能点，则系统的初态的机械能为零，末态的机械能为：机械能守恒：=0将关系式 和 代入上式，可得： ，滑轮的角速度为。5.4 刚体定轴转动的角动量图5.5-1所示，刚体绕定轴转动时，应该具有角动量L。当刚体绕定轴以角速度转动时，它绕该轴角动量为对Z轴角动量表达为 （5.4-1）说明：刚体所受的外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。（5.4-1）式和质点角动量定理公式（3.3-2）类似，不同的是：前者中的M和L是对定轴说的，而后者中的M和L是对定点而言；可以证明式（5.4-1）是（3.3-2）式沿定轴Z方向的分量式。在国际单位制中，角动量L的单位是千克二次方米秒，符号为，其量纲为。5.4.1 刚体定轴转动的角动量定理在定轴转动中，刚体对转轴Z的角动量L对时间的变化率，等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩之和，称为刚体定轴转动的角动量定理。表达式为 （5.4-1）其积分式为 （5.4-2）5.4.2 刚体定轴转动的角动量守恒定律在定轴转动的过程中，当时， （5.5-3）这就是刚体定轴转动的角动量守恒定律，对该固定轴的角动量矢量保持不变。 刚体的角动量守恒在现代科学技术中的一个重要的应用是惯性导航，所用的装置叫回转仪，也叫陀螺。它的核心部分是装置在常平架上的一个质量较大的转子，如图5.5-1（）所示。常平架是由套在一起分别具有竖直轴和水平轴的两个圆环组成。转子装在内环上，其轴与内环的轴相互垂直。转子精确地对称于其转轴的圆柱，各轴承均高度潤滑，这样转子就具有可以绕其自由转动的三个相互垂直的轴自由转动。因此，不管常平架如何移动或转动，转子都不会受到任何力矩的作用。所以，一旦使转子高速转动起来，根据角动量守恒定律，它将保持其对称轴在空间的指向不变。安装在船、飞机、导弹或宇宙飞船上的这种回转仪就能指出这些船或飞行器的航向相对空间某一定向的方向，从而起到导航的作用。在这种应用中，往往用三个这样的回转仪并使它们的转轴相互垂直，从而提供一套绝对的笛卡尔直角坐标系。我们可以想一下，这些转子竟能在浩瀚的太空中认准一个确定的方向，并且使自己的转轴始终保持指向它而不改变，多么不可思议的自然界！上述导航装置出现不过一百年，但是，常平架在我国早就出现了，那是西汉（公元1世纪）丁缓设计制造的被中香炉，如图5.5-1（b）所示。他用两个套在图5.5-2（a）（b）图5.5-1一起的环形支架架住一个小香炉，香炉由于受到重力，总是悬着。不管支架如何转动，香炉总不会倾倒。遗憾的是：这种装置只是用来被褥中取暖时的安全，而没有得到任何在技术上的应用。虽然如此，它也闪烁了我们祖先的智慧的光辉。在日常生活中，角动量守恒也有着广泛的应用。例如花样滑冰运动员和芭蕾舞蹈运动员绕通过重心的铅直轴高速旋转时，由于外力（重力和水平图5.5-3面的支持力）对轴的力矩恒为零，因而表演者对旋转轴的角动量守恒。他们可以通过改变自身的姿态来改变对轴的转动惯量，从而来调节自己的旋转的角速度。又如跳水运动员在跳板上起跳时，总是向上伸直双手臂，跳到空中时，又将身体收缩，以减小转动惯量来加快空翻速度；当接近水面时，又身直双手臂以减小角速度以便竖直进入水中，如图5.5-2所示。图5.5-2例5.5-1、如图5.5-3所示，长为L，质量为的均匀细棒能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于垂直位置。现有一质量为的子弹，以水平速度射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运动时的角速度？ 题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的合外力（重力和轴的支持力相等）对转轴O的力矩都为零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守恒。 解题思路：根据上述的分析，对系统应用角动量守恒定律，可解此题。O解：依题意可设和分别为系统开始的速度和角速度，且已知子弹和细棒对于转轴O的转动惯量分别为 图5.5-3 （1） （2）根据角动量守恒定律则有当 = 0时， （3）所以 （4）数理逻辑推理联立（1）、（2）和（4）式,可得 。 质点的运动规律和刚体的定轴转动规律对比 质点的运动 刚体的定轴转动速度 角速度 加速度 角加速度 力 力矩 质量 m 转动惯量 I=运动定律 转动定律 动量、动能 动量、动能角动量 角动量 动量定理 角动量定理 动量守恒 ，=恒量 角动量守恒 ，=恒量动能定理 动能定理 思考题51、如果一个刚体很大，它的重力势能还能等于它的全部质量集中在质心时的势能吗？52花样滑冰运动员想高速旋转时，她先把一条腿和两臂伸开，并用脚蹬冰使自己转起来，然后她再收拢腿和臂，她的转速就明显地加快了，这利用可什么原理？53、宇航员悬立在飞船坐舱内的空中时，不触按舱壁，只能用右脚顺时针划圈，身体就会向左转；当两臂伸直向后划圈时，身体又会向前转，这是为什么？习题51 、求地球表面上纬度为的P点，相对于地心参考系的线速度和加速度的数值与方向。 52、一刚体以每分钟60转绕Z轴做匀速转动（沿Z轴正方向），设某时刻刚体上一点P的位失为，其单位为“”为速度单位，则该时刻P点的速度为：（A） （B）（C） （D） 5.3、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：（1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；（2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；（3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；（4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。在上述说法中，（A）只有（1）是正确的。（B）（1）、（2）正确，（3）、（4）错误。（C）（1）、（2）、（3）都正确，（4）错误。（D）（1）、（2）、（3）、（4）都正确。 53、刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 (A) 刚体不受外力矩的作用 (B) 刚体所受合外力矩为零 (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零 (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变 5.4、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则刚体（A）、必然不会转动； （B）、转速必然不变；（C）、转速必然改变；（D）、转速可能改变，也可能不变。5.5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动。如图1所示，射来两个质量相同、速度的大小相同而方向相反，并在同一条直线上的子弹。子弹射入并且停留在圆盘内，则子弹射入的瞬间，圆盘的角速度0（A） 增大；（B）不变；（C）减小；（D）不能确定。 图 5.15.6、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O以角速度转动，如图所示。两个大小相同而方向相反，但是不在同一条直线上的力F，沿盘面同时作用在圆盘上，则圆盘的角速度（A）、必然增大；（B）、必然减小；（C）、不会改变；（D）、如果变化不能确定。 5.7、有一半径为R的水平圆转台，可绕过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J。开始时，转台以角速度0转动，此时有一质量为M的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去。当人到达转台边缘时，转台的角速度为图 5.2（A）、；（B）、；（C）、；（D）、0。 5.8、如图3所示，有一个小块物体，置于一个光滑水平桌面上。有一绳其一端连接此物体，另一端穿过中心的小孔。该物体原以角速度在距孔为R的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体图 5.3（A）、动能不变，动量改变；（B）、动能改变，动量不变；（C）、角动量不变，动量不变；（D）、角动量改变，动量改变； 5.9、飞轮的转动惯量为J，在t=0时的角速度为0。此后飞轮经历制动的过程，阻力矩M的大小与角速度的平方成反比，比例系数K（为大于零的常数）。当时，飞轮的角加速度= ；从开始制动到，所经过的时间t= 。图 5.4图 5.5 5.10、如图4所示，P、Q、R和S是附于刚体轻质细杆上的质量分别为：4m、2m、2m、和m的四个质点，且PQ=QR=RS=L，则系统对OO轴的转动惯量为： 。5.11、如图5所示，一质量为M，半径为R的薄圆盘，可绕通过其一直径的光滑轴AA转动，其转动惯量为。该圆盘从静止开始在恒力矩M的作用下转动，t秒钟后位于圆盘边缘与轴AA的垂直距离为R的B点的切线加速度at = ；法线加速度an= 。5.12、一长为L的轻质细杆，两端分别固定质量为M和2M的小球，此系统在竖直平面内可绕过其中心点O且与杆垂直的水平固定轴转动。开始时，杆与水平成60角，处于静止状态，无初速度地释放后，杆球系统绕O转动，杆与两小球为一刚体，绕O轴转动惯量J= 。释放后当杆转到水平位置时，刚体受到的合外力矩M= ，角速度= 。5.13、质量分别为2m和m的两物体（可视为质点），用一长为的轻质细杆相连，系统绕通过杆与杆垂直的轴O转动。已知O轴离质量为2m物体的距离是/3而质量为m物体的线速度为V且与杆垂直，则该系统对转轴的角动量的大小为： 。514、一可绕定轴转动的飞轮，在20N.m的总力矩作用下在10s内转速由零均匀地增加到 ，飞轮的转动惯量I= 。5.15、转动惯量是物体 量度，其大小与刚体的 ，质量分布 ，和 有关。5.16、半径为20cm的主动轮，通过皮带拖动半径为50cm的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作匀角加速度转动，在4s内被动轮的角速度达到8，则主动轮在这段时间内转过了 圈。517、绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t0时角速度为w 05 rad / s，t20 s时角速度为w = 0.8w 0，则飞轮的角加速度b _，t0到 t100 时间内飞轮所转过的角度q _ 5.18、质量为5kg的一桶水悬于绕在辘轳上的绳子下端，辘轳可视为一质量为10kg的圆柱体，桶从井口由静止释放，求桶下落过程中的张力，辘轳绕轴转动时的转动惯量为，其中M和R分别为辘轳的质量和半径，摩擦忽略不计。图 5.65.19、飞轮对自身轴的转动惯量为，初角速度为，若作用在飞轮上的阻力矩为常量，试求飞轮的角速度减到时所需的时间t以及在这一段时间内飞轮转过的圈数N；若（为常数），再解以上问题。5.20、一均匀细杆可绕其一端（为杆长）的水平轴O在垂直平面内转动，杆的质量为M，当自由悬挂时，给它一个起始角速度，如杆恰能持续转动而不摆动（一切摩擦不计）。则（A）（B）（C）（D）图 5.7 图 5.85.21、一静止的均匀细棒，长为L，质量M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑轴O在水平面内转动，一质量为m，速率为的子弹在水平面内恰与棒垂直的方向射入棒的自由端，设击穿棒后子弹的速度为（），则此时棒的角速度为（A） （B） （C） （D）。 5.22、在光滑的水平面上一根长的 图 5.9绳子，一端固定于O点，另一端系一质量m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m，绳子处于松驰状态，现在使物体以初速度垂直于OA滑动，如图9， 设以后的运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向与绳垂直，则此时刻物体角动量的大小= ，物体的速度 ，= 。5. 23、如图10，已知滑轮的半径为r，转动惯量为I，弹簧的倔强系数为k，问质量为m的物体落下h时的速率= 。设开始时物体静止且弹簧后无伸长。图 5.10524、一水平圆盘绕通过圆心的竖直轴转动，角速度为，转动惯量为，在其上方还有一个以角速度，绕同一竖直轴转动的圆盘，这圆盘的转动惯量为，两圆盘的平面平行，圆心都在竖直轴上，上盘的底面有销钉，如使上盘落下，销钉嵌入下盘，使两盘合成一体。（1）求两盘合成一体后系统的角速度的大小？（2）第二个圆盘落下后，两盘的总动能改变了多少？5.25、在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为（1/2）R处，人的质量是圆盘质量的1/10，开始时盘载人相对地以角速度匀速转动，如果此人垂直圆盘半径相对于盘以速率沿与盘转动相反方向作圆周运动。已知圆盘对中心轴的转动惯量为，求：人沿（1）、圆盘对地的角速度。（2）、欲使圆盘对地静止，沿着（1/2）R圆周对圆盘的速度的大小及方向？5.26、一个哑铃由两个质量为m，半径为R的铁球和中间一根长为连杆组成，如右图11所示。和铁球的质量相比，连杆的质量可以忽略不计。求此哑铃多对于通过连杆中心并和它垂直的轴的转动惯量。它对于通过两球的连心轴的转动惯量又是多大？ 图 5.11图 5.125.27、两物体质量分别为和，定滑轮的质量为m，半径为，可视为匀圆盘。已知与桌面间的滑动摩擦系数。求下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。5.28、如图13所示，长为L的均匀直棒质量为M，上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为m，以水平速度射入杆的悬点下距离为d处而不复出。求： （1）子弹刚停在杆中时杆的角速度多大？ （2）子弹冲入杆的过程中（经历时间t），杆的上端受轴的水平和竖直分力各多大？图 5.13529、一飞轮以等角加速度2 rad /s2转动，在某时刻以后的5s内飞轮转过了100 rad若此飞轮是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？ 530、已知一定轴转动体系，在各个时间间隔内的角速度如下： 0 ， 0t5 (SI)， 03t15 5t8 (SI) 13t24， t8 (SI) ， 式中，018 rad /s (1) 求上述方程中的1 (2) 根据上述规律，求该体系在什么时刻角速度为零531、如图14所示，一圆盘绕通过其中心且垂直于盘面的转轴，以角速度w作定轴转动，A、B、C三点与中心的距离均为r试求图示A点和B点以及A点和C点的速度之差和如果该圆盘只是单纯地平动，则上述的速度之差应该如何？ 图 5.14532、如图15所示，一圆盘形工件K套装在一根可转动的固定轴A上，它们的中心线互相重合，圆盘的内外直径分别为D和D1该工件在外力矩作用下获得角速度w 0，这时撤掉外力矩，工件在轴所受的阻力矩作用下最后停止转动，其间经过了时间t试求轴所受的平均阻力这里圆盘工件绕其中心轴转动的转动惯量为m(D2) / 8，m为圆盘的质量轴的转动惯量忽略不计图 5.15 533、 一砂轮直径为1 m质量为50 kg，以 900 rev / min的转速转动撤去动力后，一工件以 200 N的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在11.8 s内停止求砂轮和工件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为mR2，其中m和R分别为砂轮的质量和半径). 534、一刚体绕固定轴从静止开始转动，角加速度为一常数试证明该刚体中任一点的法向加速度和刚体的角位移成正比535、绕固定轴作匀变速转动的刚体，其上各点都绕转轴作圆周运动试问刚体上任意一点是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向加速度和法向加速度的大小是否变化？理由如何？536、一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。 537求一半径R50 cm的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量m18 kg的重锤让重锤从高2 m处由静止落下，测得下落时间t116 s再用另一质量m2=4 kg的重锤做同样测量，测得下落时间t225 s假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量538、20Nm的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10 s内该轮的转速由零增大到1