数学模型第六章2.doc

幻方趣谈一、幻方的概念 幻方在我国古代也称为纵横图，在西方也称为魔方(magic).定义 若一个 n阶由1n2的正整数组成，且每行、每列与两对角线上的n个元素之和都相等. 则称此矩阵为n阶幻方. 每行的n个元素之和称为幻和，并记为Sn.例如，下面分别是3阶幻方和4阶幻方81635749211514412679810115133216显然，一个幻方经旋转或转置后，仍为同阶幻方. 由定义可知，幻和的计算公式S3=3(1+9)/2=15, S4=4(1+16)/2=34, S5=5(1+25)/2=65注：不存在2阶幻方二、幻方的起源传说,我国远在夏禹治水时(公元前23世纪), 陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产. 于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天. 事后，一只神龟从河中跃出, 背上有一个九种花纹的图,后人把这个图称为“洛书”. 它就是从1到9连续自然数排成3行的图. 492357816此图我国古代也称为九宫图. 最早见于记载的4阶纵横图,是在印度卡俱拉霍地方发现的一个11世纪的碑文上. 它是一个极不平凡的4阶纵横图,有着十分玄妙的性质. 71211421381116310596154它除了一般四阶幻方的通有的性质外，还有如下特性：（1）任一“折断的对角线”上4个数之和也等于幻和34（2）任一2阶子阵的4个数之和也等于幻和34（3）任一3阶子阵的4角4个数之和也等于幻和34（4）任一3阶子阵的2对角数之和恰是幻和34的一半17顺便提一下，1977年美国发射寻求星外文明的宇宙飞船旅行者1号、2号上除了携带向宇宙人问候的“地球之声”(古今音乐、近六十种语言的问候话,三十五种自然界的各种声响唱片)外,还带了一些图片,其中有这张四阶幻方图.1980年，上海博物馆在整理明代古墓的出土文物时，发现了一块玉佩上有一个四阶幻方，它也有上述玄妙的性质：81114113271231696105415三、自然顺序方阵及其性质定义 把自然数1n2从小到大排成n阶方阵:，把A称为自然顺序n阶方阵. 把行（列）号之和等于n+1的两行（列）称为对称行（列），当n为奇数时，设n=2k-1，称为中心数，它位于A的中央. 位于对称行（列）同列（行）的两个数与（）称为行（列）对称数，而关于中心对称的两个数与称为对称数. 位于不同行，不同列的数称为独立数. 对于矩阵A,有如下重要的性质：性质1. 任两个对称数与之和都是. 证. .性质2. 任意n个独立数之和为幻和Sn.证. 设是A的n个独立数，则与都是从1到n各取值一次，故. 因此推论.主(次)对角线上n个数之和为Sn.任一折断的对角线上n个数之和也为Sn.性质3 任两个对称行（列）的2n个数之和都等于2 Sn.证.第i行的行和为，（i=1,2,n）.从而第j列的列和为, （j=1,2,n）.从而性质4 当n=2k-1时，第k(中间)行(列)的n个数之和为Sn.证.第k行的行和第k列的列和四、奇数阶幻方的构造方法及原理在这里，设n=2k-1，（k=1,2,）.(一) 构造方法1-连续摆数法只需按以下步骤填写，即可得到一个n阶幻方.(1) 先画一个nn方格表；(2) 把1填写在第一行中间；(3) 当m填好后，若m的右上方空，则把m+1填在此格，否则，把m+1填在m的下方.(注意，这里我们把最左列视作在最右列的右方，把最底行视作在第一行的上方)17241815235714164613202210121921311182529例如 填写一个3阶幻方和5阶幻方816357492可验证其幻和分别为15和65.设是按以上方法构造的n阶方阵，是自然顺序方阵，仔细观察知，A的每一行对应B的一条折断对角线或对角线，从而推得：， （1）注意，上式，右边的下标是按模n取值的，即大于n时就减n,小于1时就加n. (二)原理1B的列和从（1）式可见，若给定j, 让i取1，2，n时, i每增加1，（1）式右边的行号与列号也分别增加1(mod n)，最终都取遍1n, 不会有重复，即B的每列数都是 A的n个独立数. 故其和是Sn.2B的行和从（1）式可见，若给定i, 让j取1，2，n时, j每增加1，（1）式右边的行号增加1(mod n), 取遍1n,不重复; 列号分别增加2(mod n)，一旦大于n就减去n(奇数), 这就改变了奇偶性, 故列号也取遍了1n, 不会有重复，即B的每行数都是 A的n个独立数. 故其和是Sn. 3B的对称数容易验证(1)等价于;(2) 等价于;(3) 等价于;(4) 等价于;(5) 等价于;(6) 等价于. 从而, B中的一对对称数相应于A中的两个数的行号之和为;上式左边第1项需加(减)n时，第2项就需减(加)n, 故其和不变. 同理，列号之和为;即B中的一对对称数也是A中的一对对称数其和为.即4B的对角线和首先，由(1)式知，B的中心数恰等于A的中心数：. 其次，B的主（次）对角线都是由对对称数及中心数组成，故其和为综合得，上法构造的方阵符合幻方的定义. 构造方法2-阶梯法 以n=5为例说明（1）在的表格中斜着按自然顺序填写，这相当于把自然顺序方阵A逆时针转45度。54103915281420171319256121824111723162221（2）框住中心的格.54103915281420171319256121824111723162221（3）把框外的数移到框内的空格处：左（右）面的数向右（左）移动n列；上（下）面的数向下（上）移动n行。这就得到一个n=2k-1阶幻方31692215208211427251311924125186114171023化简的操作方法：直接在个方格中填写即可（1）把1填在中心右旁；（2）先看右上角；（3）再看右隔一处.性质：3169221512345208211426789107251311911121314152412518616171819201141710232122232425（B） （A）（1） B的次对角线=A的中间行（2） B的主对角线=A的中间列（3） B的中间行=A的主对角线（4） B的中间列=A的次对角线（5） B的其他行（列）=A的折断对角线以上右面的和都是Sn，故B是幻方。B与A的变换公式下标取模n.五、双偶阶幻方的构造方法及原理一般来说，双偶数（n=4k）阶幻方的构造较易，而单偶数(n=4k+2) 阶较难.（一）. 构造方法(对称法)对于双偶数（n=4k）阶幻方，可从自然顺序方阵A开始，先把A的数按矩阵中心对称，分为两半，一半固定不变，另一半则跟其对称数互换位置. 以4阶为例. 中心4格与顶角4格不变，其余对称数的互换位置. 即512，89，215，314.，即得一个4阶幻方D.1234567891011121314151611514412679810115133216（A） （D）（二）. 原理A中两个行对称数之差为，从而若把第i行与第n+1-i行中的n/2对行对称数进行交换，则这两行的行和分别变为即这两行的行和都将等于幻和. A中两个列对称数之差为从而若把第j列与第n+1-j列中的n/2对列对称数进行交换，则这两列的列和分别变为另外，注意到A中每条对角线的n个数之和都为Sn, 故希望数据交换后不破坏此性质. 即对角线上的数只与同在此对角线上的数交换. 由此产生这种构造4k阶幻方的方法：把A的中心点视为原点，对第1象限部分的数进行分类，分为甲类和乙类，且每行各占一半，每列也是各占一半，然后按对称原则使aij, ai(n+1-j) , a (n+1-i)j，与a (n+1-i) (n+1-j)同类.让甲(乙)类的数固定不变，乙(甲)类的数都跟其对称数对换. 例 构造一个8阶幻方1234567816362455958891011121314151656101153521415491718192021222324174746202143422425262728293031324026273736303133333435363738394032343529283839254142434445464748412322444519184849505152535455561650511312545595758596061626364577660613264（A） （D）可验证满足S8=260 这是因为A中每个数对应着其他象限的3个数、和，即这4个数构成两对对称数，它们的对换等价于先进行行对换，再进行列对换. 如下图. 按这种方法构造的4k阶幻方，k=1时有2个，k=2时有90个, k=3时有297200个.六、4k+2阶幻方的构造我们先来考察一个6阶幻方可以如何构造出来. 第一步，先用上述介绍的方法构造出一个4阶幻方, 如图1所示，幻和为34；第二步，把这个4阶幻方的每个数都加上10,得图2所示, 此时幻和为74；图2所用的数是1126, 恰是136中间的16个数, 如图3所示;1125241422161719182021152313122611514412679810115133216图1 图2123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536图3第三步，观察剩余的20个数有这样的规律：，而37+74=111=S6, 于是，可把这20个数按“和为37”配成10对，如图4所示. 把第一行的数称为小头数，第二行的数称为大头数. 1234567891036353433323130292827图4第四步，按每对在同一行或同一列或同一对角线的原则，把它们添加到图2的四周,但要满足: (a) 每边3个小头数；(b)对边的小头数之和相等. 这就可得到一个6阶幻方,如图5所示. 913230291061125241431222161719353418202115333231312264273657828图5图5四周每边3个小头数（蓝色），第1行与第6行的小头数之和都是20; 第1列与第6列的小头数之和都是17.这种方法可以推广到一般4k+2阶幻方的构造，其步骤是：(1) 先构造出一个4k阶幻方;(2) 把这个4k阶幻方的每个数都加上8k+2,即把这16k2个数移到1(4k+2)2的中间；(3) 把剩余的首尾两段小头数与大头数配对，每对之和为16k(k+1)+5;(4) 按每对在同一行或同一列或同一对角线的原则，把它们添加到上图的四周，但要满足: (a) 每边有2k+1个小头数；(b)对边的小头数之和相等. 这就可得到一个4k+2阶幻方. 按这种方法，我们再构造出一个10阶幻方如图6所示，S10=505.171239796958690187822021797824257594142773723031696834878356564383961604293165844455554484951859150525347465657431089594140626337366612886733327071292874139226767723228081199831009998456151184图6图6中间部分是把一个8阶幻方平移了18, 四周每边有5个小头数，第1行与第10行的小头数之和都是41; 第1列与第10列的小头数之和都是62. 这就是一个10阶幻方.注：幻方的数量：3阶8个；4阶7040个；5阶多于2.7亿个；6阶多于1.77*1019个.七、幻方的推广（1）广义幻方由n2个不同的正整数组成的n阶方阵，且每行、每列及两对角线上的n个元素之和都相等，这种方阵称为n阶广义幻方.当然，n阶广义幻方没有固定的幻和. 102547131922116例1 S3=39. 由于约束条件减弱，所以n阶广义幻方较易求得. 任一个n阶幻方平移一个正整数，都可获得一个n阶广义幻方. 例2 以下是一个可颠倒(转180度)的4阶广义幻方, S4=264颠倒后，幻和不变.6889119616916988991886618166981961869918199881668869169196116889（2）双重幻方双重幻方由n个不同的正整数构成，各行、各列及两对角线上的各数之和均相等，同时各数的乘积也均相等. 例如1622075126133120116251051521002913824339349227911364538150261573017422510823119104587517190175221616113681841895087135114200203157611710246811537854692321751960这是8 阶双重幻方，幻和为 840，幻积为 2,058,068,231,856,000（3）平方（二次）幻方平方幻方的各行各列及两条对角线诸数的和均相等、平方和也均相等. 以下是由0195构成的14阶平方幻方3681036815116610428190551687861149114484177132146124148129771816411733357449141120189183111598043158138341351591407214616253144152102391531501931716715846376115119892621176116195112051738266541451051081545018110915542157201133792694132191126561561331272246885119179131161165316510695110471005819291178117413612401072918410183122134218010147130967449901231421211821316725163385128938618598188717871372412516979161871762160752717570358114364971721869923601171945211817030139943845（4）三次幻方三次幻方的各行各列及两条对角线诸数的和均相等、平方和也均相等、立方和也均相等. 以下是由0255构成的16阶三次幻方3329272514582841141411711731102302282262225139123632331092062183749146221921322162041771672252111682441504121410511874430887812420042481119048102153207165144725155131195179175231198589524015160197572480766061778111724621311314241142429138174178194202252106126964312101154243212159129149353118547018820923519163922362046671852011372549818466657523793162181801901897115711361562501282318117017238857423212759911913013418218681723523916220832476973121125522148681911472421551001310864187107253203223227229139158196143362191125997116262832012072647164161152103949120824918313525579893145861010421540151245169210224166176205217133193562122114011534234199621223850（5）立体幻方立体幻方是由1n3的正整数构成立方体，可从三个方向切片，每片的各行、各列上的各数之和均相等, 各对角线（立体）上的各数之和也均相等. 其幻和为. 例如 3阶立体幻方, 242161027581321112569141922317715202311812264第1片 第2片 第3片八、幻方的应用前景 (一)、幻方应用于哲理思想的研究在数学中，幻方蕴涵的哲理思想是最为丰富的. 易经 是一本哲学书，它几乎影响了国内外的各种哲学思想. 而易学家们通过多方面研究发现，易学来源于河图洛书，而洛书就是三阶幻方. 幻方的布局规律、构造原理蕴涵着一种概括天地万物的生存结构，是说明宇宙产生和发展的数学模型.四阶完美幻方的易理思想、五阶幻方与易数系统，是对高阶幻方蕴含的哲理思想的进一步探讨，有兴趣的读者可参阅周易研究1999年第1期和2000年第1期. (二)、幻方应用于美术设计幻方可大量应用于美术设计，西方建筑学家勃拉东发现幻方的对称性相当丰富，它采用幻方组成许多美丽的图案，他把图案中的那些方阵内的线条称为“魔线”，并应用于轻工业品、封面包装设计中，德国著名版画家A度勒的作品忧郁症中，因有一个能指明制作年代的幻方而闻名于世，艺术美与理性美的和谐组合，往往成为流芳千古的佳作. 关于“魔线”图，日本幻方专家阿部乐方也做过许多工作，我国河南安阳一位教师姬广忠，曾研究出各种魔线图，奉献给了中央工艺美术学院. 北京丁宝训在幻方专辑 登载了17幅“魔线图”，都十分漂亮. 幻方中数学布局十分对称均衡，又有丰富的变化，因而将其数字按序联起来，可形成一幅幅奇特的“魔方阵构造图”，经彩色处理可获得十分漂亮的美术图案，这种图案在表现出多样的对称美的同时，又有幻方原理的理性规律，因此耐人寻味，堪称天斧之工. (三)、幻方的美学价值数学是美的，幻方更美. 幻方是数学按着一种规律布局成的一种体系 ，每个幻方不仅是一个智力成就，而且还是一个艺术佳品，都以整齐划一，均衡对称、和谐统一的特性，迸发出耀人的数学美的光辉，具有很高的美学价值. 在数学美学当中，把幻方中的美学价值推为至上，由于数学中的各个内容均同数字有密切联系，因而幻方这种美的结构均可渗透在各种数学知识当中，显示出多样的妙趣来，使我们在幻方的欣赏中了解数学知识的许多奥妙. (四)、幻方的智力开发功能幻方由于比较简单，容易入门，很快能引起青少年的探讨兴趣.可以说幻方在智力开发方面已产生十分重要的作用. 挖掘中国数学史，我们便会看到，趣味 数学、计算工具、棋类游戏都与幻方有着内在的联系. 在算法的历史上，先有九宫算，后有 太乙算、算盘、电子计算机，在游戏的发展史上，最先有重排九宫，后有象棋、围棋、华容道游戏等. 围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)， 它们的走法原理均同幻方的布局原理相关. 电脑上的“挖地雷”游戏，同九宫图密切相关. 近年来，我国幻方研究者应用幻方原理发明了许多智力开发游戏. 辽宁刘志雄设计出一种 “集图双面幻方器”获铜牌奖，安徽王忠汉设计出一种有趣的“幻方棋”，湖南江亚晶设计了“幻方系列数字游戏机”，高治源也设计成功“九宫妙算棋”，具有九大功能，20多种游戏方式. (五)、幻方在数学教学中的影响幻方在数学教学中，具有提高学生学习兴趣、美化教材、启迪思维的功能. 幻方中数字的丰富变化，把数学教材中的各个内容联系起来，如方程幻方、 根式幻方、分数幻方、黑洞数幻方、积幻方、差幻方、平方幻方等，它们都可用在数学教学当中，使数学内容产生魅力. (六)、幻方对科学的启迪洛书是三阶幻方，由于它们流传甚广 ，从古到今给人们许多科学的启迪. 例如，爱因斯坦的相对论，运用了11个公式推算时空相对增减元数，而河洛数对他很有启发. 美籍华裔学者焦蔚芳，曾写有洛书矩阵、洛书几何、洛书空间方面的书，对数学的发展起了促进的作用. 河南傅熙如运用洛书研究哥德巴赫猜想. 我们知道电脑的产生基于自动控制理论，而美国自动控制论的发明人是通过研究中国的“三三迷宫图”(三阶幻方的联线图)突发奇想，做出一系列控制理论的. 从这里的资料可 看出，现在风靡世界的电脑，挖根寻源竟然跑到了幻方领域里去了. 幻方因具有一种自然的属性，虽是数字关系，但往往抽象概括性特强，当人们反复深思以后，就有可能对某个科学理论激发出灵感来，从而推动其发展. 在中国的传统文化中，我们能够看到洛书运用于军事 、中医、天文、气象、气功等领域的大量资料，说明幻方与各种学科的密切关系是不可忽视的. (七)、幻方应用于科学技术之中幻方已应用于“建路”、“爵当曲线”、“七座桥”等的位 置解析学及组合解析学中. 幻方引出了拉普拉斯的导引系数和哥斯定理、格里定理、斯笃克定理，还引出了普生、布鲁汀两氏的电子方程式. 幻方还引出了桑南的自动控制论，从而促成了电子计算机的诞生，电脑有三个来源，即二进制(八卦)、算盘和幻方. 电子科学已把幻方的排列路线看成是一理想的电子回路网图形，我们从台湾黎凯旋的易数浅谈中可以看 到，从日本学习飞机知识的台湾驾驶员，第一堂课上的就是幻方知识课，因为幻方的构造原理与飞机上的电子回路设置密切相关. 台湾电机专家吴隆生创造了64阶方阵仪可用于计算机 、测量仪、通讯交换仪以及水电、火力、航空等的管制系统，已获得专利. 海上漂浮建筑，首先要解决的问题，就是要将建筑面分割成方阵格，每格的建筑重量的确定，需要象构造幻方一样巧妙布局，因为只要各线各方向上的重量处处均衡才不致于倾斜. 陕西省政协田健先生写成一书，正在应用幻方研究中医理论，他从幻方的数字结构研究人体病因的数字特征，以及中药的配置. 他的研究工作引起了许多医易学家的关注. 应用十阶幻方的构造原理研究“5