[08][ch5][法截线与大地线3]

第八讲,法截线与大地线（三）,内容回顾,熟记子午圈、卯酉圈曲率半径公式、平均曲率半径公式及它们的关系会分析子午圈、卯酉圈曲率半径公式变化情况（参见书上的表）理解有关公式推导思路理解并熟记子午线、平行圈弧素、椭球面积元公式请思考野外测量可以获得哪些观测值，点的最终水平坐标和高程怎么得到？,五、相对法截线(reciprocalnormalsections),1、定义,5.4法截线与大地线,法截线AaB：过A点法线AKa和B点的法截面与椭球面的交线，称A点对B点的法截线；法截线BbA：过B点法线BKb和A点的法截面与椭球面的交线，称B点对A点的法截线。法截线AaB与法截线BbA合称A、B两点间的相对法截线。,A点对B点的正法截线B点对A点的正法截线,五、相对法截线(reciprocalnormalsections),2、相对法截线不重合的原因,5.4法截线与大地线,A、B两点的法线不在同一平面上。,3、相对法截线重合的原因,A、B两点的法线在同一平面上。,即两点位于同一平行圈或同一子午圈上。,五、相对法截线(reciprocalnormalsections),4、相对法截线不重合时的位置规律,5.4法截线与大地线,纬度高的点对纬度低的点的法截线在上，纬度低的点对纬度高的点的法截线在下。,五、相对法截线(reciprocalnormalsections),4、相对法截线不重合时的位置规律,5.4法截线与大地线,纬度高的点对纬度低的点的法截线在上，纬度低的点对纬度高的点的法截线在下。,五、相对法截线,5、相对法截线造成的问题,5.4法截线与大地线,设想当椭球面上的三个点（经纬度均不相同）以各自法线为准进行互相观测时，则此三角形将存在六条边，从而造成了几何图形的破裂。显然，不能依据这种破裂的几何图形进行进行计算。,五、相对法截线(reciprocalnormalsections),5.4法截线与大地线,6、与实际问题的联系地面三角测量,A：仪器中心A0：仪器中心或标石中心的椭球面投影点B：觇标中心b：觇标中心或标石中心的椭球面投影点AKa：A或A0的椭球面法线BKb：B或b的椭球面法线,五、相对法截线(reciprocalnormalsections),5.4法截线与大地线,6、与实际问题的联系地面三角测量,以A或A0椭球面法线为准，照准B点的照准面：,A0b,AKaB或A0KaB,相应的法截线为：,A0b,以A或A0椭球面法线为准，照准b点的照准面：,AKab或A0Kab,相应的法截线为：,5.4法截线与大地线,规范规定：一等算至0.001秒二等算至0.01秒三四等算至0.1秒,五、相对法截线(reciprocalnormalsections),5.4法截线与大地线,6、与实际问题的联系地面三角测量,一般情况下，A0b与A0b不重合，其夹角称为标高差改正，记为2,1）A、B两点同经度或同纬度；2）B点在椭球面上。,A0b与A0b重合的情况，即2为0的情况：,五、相对法截线(reciprocalnormalsections),5.4法截线与大地线,6、与实际问题的联系地面三角测量,A、B互相照准,地面三角形投影到椭球面,六、大地线(geodesicline),5.4法截线与大地线,1、定义,定义1：大地线是一曲面曲线，在该曲线上各点的相邻两弧素，位于该点的同一法截面中。,六、大地线(geodesicline),5.4法截线与大地线,1、定义,定义2：大地线是一曲面曲线，在该曲线上任一点的曲线主法线与该点的曲面法线重合。,六、大地线(geodesicline),5.4法截线与大地线,2、性质,性质1：大地线是椭球面上两点间的最短线。,六、大地线(geodesicline),5.4法截线与大地线,2、性质,性质2：大地线是无数法截线弧素的连线。注：1）椭球面上的法截线除子午圈和赤道是大地线外，其它法截线都不是大地线。2）法截线只是通过某点的一个法截面，而大地线是通过沿线各点的所有法截面。,六、大地线,5.4法截线与大地线,2、性质,性质3：椭球面上的大地线是双重弯曲的曲线。注：1）横向弯曲（挠率）：2）纵向弯曲（曲率）；3）顺着大地线的方向去看，椭球面上的大地线一般不呈直线，而呈现微微弯曲的“S”形。,六、大地线(geodesicline),5.4法截线与大地线,2、性质,性质4：大地线位于相对法截线之间。注：1）通常情况下，大地线靠近正法截线，它分相对法截线的夹角约为二比一即u:v=2:1；2）在平行圈上相对法截线虽然合而为一，但大地线、法截线和平行圈三者都不重合。在北半球，大地线在上，法截线居中，平行圈在下。,六、大地线(geodesicline),5.4法截线与大地线,3、大地线微分方程,大地线长度与大地经纬度、大地方位角间的微分关系式。,适用于椭球面上的任意曲线,六、大地线(geodesicline),5.4法截线与大地线,3、大地线微分方程,大地线长度与大地经纬度、大地方位角间的微分关系式。,大地线专有微分方程,六、大地线,5.4法截线与大地线,3、大地线微分方程,大地线长度与大地经纬度、大地方位角间的微分关系式，它们是椭球面上大地坐标计算的基础。,六、大地线,5.4法截线与大地线,4、大地线的克莱劳方程,六、大地线(geodesicline),5.4法截线与大地线,4、大地线的克莱劳方程,说明：1）椭球面上，大地线上各点的平行圈半径与该点大地线方位角的正弦之积为一常数。2）它是长距离大地问题解算的基础。,七、椭球面三角形的解算,5.4法截线与大地线,经过研究表明，当三角形的边长小于200公里时，将椭球面三角形看作以其三个顶点平均纬度处的平均曲率半径为球半径的球面三角形是完全可以的（两者对应边长相等，对应角之差小于0.001）。,椭球面三角形（边长200km）,以Rm为半径的球面三角形,七、椭球面三角形的解算,5.4法截线与大地线,设一球面三角形A0B0C0，其三边长为a、b、c，球面角超为。如果以同样边长a、b、c为三边作一平面三角形A1B1C1，当边长不甚大时，可以证明这两个三角形的三内角间有如下的关系：,其中，为平面三角形的面积，R为球的半径。,1、勒让德定理,5.4法截线与大地线,椭球面三角形,以Rm为半径的球面三角形,虚拟平面三角形,2、勒让德