第三章 立体的表面交线

.,第三章立体的表面交线,.,返回,.,返回,.,空间几何体分为平面立体和曲面立体。,平面立体：表面由平面围成的几何体。,曲面立体：表面由曲面或者曲面与平面围成的几何体。,.,截交:平面与立体相交，截去立体的一部分。,平面与立体、立体与立体两两相交形成不同的表面交线，可分为两大类：,截交线截平面与立体表面的交线。,.,相贯:两曲面立体相交。,相贯线曲面立体与曲面立体表面的交线。,.,3.1平面立体表面的截交线,3.1.1概述,2)截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。,3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点，多边形的各边是截平面与立体各表面的交线。,截交线的性质：,1)截交线既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面的共有线。,.,3.1.2平面与平面立体截交线的求法：,A.求各棱线与截平面的交点线面交点法,B.求各棱面与截平面的交线面面交线法,求截交线的步骤：,1)空间及投影分析,2)画出截交线的投影,a、截平面与立体的相对位置:,确定截交线的形状。,确定截交线的投影特性。,b、截平面与投影面的相对位置：,分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,.,例1四棱锥被正垂面P切割，求其截交线的投影。,1)空间分析,2)投影分析,3)求截交线,4)补全棱线的投影,检查:尤其注意检查截交线投影的相仿性,S,S,S,截平面与体的几个棱面相交？,截交线的形状？,采用的是哪种解题方法？,四边形,线面交点法,.,例2求P、Q两平面与三棱锥截交线的投影。,解题步骤1)分析:截平面为正垂面和水平面，正面投影积聚；2)求出点1、2、3、4；,S,s,a,a,a,b,(c),b,b,c,c,Pv,Qv,3)顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；,S,4)补全轮廓线。,.,例3已知立体的V、W投影，试求其H投影。,.,例4已知主视图和左视图，求俯视图。,.,3.2曲面立体表面的截交线,3.2.1概述回转体截切的基本形式,平面与回转体表面相交，其截交线是封闭的平面图形。,截交线是由曲线围成，或者由曲线与直线围成，或者由直线段围成。,求回转体截交线，常利用积聚性或者辅助平面以及投影变换的方法。,.,求平面与回转体截交线的一般步骤：,空间及投影分析,分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。,分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。,画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：,*光滑连接各点，并判断截交线的可见性。,*先找特殊点，补充中间点。,.,3.2.2圆柱的截交线,平面与圆柱面相交时，根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：圆、椭圆和矩形。,.,圆柱的截交线,.,多个平面截切立体时，要分别对各截平面进行截交线的分析和作图。,例1圆柱体被P、Q两平面截切，试完成其三视图。,1)空间及投影分析,3)求截交线。,2)分析圆柱体轮廓素线的投影。,截平面与立体的相对位置；,截平面与投影面的相对位置；,解题步骤,保留动画,确定截交线形状为矩形和圆弧。,.,例2圆柱被正垂面截切，试画出三视图。,1分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚，侧面投影和水平投影为椭圆；,2求出截交线上的特殊点a、b、c、d；,3求出若干个一般点e、e1；,4光滑顺次连接各点，作出截交线，并判别可见性；5补全轮廓线。,解题步骤,.,截平面与圆柱轴线的倾角为，其交线的H投影为椭圆，且椭圆的长、短轴随的变化而变化。,截平面与圆柱轴线成45时,投影为圆。,.,(1)作圆柱的W面投影,图平面与圆柱体相交举例之一,例如图a，根据V面投影和H面投影补出立体的W面投影。,a)题图,解：,(2)作左切块上的投影,.,图平面与圆柱体相交举例之一,(3)作下部通槽的投影,.,(4)判别可见性，整理、加深完成全图,图平面与圆柱体相交举例之一,.,例4空心圆柱上部开有长方槽，若已知其V、H投影，试求W投影。,.,例4空心圆柱上部开有长方槽，若已知其V、H投影，试求W投影。,.,3.2.3圆锥截交线,根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。,.,圆锥的五种截交线,.,图3.9平面与圆锥体相交举例,例补全立体的三面投影。,辅助平面,.,例3圆锥被正垂面P和侧平面Q截切，已知其主视图，求作俯视图和左视图。,.,圆球的截交线总是圆。由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。,3.2.4圆球的截交线,.,两个侧平面截切圆球，交线在左视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。,例2已知上部开有通槽的半圆球的主视图，求其俯视图和左视图。,水平面截切圆球，交线在俯视图上为部分圆弧，在左视图上积聚为直线。,.,3.2.5综合举例,首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。,保留动画,.,例1已知立体的俯、左视图，完成其主视图。,.,3.3.1概述相贯线的主要性质：,其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。,1)共有性相贯线是两立体表面的共有线。,2)分界性相贯线两立体表面的分界线。,3)封闭性相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为不封闭或平面曲线或直线。,3.3回转体的相贯线,.,两立体相交可分为,1)两平面立体相交：可归结为求两平面的交线问题，或求棱线与平面的交点问题。,2)平面立体与曲面立体相交：可归结为求平面与曲面立体截交线问题。,本节主要介绍此问题,3)曲面立体相贯线：,.,3.3.2轴线正交的两圆柱体的相贯线,3.3.2.1轴线垂直相交的两圆柱，试求其相贯线。,.,相贯线的侧面投影积聚在水平大圆柱侧面投影上，即为圆的一部分。,空间及投影分析：相贯线的水平投影与直立小圆柱的水平投影重合，是一个圆。,.,求相贯线的投影：,利用积聚性，采用表面取点法。,1.找全特殊点；,2.补充一般点；,3.判别可见性、光滑连接；,4.补全轮廓线。,.,3.3.2.2圆柱与圆锥相贯,例3.12求圆柱与圆锥的相贯线。,a)求特殊点,b）求一般点，连线，整理,图3.16圆柱与圆锥相贯举例,.,曲面立体相贯的三种基本形式,2.外表面与内表面相交,1.两外表面相交,3.两内表面相交,.,以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。,.,以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。,.,圆柱、圆锥相贯线变化规律,当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。,动画一,动画二,.,特例：轴线正交的两等径圆柱体相贯相贯线为椭圆,1.蒙日定理:若两个二次曲面共切于第三个二次曲面，则两曲面的相贯线为平面曲线（椭圆）。,3.3.4相贯线的特殊情况,.,相贯线,相贯线,相贯线,2.具有公共回转轴的两回转体相贯相贯线为垂直于公共回转轴线的圆,图3.17具有公共回转轴的两回转体相贯,.,图3.18轴线相互平行的两圆柱相贯及共锥顶的两圆锥相贯,3.轴线相互平行的两圆柱相贯相贯线为直线4.共锥顶的两圆锥相贯相贯线为直线,.,例3.13：补全主视图,外形交线,两外表面相贯,一内表面和一外表面相贯,内形交线,两内表面相贯,形体分析,.,例3.13：补全主视图,无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是一样的。,小结：,.,1,2,3,例3.14：补全主视图,这是一个多体相贯的例子，首先分析它是由哪些基本体组成的，这些基本体是如何相贯的，然后分别进行相贯线的分析与作图。,由哪些立体组成呢？,哪两个立体相