江苏专版高考数学复习三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形试题理.docx

第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B级要求，主要考查：边和角的计算；三角形形状的判断；面积的计算；有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.真 题 感 悟 1.(2017江苏卷)若tan，则tan _.解析法一tan，6tan 61tan (tan 1)，tan .法二tan tan.答案2.(2016江苏卷)在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的长；(2)cos的值.解(1)由cos B，得sin B.又C，AC6，由正弦定理，得，即AB5.(2)由(1)得：sin B，cos B，sin Ccos C，则sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cos Acos(BC)(cos Bcos Csin Bsin C)，则coscos Acossin Asin.考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2cos21，tan .(2)诱导公式：对于“，kZ的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan().(4)二倍角公式：sin 22sin cos ，cos 2cos2sin22cos2112sin2.2.正、余弦定理、三角形面积公式(1)2R(R为ABC外接圆的半径).变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.(2)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C；推论：cos A，cos B，cos C；变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.(3)SABCabsin Cacsin Bbcsin A.热点一三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2015重庆卷改编)若tan 2tan ，则_.(2)(2017北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin ，则cos()_.(3)(2016苏北四市模拟)已知coscos，则sin 2_.解析(1)3.(2)与的终边关于y轴对称，则2k，kZ，2k.cos()cos(2k)cos 2(12sin2).(3)coscoscossinsin，即sin.，2，cos，sin 2sinsincos cossin .答案(1)3(2)(3)探究提高1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【训练1】 (1)(2017南京、盐城调研)若sin，则cos 的值为_.(2)(2017苏北四市模拟)sin()且，则sin_.(3)(2015江苏卷)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_.解析(1)因为，所以，则cos，所以cos coscoscos sinsin .(2)sin()sin ，又，cos .由cos 2cos21，得cos .所以sincos .(3)tan 2，tan()，解得tan 3.答案(1)(2)(3)3热点二正、余弦定理的应用命题角度1三角形基本量的求解【例21】 (1)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.解析在ABC中由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.答案(2)(2017天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，a5，c6，sin B.求b和sin A的值；求sin的值.解在ABC中，因为ab，故由sin B，可得cos B.由已知及余弦定理，有b2a2c22accos B13，所以b.由正弦定理，得sin A.所以，b的值为，sin A的值为.由及ac，得cos A，所以sin 2A2sin Acos A，cos 2A12sin2A.故sinsin 2Acoscos 2Asin.探究提高1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.命题角度2求解三角形中的最值、面积问题【例22】 (2017苏北四市调研)已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，且acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，求ABC面积的最大值.解(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.易知sin C0，所以sin Acos A1，所以sin.又0A，所以A.(2)法一由(1)得BCCB，由正弦定理得，所以bsin B，csin C.所以SABCbcsin Asin Bsin Csin sin Bsin Csin Bsinsin 2Bcos 2Bsin.易知2B，故当2B，即B时，SABC取得最大值，最大值为.法二由(1)知A，又a2，由余弦定理得22b2c22bccos ，即b2c2bc4bc4b2c22bcbc4，当且仅当bc2时，等号成立.所以SABCbcsin Abc4，即当bc2时，SABC取得最大值，最大值为.探究提高1.求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.2.求解面积问题时，根据已知条件选择适当的面积公式Sabsin C，Sacsin B，Sbcsin A.【训练2】 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC面积为2，求b.解(1)由题设及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B).上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择Sabsin C来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、填空题1.(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，则B_.解析由正弦定理得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B.2sin Bcos Bsin B，又sin B0，cos B，故B.答案2.(2017苏、锡、常、镇调研)已知是第二象限角，且sin ，tan()2，则tan _.解析由是第二象限角，且sin ，则cos ，则tan 3，所以tan tan().答案3.(2016全国卷改编)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A_.解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan BAC3，所以cos BAC.答案4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是_.解析c2(ab)26，即c2a2b22ab6.C，由余弦定理得c2a2b2ab，由和得ab6，SABCabsin C6.答案5.(2012江苏卷)设为锐角，若cos，则sin的值为_.解析为锐角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.答案6.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_.解析cos A，0A，sin A，SABCbcsin Abc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.答案87.(2017浙江卷)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.解析依题意作出图形，如图所示，则sinDBCsinABC.由题意知ABAC4，BCBD2，则sinABC，cosABC.所以SBDCBCBDsinDBC22.因为cosDBCcosABC，所以CD.由余弦定理，得cosBDC.答案8.(2014江苏卷)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_.解析sin Asin B2sin C.由正弦定理可得ab2c，即c，cos C，当且仅当3a22b2即时等号成立.cos C的最小值为.答案二、解答题9.(2016北京卷)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)求cos Acos C的最大值.解(1)由a2c2b2ac得a2c2b2ac.由余弦定理得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA，0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin，0A，A，故当A，即A时，cos Acos C取得最大值为1.10.(2017扬州调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2c2acb2，sin A.(1)求sin C的值；(2)若a2，求ABC的面积.解(1)由a2c2acb2及余弦定理得cos B，又B(0，)，所以B，因为sin A，且B为钝角，所以cos A，所以sin Csin.(2)由正弦定理得，所以c2，所以ABC的面积SABCacsin B222.11.在ABC中，角