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构建知识网络 培养理性思维 从近两年高考试题特点谈数列部分第二轮复习海盐高级中学 金海英数列是高中数学的学习重点，也是高考的考查重点。由于数列内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，决定了数列在高考中地位的特殊性，所以每年高考中除有选择题和填空题之外，必有一道数列解答题，且难度相对较大，具有综合强、变化多、容量大等特点，而且多在最后两题的位置。其命题热点是与不等式交汇、呈现递推关系的综合性试题，其中以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体，有着高等数学背景的数列解答题是近年来高考对数列命题的一个亮点。数列第二轮专题复习对于学生综合素质以及应试能力的提高起着决定性的作用，对于整个高三数学的第二轮复习具有重要的意义。1高考要求及命题特点11 高考要求(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题。(4)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。(5)了解数列极限和函数极限的概念。(6)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限。12 命题特点2005、2006两年浙江高考理科卷数列部分考查内容、分值分布及试题特点简析如下：年份题号数列部分考查内容本题分值 试题特点分析0520(理)递推关系14结合导数综合考查递推关系、等差数列相关知识以及数学归纳法思想16(文)等差、等比数列基本量14考查等差等比数列基本量及运算、推理能力0611(理)等差数列基本量5初步考查等差数列基本量的求解20(理)递推关系14主要考察函数、不等式与数列的综合应用，考察逻辑推理能力15(文)等差、等比数列基本量14考察等差数列等比数列的基本知识、基本量的运算和推理能力06年部分省市高考卷数列部分查内容、分值分布情况：省份题号考查内容分值省份题号考查内容分值安徽21(理)递推关系、数列求和14福建2 (理、文)等差数列基本量521(文)等差数列基本量数列前n项和1422(理)数列与不等式综合1422(文)数列与不等式综合14广东6等差数列基本量5湖北2(理)等差等比数列基本知识514通项、归纳猜想517(理)数列通项、数列前n项和与函数综合1319数列与极限144(文)等比数列基本知识418(文)数列通项、数列前n项和与函数综合13江西7(理)等差数列求和5全国10(理)等差数列基本知识522(理)通项、递推关系与不等式综合1422(理)数列通项、前n项和与不等式综合143(文)等差数列基本知识、递推关系55(文)等差数列基本量522(文)通项、递推关系与不等式综合1417(文)等比数列基本知识及运算1213 热点透视从最近两年浙江和全国其他省市数学高考卷的考查内容及分值分布情况来看，虽然一般情况下是一个客观题和一个解答题。但数列部分内容在高考中的考查也是全方位的，从考查要求来讲，它不仅有基础知识、基本技能的考查，更有数学思想、数学本质的考查，如客观题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，突出“小、巧、活”的特点。从考查内容来看，它不仅有数列知识内部的考查，更有与其他主干知识（函数、不等式、解析几何、导数、三角、概率、高等数学的基础知识等）相结合的考查如解答题主要考查与函数、方程、不等式、几何交汇的综合试题或开放性试题。综观近两年浙江和全国其他省市数学高考卷数列部分的考查内容，我们可以发现：等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质、数列中通项与前n项和之间的关系及递推数列问题、数列应用题等知识内容以及函数与方程、分类讨论、等价转化等思想方法都是数列部分内容高考考查的热点例1（2006全国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（A） （B） （C） （D）近两年高考在客观题中对数列求和的考查，侧重于求等差、等比数列的和这很好地体现了考纲要求。本题主要考察等差数列的求和公式，难度一般。06高考大部分省市对数列求和内容都进行了考查，试题设计注重基础例2(2006陕西)已知等差数列an中，a2+a8=8，则该数列前9项和S9等于( )A.18 B.27 C.36 D.45整体思想就是从整体着眼考查所研究的问题中的数列特征，结构特征，以探求解题思想，从而优化简化解题过程的思想方法。在数列中，倘若抓住等差、等比数列的项的性质、整体代换可简化解答过程。例3（2006湖南）若数列满足：，且对任意正整数都有则 重点考查等比数列的定义、前项和公式、极限等基本知识，解决此类问题的关键是充分利用数列的性质。例4（2006年广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放。从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则。（答案用表示）本题重点突出了化归的思想方法，考查了数学归纳法、数列通项、前项和及基本运算能力，找准前后两堆的关系是突破口。例5（2006北京）在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”中，数列满足，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.这类试题的特点是给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识，它可以是新的概念、新的定义、新的定理或新的规则、新的情景。解决这类题目首先要读懂新概念，理解新情景，获得有用信息，然后根据这个新知识作进一步演算或推理，综合运用新的信息和数学知识，分析、解决新情景问题。2构建知识网络 整合资源 把握本质21结合高考要求，重新整合数列内容（1）两种基本数列：等差等比，一般从定义、通项公式、前项和公式、性质四方面研究（与函数类比）。会用定义证明等差（比）数列。（2）递推数列求通项：一阶性递推、二阶性递推、和与奇偶关系的递推等。常用方法有：公式法、累加法、迭乘法、迭代法、归纳法、化归法（凑配消项变换、倒数变换、对数变换、换元变换等）。（3）数列求和：常见的方法有错位相减法、裂项相消法、分解转化法、倒序相加法、若涉及正负相间的数列求和常需分类讨论或用并项法、奇偶项求和等。（4）数列极限、数学归纳法。（5）数列与其他知识的交汇：与函数交汇、与不等式交汇、与导数解析几何交汇、与三角交汇、与概率交汇、与高等数学的基础知识交汇等。22备考指南（1）、数列是定义在正整数集或它的子集1,2,n上的函数，因此在研究有关数列通项公式和求和公式时，应善于透过函数的观点看数列问题，运用函数的思想方法处理数列问题。（2）、等差与等比数列是两类特殊的数列，研究这两类数列的思想方法是进一步学习数列问题的基础知识，复习过程中除夯实课本知识外，更须重视生成课本知识所产生的数学思想与方法的应用，如等差数列求和产生的倒序求和法，等比数列求和产生的错位相减求和法等；（3）、深刻理解等差等比数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键，注意下标、奇偶项的特点等；（4）、运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量（或），掌握好设未知数、列方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代换”来简化运算。（5）、学习数列的过程中，应注重提炼一些重要的思想和方法，如：求一个数列的通项、求数列的和、中学数学的四种思想方法。分类讨论思想在本章节尤为突出，学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意公比是两种情况。等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外。如与的转化，将一些数列转化成等差（比）数列的性质来解决等。复习时，要及时总结归纳。养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果。（6）、数列问题与函数、方程、不等式有着密切的联系，这就使得数列问题的解答对能力的要求是比较高的，尤其是近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起足够的重视。23 命题展望数列是历年高考重点考查的内容，这类试题灵活新颖、方法典范、综合性强，体现以“能力立意”的命题意图。数列解答试题理科多与不等式联系，而文科往往与等式相关考查的知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系，等差数列和等比数列，归纳与猜想，数学归纳法考查的题型出现比较多的如不等式证明，比较大小，参数取值范围的探求，判定一个数列是否等差数列或等比数列，数列应用性问题、探索性问题在高考里多有涉及数列多与函数、不等式、方程、三角函数、解析几何等知识相交汇，以便考查学生在学习数学时对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视。3第二轮复习建议 第二轮复习，是连接一轮复习和高考冲刺的关键阶段第一轮复习以夯实基础，全面掌握基础知识为主；第二轮复习则以提升学生的思维品质与综合能力为目的，同时兼顾基础知识的巩固第二轮复习不应该是第一轮复习的简单浓缩，而应站在学科整体的高度，把握数学的本质，打破知识之间的界限，通过对主干知识的整合，设计一定的专题进行复习在第二轮复习中，应在知识的交汇点上下功夫、在提高学生的综合能力与应试技巧上下功夫，从而切实提高第二轮专题复习的成效 第二轮复习任务重、时间紧数列知识的第二轮复习，应该突出重点把握本质，注意把握数列知识与其他知识的联系，通过分析各知识点之间的联系，整合教学资源，合理设置数列知识二轮复习的专题，从各知识的交汇点上选择典型问题进行专题讲座与专项训练，提高学生的综合能力31、巩固等差、等比数列基础知识 对数列的概念通项、性质以及求和问题的考查通常是以选择或填空的形式出现，此类题目属易做题，这就是要求我们一定要熟练掌握等差、等比数列的各种性质，会利用递推公式求数列通项以及非特殊数列和的基本方法。“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 例1（2006全国卷I）设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）A B C D32、加强数学解题方法的提炼 淡化技巧，运用通法，一直是高考题体现的二大特色，在复习解题过程中重点一定要放在有价值的常规方法的应用与练习上。其典型的方法有：消元法、待定系数法、数学归纳法、构造法等等，千万不要在绝招妙法上盲目下工夫。例2（2006陕西）已知正项数列，其前项和满足，且成等比数列，求数列的通项 本题重点考查了利用递推公式求通项的常用方法，利用消元法消去是本题的关键，一定要理解，只有时才有。由递推关系式求通项公式常用的方法有：累加法、累乘法、构造法、归纳法等等。33、加强数学思想的渗透数列与函数、方程、不等式等知识综合的试题，它涉及函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合等重要的数学思想和配方、换元、“归纳-猜想-证明”等基本方法，是一类思维能力要求较高，具有较好区分度的题目。例3（2006福建）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列。34、关注创新能力的问题 创新题型倍受专家的青睐，将一段较为深奥陌生的数学情境通过语言文字、数表展现出来，在阅读理解的基础上要求答题者及时捕捉和利用信息，并结合原有知识作出判断、推理、概括、运算和表达。它既考查同学们的信息收集和加工能力，又考查了同学们的探索和逻辑推理能力。例4（2005年北京）已知次多项式，如果在一种计算中，计算的值共需要次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算共需要_次运算。下面给出一种减少运算次数的算法：。利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值需要_次运算。35、关注数列型应用问题近两年来，高考对数列应用题的考查比较少，仅05湖南（理20）关于鱼群总量与捕捞强度关系的问题。但07年高考第二轮复习对此内容也不容忽视。例（2006浙江五校）已知正四面体，有一只小虫自顶点沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点B、C、D。然后又从B、C、D中的一个顶点沿每一条棱以等可能的概率爬到其它三个顶点，依次进行下去，记为第次到顶点A的概率，其中（1）求；（2）求的通项公式。36、关注交汇知识点的考查数列常常与几何、向量、不等式、函数以及导数等内容相结合，此类题目综合性较强，难度高，一般来说都是高考的压轴题。例6（2006重庆）已知一列椭圆若椭圆上有一点到右准线的距离是与的等差中项，其中分别是的左、右焦点。O（1） 试证：（2） 取，并用表示的面积，试证：且本题主要考查椭圆的第一定义、第二定义和数列单调性的间断，要求同学们具有较强的转化和推理能力，函数、导数与数列相结合，体现了高考在知识交汇点处命题的基本方向。综合函数、数列、不等式、导数等知识的题型在近几年高考中不断增加，今年还有湖北卷第17题、四川卷第20题、安徽卷第21题、陕西卷第22题等。这类问题综合性强、难度较大，需要同学们有扎实的基础知识和综合运用知识解决问题的能力。数列的综合应用重点：等差、等比数列的基本概念，通项公式和前n项和公式及其应用。难点：灵活运用数列知识，解决有关数列的综合问题。能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际问题的能力。课堂题型设计题型1等差、等比数列的综合问题例1设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_。变式：在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则的值为 （ ）12 0.51A.1 B.2 C.3 D.题型2数列与函数知识的综合应用例22006湖北卷（理）已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数。本题主要考查二次函数、等差数列、数列求和等基础知识和基本运算：解题的关键是深入挖掘题给条件，利用待定系数法先求出数列前项和，最后求通项，对公式（）的考查是近几年高考命题的一个热点问题。结合函数命制数列题目是近年来高考对函数与数列两大板块题目的一个有效尝试，这样的题目既能较全面地考查考生综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，又能科学地测试考生的基础知识掌握程度及学习潜能。题型3数列与不等式知识的综合应用例3（2006福建卷）已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)（）求数列a的通项公式；（）若数列bn满足 (nN*),证明:bn是等差数列;（）证明:(nN*).本题是数列与不等式知识的综合题，以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式，不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。题型4数列与解析几何知识的综合应用例4在圆内，过点有条弦，它们的长构成等差数列，若为过该点最短弦的长，为过该点最长弦的长，公差，那么的值是 （ ）A.2 B.3 C.4 D.5变式：椭圆上有个不同的点，椭圆的右焦点为F，数列是公差大于的等差数列，则的最大值为 （ ）A.2001 B.2000 C.1999 D.1998题型5数列与三角函数知识的综合应用例5已知成公比为2的等比数列，且也成等比数列，求的值。变式：在ABC中，是以4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是（ ）A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.非等腰的直角三角形题型6数列与方程的综合应用例6设两个方程的四个根组成以2为公比的等