正态分布(高中数学人教A版选修2)

.,2.4正态分布,高二数学选修2-3,.,引入,正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。,.,25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.3525.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.4525.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.3825.3725.4425.3325.4625.4025.4925.3425.4225.5025.3725.3525.3225.4525.4025.2725.4325.5425.3925.4525.4325.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.4025.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.3625.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.3525.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.3325.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39,某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测得它们的实际尺寸如下:,正态曲线的由来,.,列出频率分布表,.,100件产品尺寸的频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品内径尺寸/mm,25.265,25.325,25.385,25.445,25.505,25.565,o,2,4,6,8,频率分布直方图,.,200件产品尺寸的频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品内径尺寸/mm,25.265,25.325,25.385,25.445,25.505,o,2,4,6,8,.,产品内径尺寸/mm,o,2,4,6,8,样本容量增大时频率分布直方图,总体密度曲线,可以看出,当样本容量无限大,分组的组距无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线-总体密度曲线.,.,产品尺寸(mm),总体密度曲线,.,这个试验是英国科学家高尔顿设计的,具体如下:在一块木板上,订上n+1层钉子,第1层2个钉子,第2层3个钉子,第n+1层n+2个钉子,这些钉子所构成的图形跟杨辉三角形差不多.自上端放入一小球,任其自由下落,在下落过程中小球碰到钉子时,从左边落下的概率是p,从右边落下的概率是1-p,碰到下一排也是如此.最后落入底板中的某个格.下面我们来试验一下:,.,.,以格子的编号为横坐标，小球落入各个格子内的频率值为纵坐标，则在各个格子内小球的分布情况大致可用下列频率分布直方图表示.,知识回放,.,总体密度曲线,0,Y,X,.,知识总结,1、正态曲线的定义：,2、标准正态总体的函数表示式,.,附：正态总体的函数表示式,当=0，=1时,标准正态总体的函数表示式,.,正态总体的函数表示式,=,.,3.正态分布,总体的期望,标准差,.,m的意义,产品尺寸(mm),总体平均数反映总体随机变量的,平均水平,x3,x4,x=,.,总体平均数反映总体随机变量的,平均水平,总体标准差反映总体随机变量的,集中与分散的程度,s的意义,.,0.6826,0.9544,0.9974,3.正态分布,.,在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：,在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；,在测量中，测量结果；,在生物学中，同一群体的某一特征；,在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；,总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。,正态分布在概率和统计中占有重要地位。,.,(4)正态曲线的性质：,上方,1,越小,越大,.,正态曲线的性质,具有两头低、中间高、左右对称的基本特征,.,（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.,（2）曲线是单峰的,它关于直线x=对称.,正态曲线的性质,（4）曲线与x轴之间的面积为1,（3）曲线在x=处达到峰值(最高点),.,5、特殊区间的概率:,若XN,则对于任何实数a0,概率为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小,落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。,特别地有,.,我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6，在以外取值的概率只有0.3。,由于这些概率值很小（一般不超过5），通常称这些情况发生为小概率事件。,.,53原则：正态总体几乎取值于区间_之内，而在此区间以外取值的概率只有_，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.,例如：在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,25)，现已知该班同学中成绩在7585分的同学有34人，则该班约有_个人,(3,3),0.0026,50,.,例1、下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.,B,.,2.如图，曲线C1:f（x）=，曲线,则（）,D,.,3已知随机变量服从正态分布N(0，2)，若P(2)0.023，则P(22)()A0.477B0.625C0.954D0.977,解析：因为随机变量服从正态分布N(0，2)，所以正态曲线关于直线x0对称，又P(2)0.023，所以P(2)0.023，所以P(22)1P(2)P(2)120.0230.954，故选C.答案：C,.,服从正态分布的概率计算,.,服从正态分布的概率计算,.,服从正态分布的概率计算,求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上,.,0.0026,.,解:因为XN(5,1),又因为正态密度曲线关于直线x=5对称,2.若XN(5,1),求P(6X7).,29,.,(1)非负性:曲线在轴的上方,与x轴不相交.,(2)定值性:曲线与x轴围成的面积为1,(3)对称性:正态曲线关于直线x=对称,曲线成“钟形”,(4)单调性:在直线x=的左边,曲线是上升的;在直线x=的右边,曲线是下降的.,1.正态曲线的性质,(5)最值性:当x=时,取得最大值.,(6)几何性:参数和的统计意义:E(x)=,曲线的位置由决定;D(x)=2,曲线的形状由决定.,课堂小结,.,(1)利用3原则,将随机变量的取值转化到三个特殊区间中.熟记P(X)P(2X2),P(3X3)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等P(Xa)1P(xa)，P(Xa)P(Xa),2正态分布中的概率计算的常用方法,若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0,即P(Xa)0，而Xa并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(Xa)(Xa)是成立的，这与离散型随机变量不同,3服从正态分布的随机变量X的概率特点,.,.,方差相等、均数不等的正态分布图示,=0.5,=-1,=0,=1,若固定,随值的变化而沿x轴平移,故称为位置参数；,.,均数相等、方差不等的正态分布图示,=1,=0,若固定,大时,曲线矮而胖；若固定,小时,曲线瘦而高,故称为形状参数。,.,(6)当一定时，曲线的形状由确定.越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.,（5）当x时