九年级数学、直线、圆与圆的位置关系一周强化沪教版.doc

点、直线、圆与圆的位置关系一周强化一、一周知识概述（一）圆的确定1、圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合它将平面分成三部分，除了圆本身这部分外，我们把含圆心的部分叫做圆的内部，不含圆心的部分叫做圆的外部2、不在同一条直线上的三个点确定一个圆3、经过三角形三个顶点可以作一个圆，并且只能作一个圆经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形4、如果一个圆经过多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形(二)直线和圆的位置关系1、相离：如果一条直线和一个圆没有公共点，那么我们就说这条直线和这个圆相离2、相切：如果一条直线和一个圆只有一个公共点，那么我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点3、相交：如果一条直线和一个圆有两个公共点，那么我们就说这条直线和这个圆相交4、d与r的大小关系：如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么直线l和O相离dr；直线l和O相切d=r；直线l和O相交dr1r2；两圆外切d=r1r2；两圆相交|r1r2|dr1r2；两圆内切0d=|r1r2|；两圆内含0dRr时，两圆外离；当d=Rr时，两圆外切；当Rrdr)时，两圆内切；当dr)时，两圆内含三、解题方法和技巧1、判断点与圆的位置关系例1、如图，在ABC中，A=90，AB=4cm，AC=6cm，AM是中线（1）以点A为圆心，以4cm长为半径作A，则点B、C、M与A的位置关系如何？（2）若以点A为圆心作A，使B、C、M三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则A的半径r的取值范围是什么？分析：要判定点B、C、M和A的位置关系，只要比较BA、CA、MA的长度与半径r的大小即可解：（1）BA=4cm，A的半径也是4cm，点B在A上CA=6cm4cm，点C在A的外部在RtABC中，根据勾股定理，有又AM是中线，点M在A的内部（2）AM=，AB=4cm，AC=6cm，也就是说，点M到圆心A的距离是最短距离，点C到圆心A的距离6cm是最长距离使B、C、M三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，A的半径r的取值范围是rr，C与AB相离当r=2.4cm时，CD=r，C与AB相切当r=3cm时，CDr，C与AB相交点评：（1）圆心到直线的距离与半径的大小是决定圆与直线位置关系的重要因素（2）通过面积过渡，可以方便地用两直角边的长求出斜边上的高，要熟练地掌握这种方法例6、如图，在ABC中，若OA=OB=2a，O的半径r=a，问：AB与O相切、相交、相离时，AOB的取值范围如何？分析：用直线和圆的位置关系性质和三角函数来求AOB的取值范围解：过O作OCAB于C，则AOC=AOB（1）当AB与O相切时，有OC=r=a在RtAOC中，cosAOC=，AOC=60，AOB=2AOC=120（2）当AB与O相交时有OCr=a，在RtAOC中，cosAOC=，60AOC90，120AOBr=a，在RtAOC中cosAOC=，0AOC60，0AOB120答：略点评：我们知道直线和圆位置关系时，我们就知道了圆心到直线的距离和圆半径的大小关系，故可利用其解题例7、如图，已知正方形ABCD的边长为a，AC和BD交于E，过E作FG/AB分别交AD、BC于F、G问以点B为圆心，为半径的圆与直线AC、FG、DC的位置关系如何？为什么？分析：分别求出B到直线AC、FG、DC的距离，从而与比较大小解：四边形ABCD为正方形，边长为a，ACBD于E，BE=又FG/AB且过E点，BC=a，FGBC，且BG=圆的半径为，r=BE，BGr，AC与B相切，FG与B相交，CD与B相离点评：利用圆心到直线距离和半径的大小比较可判定直线和圆的位置关系5、直线与圆相切的判定例8、如图，直角梯形ABCD中，A=B=90，AD/BC，E为AB上一点，DE平分ADC、CE平分BCD求证：以AB为直径的圆与DC相切分析：要证以AB为直径的圆与DC相切，只需证AB的中点到DC的距离等于AB证明：过点E作EFCD于F6、圆与圆的位置关系例9、已知O1与O2的半径为R，r，且Rr，R、r是方程x25x2=0的两根，设O1O2=d，那么（1）若，试判定O1与O2的位置关系；（2）若d=3，试判定O1与O2的位置关系；（3）若d=4.5，试判定O1与O2的位置关系；（4）若两圆相切，求d值解：R、r是方程x25x2=0的两根，Rr=5，Rr=2Rr0，Rr=4.1（1）=5.55，即dRr，两圆外离(2)d=3，即dRr，两圆内含（3）d=4.5，4.55，即RrdRr且dRr(Rr)两个条件同时成立而两圆相切包括两圆外切与两圆内切的两种情况7、两圆位置关系的判定例10、已知：ABC中，C=90，AC=12，BC=8，以AC为直径作O，以B为圆心，4为半径作B如图求证：O与B相外切分析：此题要确定两圆的位置关系，我们可以采用分析法从题目要求证的结论考虑对于证明两圆外切的方法，我们的手段是证明圆心距等于两圆半径之和，或者说明两圆有惟一公共点因此由题目给出的数量只要分别计算两圆半径和圆心距这三个量，进行验证就可以了证明：连结BOAC为O的直径，AC=12，O的半径R1=6且O是AC的中点，OC=6C=90且BC=8，O半径R1=6，B半径R2=4，BO=R1R2，O与B相外切8、两圆相切的性质例11、如图，O1与O2外切于点P，过点P的直线交O1于点A，交O2于点B求证：O1 A/O2B解析：要证明O1A/O2B，可证明A=B，可连结O1O2证明：连结O1O2，则P点在O1O2上因为O1A=O1P，所以A=O1PA同理可证：B=O2PB又因为O1PA=O2PB，所以A=B，故O1A/O2B例12、已知O1和O2外切于P，并且O和O1、O2分别内切于M、N，O1O2O的周长为18cm（如图所示）求：O的周长分析：设O、O1、O2的半径分别为R、r1、r2，为使O1O2O各边的长度与R、r1、r2之间的关系更明了，可采用“分拆、组合法”，将其中每两个圆之间的关系单独拿出来进行分析解：设O、O1、O2的半径分别为R、r1、r2，O1、O2相外切，O1O2=r1r2又O和O1、O2分别相内切，O1O=Rr1，O2O=Rr2O1O2O的周长为18cm，即O1O2O1OO2O=(r1r2)(Rr1)(Rr2)=18cm，R=9cmO的周长为18cm答：O的周长为18cm9、两圆相交的性质例13、相交两圆的公共弦长为6cm，若两圆的半径分别为8cm和5cm，求两圆的圆心距解：设O1，O2交于A，B两点，O1，O2的半径分别为8cm，5cm（1）若两圆圆心O1，O2位于公共弦AB两侧时，如图（1），设O1O2与AB交于C，连结O1A，O2AO1O2垂直且平分AB，AC=3在RtO1CA中，在RtO2CA中，故O1O2=O1CO2C=4(cm)（2）若两圆圆心位于公共弦AB同侧时，如图（2）