高等数学在电气自动化的应用.doc

高等数学在电气自动化的应用 材料学院自动化1010 李长茂 123号一、何为高等数学高等数学比初等更 “高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异。二、高等数学的特点初等数学研究的是常量与匀变量，高等数学研究的是的是不匀变量。 高等数学（它是几门课程的总称）是理、工科院校一门重要的基础学科。 作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点-有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。三、高等数学的重要地位我们可以作这样一个比喻：如果将整个数学比作一棵参天大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干就是“数学分析、高等代数、空间几何”。这个粗浅的比喻，形象地说明这“三门”课程在数学中的地位和作用。我们现在学习的高等数学是由微积分学、空间解析几何、微分方程组成，而微积分学是数学分析中主干部分，而微分方程在科学技术中应用非常广泛,无处不在。就微积分学，可以对它作如下评价。微积分的发明与其说是数学史上，不如说是人类科学史上的一件大事。它是由牛顿和莱布尼茨各自独立地创立的。恩格斯指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”美国著名数学家柯朗指出：“微积分，或曰数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶。”数百年来，在大学的所有理工类、经济类专业中，微积分总是被列为一门重要的基础理论课。四、高等数学在电气自动化领域的体现电路原理中的数学应用我们在学习基本电路理论一阶、二阶电路部分时遇到了许多微分方程求解的问题。这些微分方程实质上比较简单，但运算量大，且涉及繁琐的复数计算，消耗大量的时间。可以看到，在后面引入的相量法、拉式变换为我们提供了强有力的工具去解决这一类问题，但如果思考一下各种情形下微分方程求解中的同异，熟悉它们的数学本质，就会设计出一种便捷的方法处理这类问题。 分析先从RLC串联电路的零输入响应谈起。对基本RLC串联电路列出微分方程：并有。这是教材当中的表达式。我们将其写成： （1）令i的系数为1。初始条件于是有 （2）先不去解上面的方程，而是直接转到RLC串联电路的冲激响应。含有冲激响应的基本微分方程为 初始条件对冲激函数积分之后，得到： （3）初始条件及 （4）比较1、2、3和4式可以发现，1和3是未知量系数是1的齐次二阶微分方程，而且同次微分对应的系数相等。而2和4都是初始条件，撇开字母的形式也几乎完全一样：初值为零，且0时的导数不为零。 由此我们发现，两者的数学本质是一样的。因此，求解后除了特定的值需要换一下，RLC零输入的电流响应结论完全可以移植到冲激响应的电压上来。 我们列表做一下比较：零输入响应 冲激响应过阻尼临界阻尼欠阻尼 无阻尼 其中，不难发现，冲激响应的uc其实就是将零输入响应i中的换成了1/LC。由此，只要记住了零输入响应的电流公式，冲激响应的uc可以完全照搬。 然而在实际应用中这是不够的。实际题目中往往给定初值，并不是都要我们去求冲激响应。前面说过，这里的方法是一条“捷径”，只要记住了公式就能很快地“套”出一些题目的结论。下面再来看具体问题中如何应用。对比（4）式的和。用来换掉1/LC即可。而知道了，由可以得到i。接下来再来讨论阶跃响应的处理方式。 阶跃响应的微分方程处理时是将其分解成稳态分量和暂态分量求解的，暂态分量（电流）的初始条件是，和前面导数初值非零的情况不同，因此在数学形式上与前面三者不能统一起来。但是，其形式上和零输入响应仍有相当多的共同之处。 请看下面表格：零输入响应 阶跃响应过阻尼临界阻尼 欠阻尼无阻尼我们不难发现如下的规律： 电流：将零输入时的-U0换成1，即得阶跃响应电流。 电容电压：将零输入时的U0换成1，并用1去减之，所得结果乘以u(t)。实际应用中会遇到外加的恒定电压源幅值不是1的情况，依网络的线性性质，将上面标示各种的1用Us代替。 讨论过后，下面就给出应用法则： 从简到繁，首先，对于基本的RLC串联电路，我们约定Us都是恒压。1. 找出三个条件：、和Us，均取一致参考方向。 2. 处理为零输入，Us处理为阶跃，处理为冲激，方法如前所述。 3. 将所求的电压、电流叠加，可得结果。 例：已知RLC串联电路中R=6，L=1H, C=0.04F和i(0)=4A, ,试求i(t)、 。解：已知i(0)=4A, ,分解为零输入和冲击响应。零输入响应： 为欠阻尼情形。冲激响应： 于是，由叠加原理： 或完全一致，结论亦可作为正确性的一个证明。实际中遇到的电路通常都需要先列出微分方程。约定如下步骤：列出关于所求变量的微分方程，写出初始条件。2令微分方程中为质量系数为1，写成的形式。为了解决问题的方便，一般都取为电容电压Vc。3. 仿造,令。4. 按和前面完全相同的步骤求解。例：已知图1中电路处于稳态，现在t=0时刻将开关打开，试求t0时的电容电压uc(t)和电感电流iL (t)。解： 分析题意，列出微分方程。 直接利用教材中的结论表达式。该题的电路方程为： 图1首先调整微分方程的系数，得，为欠阻尼情形。由初值，可将其分解为零输入响应和阶跃响应（注意用V0去换1）。 零输入响应： 阶跃响应： 所以，由叠加定理，Vc等于上两值之和，有 ，与书上答案完全吻合。 本文的讨论完全来源于变量的数学本质，并且紧密依托叠加定理。要切实掌握好这一方法，必须明白推理过程，明确基本概念，并在实际中加以运用。徒然大量做题而不假思索，未必会有收获。五