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第三节复平面上的点集,一、复平面点集的一般概念,二、区域,三、平面曲线,一、复平面点集的一般概念,定义1邻域:,记作:N(z0),N(z0)=z|z-z0|,记作：N0(z0)=z|0|z-z0|0:N(z0)=z0,若z0属于，但在z0某邻域内除z0外不含的点，,则称z0为G的孤立点,定义有界集和无界集,有界！,如果内每一点都是它的内点,那么为开集,定义3开集与闭集,平面上不属于的点的全体称为的余集；,开集,的余集称为闭集,或开集及其边界的并集称为闭集,二、区域,定义5区域,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域,(1)D是一个开集；,(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,D加上D的边界称为闭域，记为DD+D,z1,z2,D,说明,(2)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,(1)区域都是开的.,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,不包含边界！,(1)圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2)上半平面:,(3)角形域:,(4)带形域:,答案,(1)有界;(2)(3)(4)无界.,平面曲线C的复数表示:,C的实参数方程,C的复参数方程,起点z(),终点z(),C的正向：起点终点,三、平面曲线,定义6连续曲线,例如：,复数形式为,复数形式为,或,例1,求下列方程所表示的曲线:,解,化简后得,没有重点的曲线C称为简单曲线(或Jordan曲线).,重点,重点,重点,换句话说,简单曲线自身不相交.,定义7简单曲线,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答案,简单闭,简单不闭,不简单闭,不简单不闭,简单闭曲线的性质约当定理,任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：,I(C),E(C),边界,（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.,（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.,（3）C是I(C),E(C)的公共边界.,定义8光滑曲线:,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.,特点,（1）光滑曲线上的各点都有切线,（2）光滑曲线可以求长,定义9单连通域与多连通域:,复平面上的一个区域D,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于D,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多（复）连通域.,单连通域,多连通域,解,无界的单连通域(如图).,例2指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,表示到1,1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,例3,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,是多连通域.,不是区域.,小结与
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