刚体运动方程与平衡方程

3.4刚体运动方程与平衡方程,.,2,3.4.1力系的简化,Fi:作用在刚体上的外力,Ai:作用点,能否找到单力F,使它的作用效果与力系等效？即,.,3,3.4.1力系的简化,力的可传性原理,一对平衡力的作用效果为零。,.,4,3.4.1力系的简化,汇交力系的简化,各力的作用线都交于一点，这样的力系叫做汇交力系。,汇交力系可以合成等效的单力，此单力的作用点即力线的交点。,.,5,3.4.1力系的简化,力线的平移力偶,力偶：一对大小相等、方向相反，不共线的力。,可见，平移力线会多出附加力偶,.,6,3.4.1力系的简化,力偶矩,力偶产生的力矩,选择空间任意一点O作为矩心。,看F与F对O的合力矩。,可见，力偶矩与矩心无关，力偶矩是自由矢量。,力线的平移力偶,力偶矩的大小取决于力的大小和力偶臂。,.,7,3.4.1力系的简化,力线的平移力偶,.,8,3.4.1力系的简化,力线的平移力偶,一个单力和一个与之垂直的力偶矩，可以简化为另一个作用点不同、大小相等的单力。,.,9,3.4.1力系的简化,一般力系的简化,汇交力系可合成单力：,力偶系可合成单力偶：,称为主矢,称为主矩,一般力系可以通过力线的平移，转化为一个汇交力系与一个力偶系。其中力偶为,.,10,3.4.1力系的简化,一般力系的简化,说明：,(1)原则上可选择任意一点作为简化中心，但实际为了理论研究的方便，通常以质心C作为简化中心。,(2)主矢不依赖于简化中心，但主矩依赖于简化中心。,.,11,3.4.1力系的简化,力系简化的最终形式,一般力系可简化为主矢和主矩：,平衡,单力偶,单力,单力,力螺旋,既不垂直也不平行的情况：仍是力螺旋。,与可简化为一个与平行的单力。,.,12,3.4.2刚体运动微分方程,(1)质心的运动定理,刚体是特殊的质点组，第2章质点组力学中的运动定理对刚体也是适用的。,设刚体受(外)力系作用。,可描述刚体整体随质心的平动。,一般取质心C作为简化中心。,.,13,3.4.2刚体运动微分方程,(2)对质心的动量矩定理,描述刚体整体绕通过质心的某轴线的转动。,注意：内力和惯性力仍然没有贡献。,是外力系对质心C的主矩,是刚体对质心C的动量矩,.,14,3.4.2刚体运动微分方程,(3)对空间某固定点O的动量矩定理,类似于柯尼希定理，还有,.,15,3.4.2刚体运动微分方程,(4)动能定理,质点组的动能定理,其中内力做的功,对于刚体，相对位矢的大小不会改变，只能发生方向上的转动，故,因此内力做功为零。,.,16,3.4.3刚体平衡方程,一般的，简化中心不同，则主矩也不同：,可见，若主矢为零，则主矩不依赖于简化中心。,.,17,3.4.3刚体平衡方程,证明：,简化中心不同，主矩之间有如下关系,平衡方程的另一种形式,因为A,B,C不共线,故必须F=0,由(1)(2)可得,(1),主矢为零，则主矩不依赖于简化中心，即M=0对任意一点成立。得证,.,18,3.4.3刚体平衡方程,共面力系,.,19,3.4.3刚体平衡方程,例题,例题：一均质梯子，一端置于摩擦因数为1/2的地板上，另一端则斜靠在摩擦因数为1/3的高墙上，一人的体重为梯子的三倍，爬到梯的顶端时，梯尚未开始滑动，则梯与地面的倾角最小为多少？,解：这是共面力系平衡,(1),(2),(3),.,20,当梯处于将滑未滑的临界状态时，即处于最大静摩擦状态，由已知可得