4-200 绘制根轨迹的基本法则

1,4.2根轨迹的绘制,低阶系统（如二阶系统）,解析法求根轨迹（【例4.1.1】）,高阶系统,根轨迹绘制法则，8条,2,4.2.1绘制根轨迹的基本法则,法则1：根轨迹的分支数、对称性和连续性,分支数MAX（n,m）,特征方程的根为实数或共轭复数，因而对称于实轴特征方程是多项式函数，根是K*的隐函数，因此根轨迹连续,3,法则2：根轨迹起于开环极点，终于开环零点,因为有MAX(n,m)个根轨迹分支，所以有n个根,所以，根轨迹起于开环极点,？有几个根,4,根轨迹方程又可以写为（K*0）,所以根轨迹终于开环零点,5,一般情况下,有n-m条根轨迹终于无穷远处,将穷远处的零点叫做无穷零点，那么根轨迹终止于开环零点,如果包括无穷零点，则有：开环零点数（有限零点无穷零点）开环极点数,6,法则3：根轨迹的渐近线,当时，有条根轨迹分支沿着与实轴交角为、交点为的一组渐近线趋向于无穷远处，且有,7,证明：角度的简单证明,无穷远处的一个闭环特征根,与有限零点和有限极点所成角度相同，都设为,相角条件,根轨迹对称于实轴，也可写为,交角有n-m个，交点只有一个,8,【例4.2.1】一个系统开环传递函数为,根据前面3个根轨迹法则确定根轨迹基本特性,解：1)根轨迹起始于开环极点,2)根轨迹有4条，且对称于实轴,终于开环无穷远零点和有限零点,9,3)有n-m=3条渐近线，其与实轴交点为,与实轴交角为,10,例4.2.1的根轨迹,开环极点用表示开环零点用表示,有三条渐近线,一条根轨迹起于p1,终止于z1其他三条终止于无穷远处,11,法则4：实轴上的根轨迹,实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。,证明：根轨迹上的点必须满足相角条件,12,实轴上的根轨迹,（p4,z2）段是根轨迹，其右侧实轴零极点数为3个,（p1,z1）段是根轨迹，右侧实轴1个零极点,13,法则5：根轨迹的分离点与分离角,两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点（会合点）,若相邻两极点间有根轨迹，则必有分离点若相邻两零点间有根轨迹，则必有会合点分离点实际上是相同的闭环特征值，即特征方程有重根,14,分离点的坐标d是可由如下方法确定：,(1)公式法（凑试法）,15,(2)重根法,(3)极值法,分离点,分离点,16,【例4.2.2】绘制开环传递函数的根轨迹草图,解:(1)实轴上根轨迹(z1,p1)之间有根轨迹，而且没有分离点，所以起于p1，终于z1(p2,p3)之间有根轨迹，且有分离点,(2)(p2,p3)之间的分离点,分离角,17,（3）n-m=2,有2条根轨迹趋于无穷渐近线的参数为,（4）分离点处的根轨迹增益K*,-4,-3,-2,-1,0,1,-10,-5,0,5,10,p1=0,p2=-2,p3=-3,z1=-1,?4.2.2?,RealAxis,ImaginaryAxis,?,d=-2.47,K*=0.419,18,法则6：起始角与终止角,起始角（出射角）：根轨迹在开环极点处切线的角度,其中,19,终止角（入射角）：根轨迹在开环零点处切线的角度,其中,20,证明：在极点pi附近根轨迹上取一点s1，连线角度近似为起始角，则,正负一样,其中,21,整理即得,终止角的证明类似,22,【例4.2.3】绘制如下开环传递函数的根轨迹草图,解：,（1）有根轨迹，且有会合点，分离角为,RealAxis,尝试其它方法,23,（2）p1点的出射角为,根轨迹的复平面部分是以零点到分离点距离为半径的圆周的一部分,24,法则7：根轨迹与虚轴的交点,即有纯虚根，此时K*使系统处于临界稳定状态,两种计算方法：劳斯稳定判据计算临界增益采用代入法计算,25,【例4.2.4】已知某单位负反馈系统的开环传递函数，试确定根轨迹与虚轴的交点及相交时的K*,解：闭环特征方程为,Gk(s),26,计算劳斯表,用s2行构造辅助方程,27,所以，与虚轴的交点为，临界增益为6,或者将直接代入特征方程，得,28,法则8：闭环极点的和,当时，开环极点之和等于闭环极点之和，即,由于开环极点之和为常数，所以当某些闭环极点在s平面上左移时，另外某些极点必然右移,29,证明：当时，系统闭环特征方程,30,根轨迹绘制规则总结,31,32,绘制根轨迹基本步骤,计算开环极点、零点，并标注确定根轨迹分支数确定根轨迹起点和终点确定实轴上的根轨迹确定渐近线确定分离点或会合点确定初始角和终止角确定与虚轴的交点计算要求的参数,33,【例4.2.5】单位负反馈系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹,解：1）绘制零极点分布,34,2）实轴上的根轨迹,(-3,0)之间必有根轨迹,3）渐近线,条渐近线,-1.25,35,4）分离点,无有限零点，故,-3,0,-1.25,-2.3,36,5）起始角,-1+j处的起始角,对称的,37,6）与虚轴交点,闭环特征方程为,列劳斯表,令s1的行为零,38,由s2行构造,39,例4.2.6已知控制系统开环传递函数,试绘制根轨迹。,（3）确定实轴上的根轨迹,40,（4）渐近线：因为有三条根轨迹分支终止于无穷远处，故有三条渐近线。,41,（6）根轨迹与虚轴的交点：令,代入系统闭环特征方程中，得,分别令上式的实部与虚部等于零，得,解上述方程组，并舍去无意义值，得,；,42,43,利用MATLAB绘制根轨迹,命令1：零、极点模型zpk,传递函数tf,例：,命令2：绘制根轨迹rlocus,rlocus(Gk),Gk=tf(1,4,1,0,2,2),Gk=zpk(,0,0,-2,1),Gk=zpk(-4,0,0,-2,1),44,它的开环传递函数为（1）有2个开环极点（起点），。,4.2.2自动控制系统的根轨迹,二阶系统二阶系统的结构图如图所示。,45,由此得分离点,（2）有二个开环无限零点（终点），故二条根轨迹都将延伸到无限远。（3）由上节法则4可知，在0和间必有根轨迹。（4）按式根轨迹的分离点计算公式,46,(5)根轨迹的渐近线倾角计算，得渐近线交点计算它和根轨迹的分离点重合。,47,二阶系统增加一个零点时，系统结构图,开环具有零点的二阶系统,它的开环传递函数为,48,开环具有零点的二阶系统的根轨迹如图,49,二阶系统附加一个极点的系统的结构图,三阶系统,它的开环传递函数为,50,三阶系统的如图根轨迹,51,二阶系统中增加一个极点，一个零点后系统的结构图如图所示，它的开环传递函数为,开环具有零点的三阶系统,52,开环具有零点的三阶系统的根轨迹如图,53,开环传递函数为,具有复数极点的四阶系统,54,具有复数极点的四阶系统的根轨迹如图,55,课程回顾（1）,根轨迹：系统某一参数由0变化时，系统闭环极点在s平面相应变化所描绘出来的轨迹,闭环极点与开环零点、开环极点及K*均有关,相角条件：,模值条件：,根轨迹方程,根轨迹增益,闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点,56,课程回顾（2）,法则1根轨迹的起点和终点：,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。,法则2根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数=开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴。,法则3实轴上的根轨迹：从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。,定理:若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。,57,4.2绘制根轨迹的基本法则（6）,法则4根之和：,证明：,n-m2时，闭环根之和保持一个常值。,由代数定理：,n-m2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。,58,4.2绘制根轨迹的基本法则（7）,法则5渐近线：,nm时，n-m条根轨迹分支趋于无穷远处的规律。,例1系统开环传递函数为,，试绘制根轨迹。,解.实轴上的根轨迹：-2，0,渐近线：,59,4.2绘制根轨迹的基本法则（8）,例2系统结构图如图所示。,解.(1),渐近线：,实轴上的根轨迹：-4,-2,-1,0,（1）绘制当K*=0时系统的根轨迹；,（2）当Rel1=-1时，l3=?,用根之和法则分析绘制根轨迹：,(2),60,4.2绘制根轨迹的基本法则（9）,法则6分离点d：,说明：,（无零点时右端为0）,（对应重根）,试根:,61,4.2绘制根轨迹的基本法则（10）,例3单位反馈系统的开环传递函数为,解.,渐近线：,实轴上的根轨迹：-,-2,-1,0,，绘制根轨迹。,分离点：,整理得：,解根：,与虚轴交点：?,62,4.2绘制根轨迹的基本法则（11）,法则7与虚轴交点：,解法I：,1）系统临界稳定点,2）s=jw是根的点,接例3,Routh：,解法II：,稳定范围：0K3,63,4.2绘制根轨迹的基本法则（12）,法则8出射角/入射角（起始角/终止角）,例4单位反馈系统的开环传递函数为,，绘制根轨迹。,64,4.2绘制根轨迹的基本法则（13）,例5已知系统结构图，绘制根轨迹。,解.,渐近线：,实轴上的根轨迹：-,0,与虚轴交点：,出射角：,65,4.2绘制根轨迹的基本法则（14）,例6单位反馈系统的开环传递函数为,解.,渐近线：,实轴上的根轨迹：-20,0,，绘制根轨迹。,分离点：,试根得：,虚轴交点：,出射角：,66,4.2绘制根轨迹的基本法则（15）,例6,渐近线：,实轴上的根轨迹：-20,0,分离点：,虚轴交点：,出射角：,稳定的开环增益范围：0K3.4725,基于根轨迹的系统设计工具RLTool,67,4.2绘制根轨迹的基本法则（16）,解.,渐近线：,实轴上的根轨迹：(-,-1,0,1,分离点：,出射角：,68,4.2绘制根轨迹的基本法则（17）,例6,零点靠近极点时的情况(例3),虚轴交点：,稳定的范围：,稳定的范围：,69,绘制根轨迹法则小结,法则5渐近线,法则1根轨迹的起点和终点,法则2根轨迹的分支数，对称性和连续性,法则3实轴上的根轨迹,法则4根之和,法则6分离点,法则7与虚轴交点,法则8出射角/入射角,70,4.2绘制根轨迹的基本法则（18）,例1系统结构图如图所示,解.(1),渐近线：,实轴上的根轨迹：-0.5,1.75,（1）绘制当K*=0时系统的根轨迹；,（2）分析系统稳定性随K*变化的规律。,出射角：,与虚轴交点：,71,4.2绘制根轨迹的基本法则（19）,例1系统结构图如图所示,解.(2)分析：,（1）绘制当K*=0时系统的根轨迹；,（2）分析系统稳定性随K*变化的规律。,开环稳定闭环稳定,负反馈未必一定能改善系统性能,72,4.4绘制根轨迹的基本法则（20）,例3单位反馈系统的开环传递函数为,解.,渐近线：,实轴上：-,-2,-1,0,，选定K*值，绘制,分离点：,解根：,虚轴交点：,当T变化时的根轨迹。,73,4.4绘制根轨迹的基本法则（21）,虚轴交点：,74,自动控制原理,（第16讲）,4.1根轨迹法的基本概念4.2绘制根轨迹的基本法则4.3广义根轨迹4.4利用根轨迹分析系统性能,4根轨迹法,75,自动控制原理,（第16讲）4.3广义根轨迹,76,4.3广义根轨迹,例2系统开环传递函数,解.(1),渐近线：,实轴根轨迹：-,0,，a=0变化，绘制根轨迹；x=1时，F(s)=?,分离点：,整理得：,与虚轴交点：,4.3.1参数根轨迹除K*之外其他参数变化时系统的根轨迹,构造“等效开环传递函数”,77,4.3.1参数根轨迹（1）,解.(2)x=1时，对应于分离点d，ad=2/27,78,4.3.1参数根轨迹（2）,例3单位反馈系统的开环传递函数为,解I.,出射角：,实轴上的根轨迹：-,-587.7,-27.7,0,T=0,绘制根轨迹。,分离点：,整理得：,解根：,虚轴交点：,79,4.3.1参数根轨迹（3）,例3单位反馈系统的开环传递函数为,解II.,入射角：,实轴根轨迹：-,-587.7,-27.7,0,T=0,绘制根轨迹。,分离点：,虚轴交点：,80,4.3广义根轨迹,模值条件,相角条件,4.3.2零度根轨迹系统实质上处于正反馈时的根轨迹,81,绘制零度根轨迹的基本法则,法则5渐近线,法则1根轨迹的起点和终点,法则2根轨迹的分支数，对称性和连续性,法则3实轴上的根轨迹,法则4根之和,法则6分离点,法则7与虚轴交点,法则8出射角/入射角,82,4.3.2零度根轨迹（1）,例4系统结构