3.1_3矩阵的初等变换及秩

本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大.,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,3.1矩阵的初等变换,引例1.解线性方程组,解：,这种解线性方程组的方法称为消元法.其方法是对方程组反复施行以下三种变换:（1）交换两个方程的位置；（2）用数k（k0）乘以某个方程；（3）用数k乘以某方程加到另一方程上去这三种变换统称为线性方程组的初等变换,引例2.,求解线性方程组,解:,解:,用“回代”的方法求出解：,于是解得,引例1.消元法相当于对增广矩阵作下列变换,定义1矩阵的初等行变换是指下列三种变换：（1）对调两行(对调i,j两行,记作rirj)（2）以数k0乘某一行中的所有元素(第i行乘k（k0），记作rik)（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行的k倍加到第i行上，记作）,（1）对调两列(对调i,j两列,记作cicj)（2）以数k0乘某一列中的所有元素(第i列乘k（k0），记作cik)（3）把某一列所有元素的k倍加到另一列对应的元素上去（第j列的k倍加到第i列上，记作）,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.,定义2矩阵的初等列变换是指下列三种变换：,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,例如，两个线性方程组同解，,就称这两个线性方程组等价,消元法相当于对增广矩阵作初等行变换,行阶梯形矩阵行最简形矩阵,行阶梯形矩阵行最简形矩阵,行阶梯形矩阵特点：,(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,每个台阶只有一行，台阶数即非零行行数，,阶梯线竖线后面的第一个元素为非零元.,行阶梯形矩阵行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵特点：,(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,每个台阶只有一行，台阶数即非零行行数，,阶梯线竖线后面的第一个元素为非零元.,注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定，行阶梯形矩阵的行数也由方程组唯一确定,行最简形矩阵再经过初等列变换化成标准形,行最简形矩阵标准形,标准形特点：,行最简形矩阵标准形,3.2矩阵的秩,我们已经知道给定一个mn矩阵A它的标准形,由数r完全确定这个数也就是A的行阶梯形中非零行的行数这个数便是矩阵A的秩,k阶子式在mn矩阵A中任取k行与k列(kmkn)位于这些行列交叉处的k2个元素不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式,例如:,说明,矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0那么D称为矩阵A的最高阶非零子式数r称为矩阵A的秩记作R(A)并规定零矩阵的秩等于0,(1)矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数;,(2)若A为mn矩阵0R(A)minmn;,定理1若矩阵A与B等价则R(A)R(B),根据这一定理为求矩阵的秩只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵其非零行的行数即是该矩阵的秩,行阶梯形矩阵,注:非奇异矩阵A满足|A|0,A的秩就等于其阶数,A又称为满秩矩阵.,奇异矩阵A也称降秩矩阵.,例3设,解：,3.3线性方程组的解法,定理2齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是：R(A)n,其中n是变量的个数.,(1)r=n,线性方程组只有唯一解；,(2)rn,线性方程组有无穷多解，自由变量的个数为n-r.,引例1和2,行阶梯形矩阵行最简形矩阵,行阶梯形矩阵行最简形矩阵,齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,例4求解齐次线性方程组,解:,线性方程组的解法,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,行阶梯形矩阵,行最简形矩阵,由此即得,例5求解非齐次线性方程组,解：,对增广矩阵B进行初等变换，,解：,对增广矩阵B进行初等变换，,故方程组无解,例7设有线性方程组,解：,解：,其通解为,也即,非齐次线性方