函数的极限ppt课件.ppt

第二章函数的极限,有人说，极限的思想是微积分的灵魂。这句话形象地表明了极限概念的重要性。微积分的大多数概念和运算，就是建立在极限概念的基础上。如果在微分和积分的过程中，你见不到极限，那是因为在用极限建立起概念和运算的规则后，我们便沉浸在这些概念和规则之中，而忘记了它们本质上来自于极限概念。,本章主要介绍极限的概念和计算。理解极限概念，灵活的运用各种方法计算极限是本章的重点。,2.1极限的概念,2.2无穷小量与无穷大量,2.3极限的计算,2.4用两个重要极限求极限,2.5用等价无穷小量替换和变量替换求极限,2.1,2.1极限的概念,函数的极限要研究：随着自变量的变化，函数的变化趋势。,自变量的变化方式有六种，分别是：,其中：表示x从x0的两侧趋于x0，读作“当x趋于x0”；,表示x从x0的右侧趋于x0，读作“当x趋于x0右”；,表示x从x0的左侧趋于x0，读作“当x趋于x0左”。,相应的，函数的极限也就有六种情况。我们重点介绍两种情况，其余情况只作简单介绍。,2.1.1xx0时，函数f(x)的极限,xx0时函数f(x)的极限表示，随着x无限趋于x0，函数f(x)的变化趋势。,定义2.1.1,若随着x无限趋于x0，f(x)无限趋于常数A(见图2.1-1)，,2.1,则称当x趋于x0时，f(x)的极限是A，记为,当xx0，f(x)A,或,上式中的lim是英语limit(极限)一词的缩写。上式读作,“当x趋于x0时，f(x)的极限是A”。,例2.1.1,求。,解：,例2.1.2,求。,解：,2.1,解：,例2.1.2,求。,见图2.1-2。,以后，对于函数的极限，我们不再先写出函数是什么，然后再写出极限式，而是直接在极限符号右边，写上函数的表达式。,例如，表示当x2时，函数f(x)=2x2+2的极限。,2.1,定义2.1.2,当x从x0的右侧趋于x0时，若f(x)无限趋于常数A(见图2.1-3)，称f(x)在x0处的右极限为A，记为,或f(x0+0)=A,2.1,将定义2.1.2中的“右”改为“左”就给出左极限的定义(见图2.1-4)。f(x)在x0处的左极限记为,或f(x0-0),2.1,这样，函数在一点x0处的极限就有三种情况：,x从右侧趋于x0(见图2.1-3)，x从左侧趋于x0(见图2.1-4)，x从x0两侧以任意方式趋于x0(见图2.1-1)。,下述定理指出了三种情况的关系。,定理2.1.1,即，函数在x0处极限存在的充要条件是：,左极限存在，右极限存在，并且左右极限相等。,当函数在x0处两侧性态不一样，或表达式不一样，通常用上述定理确定函数在x0处的极限。,2.1,例2.1.4,求。,所以不存在。,见图2.1-5。,2.1,例2.1.5,求。,解：,2.1,2.1.2x时，函数f(x)的极限,定义2.1.3,x时函数f(x)的极限就是：,随着|x|无限变大，函数f(x)的变化趋势。,若随着|x|无限变大，f(x)无限趋于常数A，见图2.1-6。,则称当时，f(x)的极限是A，记为,当，f(x)A,或,图2.1-6,2.1,例2.1.6,求。,例2.1.7,求。,图2.1-7,见图2.1-7。,2.1,类似的，当x朝正方向无限变大时，若f(x)无限接近于常数A，则称当时，f(x)的极限是A，记为,当x朝着负方向无限变大时,若f(x)无限接近于常数A，则称当时，f(x)的极限是A，记为,2.1,2.1.3数列的极限,设数列的通项公式为,y(n)=f(n),数列可以看作是定义在正整数集合上的函数。当函数的自变量是正整数时，人们习惯于把自变量n写成下标，即,yn=f(n),例如，,对于数列，自变量n的变化方式只有一种，即n+，但人们习惯于记成n，由于没有其它情况，这样记也不会产生混乱。,例2.1.8,例2.1.9,2.1,2.2无穷小量与无穷大量,2.2.1无穷小量,定义2.2.1：,函数(包括数列)的变化趋势，有两种重要情况，一是趋于0，趋于0的量叫无穷小量；一是趋于，趋于的量叫无穷大量。对无穷小量和无穷大量的分析，将给极限的计算带来方便。,若,则称当xx0时，f(x)为无穷小量,即：极限为0的量叫无穷小量。,对于自变量的其它几种变化过程，可类似地叙述上述定义。,2.2,例如：,注1对于函数f(x)0，由于在自变量的任何变化过程中，都有lim0=0，所以，在任何变化过程中，都可以看作是无穷小量。,注2说一个变量f(x)是无穷小量，必须指明自变量的变化过程，不指明自变量的变化过程，而说f(x)为无穷小量，是没有意义的。,2.2,例如：,当x-时ex为无穷小量；,当x+时ex为无穷大量。,若只说“ex为无穷小量”，显然是没有意义的。,无穷大量的概念将在下面2.2.3段中给出。,无穷小量有下述定理所说的运算性质：,定理2.2.1：,(1).有限个无穷小量的和，仍是无穷小量；,(2).有限个无穷小量的积，仍是无穷小量；,(3).有界量与无穷小量的积，仍是无穷小量。,注意：限定词“有限个”是必须有的，不能去掉，没有了“有限个”这个限定词，结论一般不成立。,2.2,2.2.2无穷小量的阶,定义2.2.2：,设,即当xx0时,f(x),g(x)都是无穷小量,若,称：当xx0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小量，,记成f(x)=o(g(x)(当xx0),通常也顺序读作：f(x)等于小欧g(x)。,若,称：当xx0时，f(x)是与g(x)同阶的无穷小量。,记作f(x)=O(g(x)(xx0),读作“f(x)等于大欧g(x)”。,2.2,若,称：当xx0时，f(x)是与g(x)等价的无穷小量。,记作f(x)g(x)(当xx0)。,例如：因为,所以当xx0时，x3是比x2高阶的无穷小量。,因为,所以当x0时，4x2+x3是与x2为等价的无穷小量。,2.2,2.2.3无穷大量,定义2.2.3：,当xx0，若f(x)的绝对值|f(x)|可以无限变大，称,当xx0时，f(x)为无穷大量，记作,见图2.2-1、图2.2-2。,2.2,注意：上式不能说成是“f(x)的极限是”，因为函数的极限总是指“一个数”，而不是一个数。当xx0，|f(x)|，是极限不存在的一种情况。,类似地可说,以及自变量的其它几种变化过程的情况。,2.2,无穷大量有如下运算性质：,(1).两个正无穷大量的和，仍为正无穷大量；,(2).两个负无穷大量的和，仍为负无穷大量。,但不能说：,两个无穷大量的和，仍为无穷大量,例如,当两个无穷大量的方向相反,其和可能不再是无穷大量。,例如，,当x时，f(x)与g(x)都为无穷大量，,但f(x)+g(x)却为无穷小量。,(3).两个无穷大量的积仍为无穷大量。,2.2,2.2.4无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系,定理2.2.2：,定理2.2.3：,下述两条定理，是常用得到的，其结论也很自然。,无穷大量的倒数，是无穷小量；,无穷小量的倒数，是无穷大量。,符号“”读作“当且仅当”。,f(x)=A+,其中，=f(x)A(当xx0时)为无穷小量。,利用这一性质分析极限，有些情况下是很方便的。,2.2,2.3极限的计算,2.3.1用四则运算法则求极限,定理2.3.1：,极限的计算是微积分的基本技能。极限计算有很多方法和技巧，应该注意不断地总结和归纳，以不断提高极限计算的能力。,下述定理给出了极限的四则运算法则：,则：(1).,(2).,(3).当,2.3,证：只证明第(2)条，其余两条可类似证明。,=0,证毕,2.3,和、差、积、商的极限，等于极限的和、差、积、商,利用这些法则，可把较复杂的函数的极限，化为一些简单的函数的极限。,例2.3.1求极限,解：,2.3,2.3,例2.3.2求极限,解：,例2.3.3求极限,解：,例2.3.2求极限,解：,2.3,2.3.2用两边夹定理求极限,定理2.3.2：(两边夹定理),若(1)g(x)f(x)h(x),(2)g(x)A，h(x)A(当x+),则f(x)A(当x+),在几何上，定理所阐述的事实几乎是显然的。见图2.3-1。,在自变量的其它变化方式下，定理的结论仍然成立。例如,若(1)g(x)f(x)h(x),(2)g(x)A，h(x)A(当xx0),则f(x)A(当xx0),两边夹定理的使用方法：用简单夹复杂。,2.3,解：记f(n)=,例2.3.5,找两个简单的函数夹住f(n)。,将f(n)中每一项根号下变化着的数字1,2,3,n都看作n，f(n)被缩小，即有,2.3,f(n),将f(n)中每一项根号下变化着的数字1,2,3,n都看作1，f(n)被放大，即有,f(n),于是有,2.3,由两边夹定理,有,使用两边夹定理求极限，技巧比较高，但你也不必为此担心，我们只是在2.4中用一下这个定理，在之后的内容中，再没有使用这个定理。,f(n),而当n时，有,2.4用两个重要极限求极限,两个重要极限是指：,2.4.1重要极限,2.4,之所以是两个重要极限，是因为好多极限，都可化归到这两个极限上来计算。,2.4,若有h(x)1，g(x)1，则也有,由于f(x)是偶函数，只须考虑x0的情况。,在图2.4-1所示的单位圆上，有,(1),S表示面积。注意圆的半径OA为1，,代入(1)式，有,2.4,由两边夹定理有,两边同除以,而,(2),一般的，若当时，有，则有,(3),2.4,这只要将(x)看作(2)式中的x，即见上式第二个等号成立。由此，我们得到比(2)式更为一般的公式：,注：这式子表示，。,从现在开始，要注意记住一些等价无穷小量，因为后面要介绍利用等价无穷小量替换求极限的方法。等价无穷小量记住的越多，极限计算越灵活。,解：,例2.3.2求极限,(此例说明：tanxx，当x0。一般的tan(x)(x)，当(x)0),2.4,解：,例2.4.2求极限,解：,例2.4.3求极限,令arctanx=t，则x=tant，且当x0时，t0。,(请记住：arctanxx,当x0),2.4.2重要极限,2.4,这个极限的证明很复杂，需要较多的技巧，我们只要熟记这个式子，会用就行了。,一般地，有,注意这一重要极限的特点：,底数为1+0的形式(这里0表示无穷小量)，指数为(无穷大量)；重要的是，底数1+0的无穷小部分，与指数部分互为倒数。,2.4,清楚了这些之后，我们便可用下述易记忆的说法，来表述利用这一重要极限求极限的过程，即：,底是1+0，,其中：前两句说的是“识别”确定所求极限可否用第二个重要极限计算；第三句说的是使用重要极限公式的“条件”；第四句指出，当这一条件不满足时，我们需要做的事情。,指数是，,指、底互为倒(指与底的无穷小部分互为倒数)，,不倒凑其成。,2.4,解：,解：,例2.4.4求极限,例2.4.5求极限,解：,例2.4.6求极限,2.4,解：,解：,例2.4.7求极限,(请记住：ln(1+x)x,当x0,一般的ln(1+(x)(x),当(x)0),例2.4.8求极限,2.5用等价无穷小量替换和变量替换求极限,2.5.1用等价无穷小量替换求极限,2.5,在极限计算中，可用等价无穷小量替换极限式中分子或分母上的与其等价的因子，道理是很简单的。,设要计算极限,假若知道(x)(x)，(x)(x)，则,于是，就被，所替换。当，比，形式简单，这种替换会简化极限的计算。,2.5,上述推导中，第一步是恒等变形，第二步用到条件,注意，只能替换与其等价的无穷小量因子。,解：,例2.5.1求极限,2.5,解：,例2.5.3求极限,解：,例2.5.2求极限,2.5.2用变量替换求极限,2.5,其实,我们已多次使用这一方法了。在前面,若当xx0,有(x)0.,解：令x=t6，则当x1，有t1,例2.5.4求极限,极限计算是微积分课程的基本技能，以后随着可用工具的不断增多，我们还会介绍其它一些求极限的方法和技巧，读者也应当注意总结和积累求极限的方法与技巧。,2.5.3极限的思想,2.5,至此，我们已经掌握