大学物理机械振动

.,第十章机械振动,定义,振动：任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，称为振动；,机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动，称为机械振动。,简谐振动；,简谐振动合成；,阻尼振动、受迫振动、共振。,主要内容,.,一、简谐运动（SimpleHarmonicMotion),物体在一定位置附近的位移变化满足简谐函数形式，称为简谐运动。,弹簧振子单摆复摆,二、基本特征,以弹簧振子为例,振子受力是,由牛顿第二定律得,.,物体受力和加速度与位移x成正比,且方向相反（动力学特征）,式中:,上式可以改写为微分方程形式,其解为,式中A、是待定常数，此式称为简谐运动的运动方程。,(称为角频率）,.,位移x按余弦函数的规律随时间变化（运动学特征）,三、简谐运动的速度与加速度,速度：,加速度：,位移x、速度、加速度a三者与时间t的关系如图所示。,.,四、描述简谐振动的物理量,2.周期（Priod）,1.振幅（Amplitude）,离开平衡点的最大量值的绝对值。,给出振动量的变化幅度。,注意：A、A、2A分别是位移、速度、加速度振幅。,完成一次全振动所需的时间T，单位是秒（s）。,.,表示：由运动方程,简谐运动的周期是决定于系统自身的常量，又称为固有周期(naturalneriod)。,3.频率（Frequency）,物体单位时间内做完全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。,表示:由定义可知,.,式中是角频率,单位是rads-1,频率只与振动系统自身性有关,也称为固有频率(naturalfrequency)。,4.相位与初相位(phaseandinitialphase）,一是振动的周期性由相位来反映；二是相位确定了振动物体运动状态。,t+称为相位,称为初相位，单位是rad。,1o相位的意义是：,.,2o初相j，由开始时刻振动物体的运动状态决定,由运动方程可知：t=0时刻,5.相位差(phasefifference),两个简谐振动的相位之差称为相位差,用j表示,.,表示:,1oj反映两振动的步调情况：,j=0（或2整数倍)，同步振动,j=（或奇数倍），振动步调相反,j0,x2振动超前;j0,x1振动超前,.,2o两振动到达同一状态的时间差是,五、旋转矢量(rotationalvector),在x轴上的投影为:,矢径A与x轴夹角为:,x=Acos(wt+j),(wt+j),.,以弹簧振子为例:,.,1o动能与势能均为时间的函数，位相差为/2，二者可以相互转化，总能量是与时间t无关的恒量。,能量随时间变化,能量随空间变化,.,2o,考察一个周期内的动能与势能平均值,在一个周期内的平均动能与平均势能相等，各是总能量的一半。,.,一、同频率同方向简谐振动合成,合振动位移x就是x1与x2的代数和,特点:1=2=,x1/x2,表示:对如下两个振动,.,合成结果为频率为w的简谐振动,由旋转矢量法得出A、是：,.,则：,则：,合振幅最大,合振幅最小,.,当A1=A2时：,合振幅最小值是0。,合振幅最大值是2A1；,则A在上述两者之间。,二、相互垂直同频率简谐振动的合成,特点:1=2=,对如下两个振动,合成得到质点的轨迹方程是,.,质点沿1、3(2、4）象限直线作简谐振动。,.,质点轨迹正椭圆,质点轨迹是任意形状椭圆。,.,一、阻尼振动（dampedvibration）,振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。,1.阻尼模型,摩擦阻尼：,摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化为热能,辐射阻尼：,振动系统引起临近质点的振动，使系统能量逐渐向四周辐射,阻尼模型,称为阻尼系数,条件：适用于物体低速运动情况,.,2.阻尼振动方程,以弹簧振子为例,阻尼振动微分方程,或写为,定义固有角频率0和阻尼因子，有,.,通解：,（1）欠阻尼振动,令,A与由初始条件确定,方程的解可写成,3.三种阻尼形式,这时是准周期性振动:,.,由通解,两项都衰减，不是周期振动，不能往复运动。,如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。,（2）过阻尼振动,（3）临界阻尼振动,方程解,衰减函数,.,临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。,三种阻尼振动比较,欠阻尼,过阻尼,临界阻尼,.,弹性力,阻尼力,驱动力,二、受迫振动（forcedvibration）,物体在周期性外力持续作用下发生振动，称为受迫振动，这个外力称为驱动力,以弹簧振子为例，振子受力有,则运动方程是,.,式中,受迫振动方程的解为,此式表明：,第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。,第二项为驱动力产生的简谐运动。,当系统达到稳定状态后，方程的解是,.,稳定的受迫振动是一个与驱动力同频率的余弦振动，其振幅和初相是,.,二、共振（resonance）,当驱动力频率接近或等于系统固有频率时，受迫振动振幅急剧达到最大值的现象称为共振，其频率称为共振频率。,由表达式,利用关系,.,共振频率与系统自身性质和阻尼常数有关。,相应的最大振幅和共振频率是,共振危害；,共振利用。,.,证明：在小角度下单摆作简谐运动。,证明:,1、细线质量不计,3、阻力不计,质点重力矩：,质点动量矩：,由动量矩定理,.,方程的解是：,其中，单摆的周期是,.,1.、的确定：,2.(结合周期T,结合旋转矢量法)：,3.振动方程：,4.振动合成：,5.振动能量：,.,一水平弹簧振子做简谐振动，振幅A=410-2m，周期T=2s，t=0时，,试分别写出这两种情况下的振动方程。,解：1由初始条件,1，且向负方向运动；,2，且向正方向运动；,.,2同理：,说明：利用旋转矢量法可以更方便求解初始相位。,v00,A/2,-A/2,如图：,.,已知一简谐振动曲线,求振动方程.,解:由图可知,t=5,x=0:,.,一质点作简谐振动，其振动方程（SI），试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t=0的状态）运动到x=-0.12，0的状态所需最短时间t。,解:由振动方程可知,.,一质点沿x轴作简谐振动，其圆频率，试写出以下初始状态下的振动方程：其初始位移，初始速度,解：设振动方程为：,.,位移是振幅一半时,动能和势能各是总能量的多少?在什么位置动能和势能各是总能量的一半?,解：（1）x=A/2代入中,（2）,.,弹簧振子沿x轴做简谐振动，其振动的最大位移xm=0.3m，最大恢复Fm=1.2N，最大速度m=1.2ms-1。t=0时刻的初位移是,且方向同x轴正方向一致。,求:1振动能量;2振动方程.,解:1,.,2由初始条件,一弹簧振子沿x轴做简谐振动，已知其振动的最大位移xm=0.3m，最大恢复力Fm=1.2N，最大速度m=1.2ms-1.当t=0时的初位移,且方向同x轴正方向一致.求:1振动能量;2振动方程.,.,求：全振动表达式。,一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，其方程分别为：（SI）,解：直接考察两个振动位相差：,.,一质点在x轴做谐振动，周期为T，当质点从A/2处运动到A处时经历的最短时间为A（A）T/12（B）T/6（C）T/8（D）T/24,解：,x,.,一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为(SI)，从t=0时刻起，到质点位置在x=-2cm处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为Cs。（A）1/8（B）1/4（C）1/2（D）1/6,解：,.,一质点同时参与两个在同一直线上的谐振动，其振动方程分别为，cm，则关于合振动有结论B。（A）振幅等于1cm，初相等于；（B