设不同的英文字母代表不同的阿拉伯数字.doc

數5設不同的英文字母代表不同的阿拉伯數字，那麼下列以英文寫的的數字謎實際上代表什麼算式呢？ 例題1. 已知民國93年7月1日是星期四，試問民國93年的國慶日是星期幾？解：我們知道7月8日、7月15日都是星期四，也就是每隔7天都是星期四，又因為7月、8月各有31日，9月有30日，所以從7月2日到10月10日，共有日。101除以7的餘數是3，故由7月1日和10月10日的前三日(即10月7日)都是星期四，所以10月10日是星期日。1. 將自然數依照下列規則排列，試問200位於哪一種顏色底下？紅橙黃綠藍靛紫123456713121110981415161718192524232221202627如果的餘數是0，就說整除，記作。此時，是整數，我們稱是的因數（Factor或Divisor），也稱是的倍數（Multiple）。例如：，所以30是6的倍數，6是30的因數，記作。又由知也是30的因數，或由知6也是的因數，故記作和。基於以上的觀察，我們只要研究正整數的正因數就可以清楚整數的所有正、負因數的情形了。所以除非特別說明，否則我們只考慮正整數的正因數與正倍數問題。另外，我們規定0不是任何整數的因數。由因數、倍數的定義，可以立刻推得下面的事實：設、是整數且，則有(1)若 且 則 ；(2)，即0是非零整數的倍數；(3) 且 ，即1與 都是 的因數。例題3. 設、是整數且，試證下列重要的結論：若，且、是任意整數，則 。證明：由與知且，其中與都是整數。於是因為是整數，所以。類題演練3. 設、都是不為0的整數。試證：(1)若且，則；(2)若且，則。以下是關於判斷一個整數是否為3 或9的倍數的原理。例題5. 設是五位數，試證：(1)，(2)。證明：故，由此可知 且 。類題演練5. 設是五位數，試證。提示：，。 若不是質數，那麼就稱為合成數（Composite number），例如：4，6，8，9，。在此定義下，我們注意到：1既不是質數，也不是合成數！設是大於1的整數。若不是質數，則一定可以寫成，其中，也是大於1的整數。如果（或）不是質數，又可繼續分解，例如：其中質數2與3都是12的因數，我們稱2與3是12的質因數（Prime factor）。因此每個大於1的整數都可以分解成它的質因數的連乘積，這就是算術基本定理。算術基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）設是一個大於1的整數。若是的所有相異的質因數，則一定可以唯一的表示成下列的形式：其中，都是正整數。這個式子又稱為的標準分解式。例題6. 試將120寫成它的質因數的連乘積。解：。數個世紀以來，數學家一直致力於研究質數。因為每個整數都可分解成它的質因數的乘積，所以質數可以被視為構成整數的基本分子。我們該如何判斷一個整數，譬如說，791是不是質數呢？讓我們反向來思考一下：如果791是合成數，那麼791一定可寫成兩個大於1的整數之乘積其中且。這裡的與一定有或。假設，那麼，因而的任一個質因數（當然也是791的質因數）也滿足。所以，若791是合成數，則一定有質因數滿足。換句話說，如果所有滿足的質數都不是791的因數的話，那麼791就不是合成數了！因為，所以要判斷791是不是質數，只要檢驗小於29的正質數2，3，5，7，11，13，17，19，23是不是791的質因數就行了。顯然，791不是2，3，5的倍數。接下來檢驗7，發現，所以791不是質數。現在想想113是不是質數？我們知道，所以只要檢驗2、3、5、7看看是不是113的因數就行了，顯然2、3、5都不是113的因數，而以7除113又不能整除；由此可知113是質數，而且791的質因數分解為。一般來說，給定正整數後，先找一個比大一點的完全平方數，若所有小於的質數都不是的因數的話，那麼一定是質數。B.最大公因數與輾轉相除法某會議廳長12公尺，寬10公尺，如果它的地板要舖正方形磁磚而且希望舖大塊的看起來比較大方，那麼可以使用的方形磁磚的最大邊長是多少公尺呢？ 顯然是12的因數，也是10的因數，即是12與10的公（共的）因數。那麼最大的方形磁磚的邊長就是12與10的公因數中最大的那個數。一般來說，若正整數是整數與的所有公因數中最大的數，我們就稱為與的最大公因數（Greatest common divisor），簡稱gcd，記作。例如：。比較特別的，當時，我們說與互質（Relatively prime）。例如， 所以3與4互質。相信很多同學都看過中國農民曆。農民曆是以天干（甲乙丙丁戊己庚辛壬癸）、地支（子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥）相配，由甲子開始循環記年。民國九六：（2007）丁亥民國九五：（2006）丙戌民國九四：（2005）乙酉民國九三：（2004）甲申民國九二：（2003）癸未民國九一：（2002）壬午民國九十：（2001）辛巳民國八九：（2000）庚辰民國八八：（1999）己卯民國八七：（1998）戊寅民國八六：（1997）丁丑民國八五：（1996）丙子民國八四：（1995）乙亥民國八三：（1994）甲戌民國八二：（1993）癸酉民國八一：（1992）壬申民國八十：（1991）辛未民國七九：（1990）庚午民國七八：（1989）己巳民國七七：（1988）戊辰民國七六：（1987）丁卯民國七五：（1986）丙寅民國七四：（1985）乙丑民國七三：（1984）甲子豬狗雞猴羊蛇馬羊蛇龍兔虎牛鼠豬狗雞猴羊蛇馬羊蛇龍兔虎牛鼠已知民國九十四年歲次乙酉，那麼下一個乙酉年是民國多少年呢？除了如上一一列出後才能得知答案外，若先計算出十天干與十二地支相配循環一周需六十年，那麼答案豈不呼之即出了？，民國一百五十四年是下一個乙酉年。因為循環一周是六十年，故俗稱六十年為一甲子。試想一想，60是怎麼算出來的？因為十天干循環一周需十年，而十二地支循環一周需十二年，二者相配，若循環一周需年的話，則一定是10與12的倍數；也就是說，是10與12的公（共的）倍數。而是循環一周所需年數，所以是這些公倍數中最小的那個數，即。一般來說，若正整數是整數與的所有正公倍數中最小的數，我們就稱為與的最小公倍數（Least common multiple）簡稱lcm，記作。例如：。一般來說，正整數，的gcd與lcm為，。例題7. 試求：(1)及，(2)及。解：(1)由知104與260的公因數都可寫成下列形式：其中；所以 (104,260)。又104與260的公倍數都可寫成下列形式：其中，所以。(2)，若，則知 ，其中與是兩個互質的正整數。由此不難看出因此。即兩個正整數的gcd與lcm的乘積正是這兩數之積：。例題8. 試找出所有可能的正整數與使得且。解：由知，其中與為互質的正整數。再由知。故且與互質。這種解有四組：(1)，；(2)，；(3)，及(4)，。對應的，就有(1)，；(2)，；(3)，及(4)，。我們已經知道：如果能求出與的質因數分解式，那麼就不難得到；但有些時候，想分解或為質因數乘積並不容易。例如：求時，想找出它們的質因數就很費力了；這時，我們可以利用輾轉相除法來求。輾轉相除法又稱為歐幾里德算法（Euclidean Algorithm），是整數論中最重要的成就之一。歐幾里德（Euclid of Alexandria , 365BC300BC）在幾何原本中提出利用反覆（輾轉）相除的方法來計算兩個整數的最大公因數。它的原理如下：設，為正整數且(一)相除：其中或。當時，；顯然。當時，告訴我們哪些關於的訊息呢？(1)如果是與的公因數，那麼且。利用例題4的結果得，即；顯然也是與的公因數。(2)又若是與的公因數，那麼由且知，即；也就是說也是與的公因數。綜合(1)，(2)的觀察可知：與的公因數就是與的公因數；反過來說與的公因數也是與的公因數。故。 請注意：這裡且。(二)輾轉：若，則再以來除，設，由前面的討論知 這裡。因此，反覆利用除法可以逐步將除數變小，餘數自然隨之變小，直到餘數等於0為止。 這裡 但 ，則。輾轉相除法（Euclidean Algorithm）設，為正整數且。若其中，則；反覆利用除法，逐步將除數變小直至餘數等於0為止，則最後的除數便是。現在我們以，為例說明如何以輾轉相除法求。因此 。若將上述橫式步驟由下往上逆推，可得 利用 利用利用，其中，一般來說，對於正整數，利用輾轉相除法必可找到一組整數與使得。例題9. 試用輾轉相除法求，進而再求。解：因為所以。由除法可知，由於31是6913與5270的，因此223與170一定互質；所以。整數的正因數有幾個？我們先看看72的正因數有哪些？因為，所以令，那麼從中任取一個數，從中任取一個數，就對應到72的一個正因數：01230123012300001111222212483612249183672所以72的正因數共有個圖1-5一般來說，設的標準分解式為其中是相異質數，是正整數。則的正因數的個數等於。習題1-2基礎題1.試列出所有180的正因數。2.下列何者為質數？(A)149(B)197(C)299(D)337。3.試將333333分解為質因數的連乘積。4.設且，則？5.以5除得商數餘數3，以5除得