第4章 线性方程组

.,4.1消元法4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法4.3线性方程组的公式解4.4结式和判别式,线性方程组第四章,.,4.1消元法,线性方程组的一般形式,线性方程组的初等变换,矩阵、矩阵的初等变换、系数矩阵与增广矩阵,用消元法解线性方程组,一.线性方程组的一般形式,(m个方程n个未知数(m,n0),解线性方程组的例子（例1）,线性方程组的三种初等变换：,交换两个方程的位置；,2.用一个不为零的数乘以某一方程；,3.用一个数乘以某一个方程后加到另一个方程。,定理4.1.1初等变换把一个线性方程组变为另一个与,它同解的线性方程组。,二.线性方程组的初等变换,三.矩阵、矩阵的初等变换、系数矩阵与增广矩阵,系数,常数项,系数矩阵,增广矩阵,线性方程组的系数与常数项,表），叫做一个s行t列的矩阵，叫这个矩阵的元素。,1.矩阵的定义,定义1由st个数排成的一个s行t列的表（下,矩阵的表示：A，B，C，.、等,2.矩阵初等变换,定义2：矩阵的三种行(列)初等变换指的是对一个矩阵,施行的下列变换：,交换矩阵的两行(列)；,2.用一个不为零的数乘；,3.用一个数乘矩阵的某一行(列)后加到另一行(列)。,几个问题：,1.初等变换能把矩阵化为什么形式？,2.如何用矩阵的初等变换法解线性方程组？,3.线性方程组的解有哪几种情况？,四.用消元法解线性方程组,定理4.1.2设A是一个m行n列的矩阵,通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式,进而化为以下形式：,这里r0，rm，rn。,消元法及线性方程组解的三种情况,（A,）可以化为（常数项列不前移）,由定理4.1.2知线性方程组的一般形式的增广矩阵,相应的线性方程组为,相应的线性方程组为,由上页方程组可以看出：,情形1：当rm，而不全为零时，方程组无解。,情形2：当r=m或rm而全为零时，方程组有,解。此时，原方程组与方程组(1)同解。,1.当r=n时，方程组有唯一解,i=1,2,n。,2.当rn时，方程组有无穷多解，称为一般解(2)，其中,称为自由未知量，对其任意取一组值代入方程组(2)都,能得到方程组(2)也是原方程组的一个特殊的解。,消元法解线性方程组的步骤：,1.写出增广矩阵；,2.做行初等变换，化为行最简形。,具体解线性方程组时，一般不交换其增广矩阵的,3.判断解的情况，有解的给出其唯一解或一般解。,此方法以及阶梯形矩阵和行最简型矩阵参见例2，例3题,列，定理中其所以这样做，是为了使结果容易叙述，有关,.,4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法,矩阵的秩,线性方程组可解的判别法,上一节解线性方程组（1）时的几个问题：,1.把（1）的系数矩阵（2）化为矩阵,（3）时，r与（2）究竟有什么关系？,它是否依赖于所做的初等变换？因为,一般来说不同的初等变换把（2）化为,不同的形如（3）的矩阵。,2.线性方程组（1）有解时，它的系数应,满足什么条件？,3.线性方程组（1）有没有公式解？,k阶子式矩阵的秩,定义1在一个m行n列的矩阵中任意取k行k列（km,kn）。位于这些行列交点处的元素所构成的k阶行列式叫做,这个矩阵的一个k阶子式,定义2一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个,矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵,矩阵的秩为零。,矩阵A的秩表示为：秩A或R(A)。(rank),几个问题：,1.矩阵的秩的范围？（r0，rm，rn）,2.若矩阵的秩为r，则有没有一个r+1（或r-1）阶的不,为零的子式？有没有可能所有的r-1阶子式都等于零？,3.讨论用定义求一般矩阵的秩的可行性？,初等变换与矩阵的秩,定理4.2.1初等变换不改变矩阵的秩。,此定理使矩阵求秩问题变得简单，我们先把想要求秩的矩阵,化为阶梯形，它的秩就等于不全为零的行的行数。,看下列阶梯形矩阵,它有一个3阶子式不等于零，4阶子式全为零，故秩是3。,线性方程组可解的判别法解的个数,定理4.2.2（线性方程组可解的判别法）线性方程组,（1）有解的充分必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同,的秩。,定理4.2.3设线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵有相同,的秩r，那么当r等于方程组所含未知量的个数n时，方程组,有唯一解；当rn时，方程组有无穷多解。,.,4.3线性方程组的公式解,线性方程组的公式解,齐次线性方程组及其有关结论,m个方程可以归结为r个方程,线性方程组（1）的公式解就是由它的系数和常数项表示,而用初等变换化简方程组时，系数和常数项都发生了变化，,因而此方法不能得到公式解。,同样，若方程组（1）的m个方程（设为）,中某一个方程是其他t个方程（不妨设为)的,结果，即存在t个数使,则方程组（1）舍去所得方程组与（1）同解。,定理4.3.1设方程组（1）有解，它的系数矩阵A和增广矩阵,的秩都为r0。那么可以在（1）的m个方程中选出r个方程，,使得剩下的m-r个方程中的每一个都是这r个方程的结果，因而,解方程组（1）可以归结为解由这r个方程所组成的线性方程组。,线性方程组的公式解,左上角的r阶子式不为零（线性方程组（1）。则线性方程组,（1）与线性方程组（2）同解。把当成未知量，,把当成常数，将其写成下列形式：,方程组（2）适合克拉默规则的条件，所以有公式解。,在公式解中，为自由未知量。,齐次线性方程组,定义若线性方程组的常数项都等于零，则此方程组叫做,齐次线性方程组。,齐次线性方程组系数矩阵与增广矩阵的一定相等，所以,它一定有解，至少有零解（）若还有其他解，,则称为非零解。,齐次线性方程组的有关结论,定理4.3.2齐次线性方程组有非零解的充分必要条件,是：其系数矩阵的秩r小于未知量的个数n。,推论4.3.3含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有,非零解的充分必要条件是：方程组的系数行列式等于零。,推论4.3.4若齐次线性方程组中，方程的个数小于未知量,的个数，那么这个方程组一定有非零解。,注：以上讨论的是求线性方程组的精确解的理论和方法，,在实际问题中常常只需求近似解，它还有相应的另一套方法，,参阅有关计算数学的书。,.,4.4结式和判别式,关于结式和判别式的几个定理,定理4.4.1如果