思科数学第6讲函数的奇偶性.doc

第6讲函数的奇偶性基础梳理1奇、偶函数的概念一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数如果对于任意的xA都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称2函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反(2)在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数(3)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)(4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0.f(0)0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)其中包含两个必备条件：定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立双基自测1(2011镇江调研)若函数f(x)(xa)3x2a2(xa)38x3a为偶函数，则所有实数a的取值构成的集合为_解析由f(x)f(x)，得(xa)3x2a2(xa)38x3a(xa)3x2a2(xa)38x3a所以从而a23a100，解得a5或a2.答案5,22(2011南通调研)对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：若f(2)f(2)，则f(x)是偶函数；若f(2)f(2)，则f(x)不是偶函数；若f(2)f(2)，则f(x)一定不是奇函数其中正确命题的序号为_答案3(2011泰州学情调查)若f(x)是偶函数，且当x0，)时，f(x)x1，则f(x1)0的解集是_解析如图所示，由f(x1)0，得1x11，解得0x2.答案x|0x24(2011泰州学情调查)已知周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的最小正周期为3，f(1)2，f(2)m，则m的取值范围为_解析因为f(x3)f(x)，f(x)f(x)，所以mf(2)f(1)f(1)2.答案(2，)5(2011盐城检测)设f(x)是定义在(1,1)上的偶函数，在(0,1)上增，若f(a2)f(4a2)0，则a的取值范围为_解析由f(a2)f(4a2)，得f(|a2|)f(|4a2|)，由题意，得0|a2|4a2|1，解得a且a2.答案(，2)(2，)考向一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).审题视点 先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，再由奇、偶函数的定义判断解(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得1x1.f(x)的定义域1,1)不关于原点对称，f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数 首先考虑定义域是否关于原点对称，再根据f(x)f(x)判断，有时需要先将函数进行化简(如例1，(3)【训练1】 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x2|x|1，x1,4；(2)f(x)log2(x)解(1)f(x)的定义域1,4不关于原点对称，f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)函数f(x)的定义域为R.f(x)log2(x)log2log2(x)1log2(x)f(x)f(x)为奇函数考向二函数的奇偶性与单调性【例2】(1)已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2x1，求f(x)的解析式；(2)设a0，f(x)是R上的偶函数，求实数a的值；(3)已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0内递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围审题视点 (1)f(x)是一个分段函数，当x0时，转化为f(x)f(x)(2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如f(1)f(1)，再验证(3)可考虑f(x)在2,2上的单调性解(1)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，当x0时，x0，由已知f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)f(x)x2x1.f(x)(2)法一f(x)是R上的偶函数，f(x)f(x)在R上恒成立即，(a21)(e2x1)0，对任意的x恒成立，解得a1.法二f(x)是R上的偶函数，f(1)f(1)，ae，e(a)0，(e21)0，a0.又a0，a1.经验证当a1时，有f(x)f(x)a1.(3)f(x)的定义域为2,2，有解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，在2,2上递减，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.综合，可知1m1.所以m的取值范围是1,1) (1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反【训练2】 已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是_解析f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上递增，f(2x1)f|2x1|x.答案考向三函数的奇偶性与周期性【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 011)审题视点 (1)根据周期函数的定义证明；(2)由函数的周期性与奇偶性综合解题；(3)函数周期性的应用(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0，f(0)f(1)f(2)f(2 011)0. 判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是近年高考考查的重点问题【训练3】 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为_解析由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)是以T4的周期函数，所以f(6)f(2)f(0)0.答案0难点突破4函数奇偶性的判定方法函数奇偶性问题在高考至多考一道填空题，且可能与函数单调性和周期性进行有机融合，判断函数奇偶性，除要用好定义，灵活运用奇偶函数性质会大大方便解题思维过程一、奇偶函数运算性质及其应用【示例】 (2011广东卷改编)设函数f(x)和g(x)