自动控制课程设计——超前校正(理工版).doc

学学 号：号：Xxxxxxxxxxx 课课 程程 设设 计计 题题 目目控制系统的超前校正设计 学学 院院自动化学院 专专 业业自动化专业 班班 级级Xxxxxxxxxxx 姓姓 名名Xxxxxxxxxxx 指导教师指导教师Xxxxxxxxxxx 2011 年12 月31日 课程设计任务书课程设计任务书 学生姓名：学生姓名： XxxxxxxxxxxXxxxxxxxxxx 专业班级：专业班级： Xxxxxxxxxxx 指导教师：指导教师： Xxxxxxxxxxx 工作单位：工作单位： 自动化学院 题题 目目: : 用 MATLAB 进行控制系统的超前校正设计。 初始条件：初始条件：已知一单位反馈系统的开环传递函数是 )5 . 01)(05 . 0 1 ( )( sss K sG 要求系统跟随 2r/min 的斜坡输入产生的最大稳态误差为 2，。 45 要求完成的主要任务要求完成的主要任务: : （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要 求） 1、用 MATLAB 作出满足初始条件的最小 K 值的系统伯德图，计算系统的幅值裕量和 相位裕量。 2、在系统前向通路中插入一相位超前校正，确定校正网络的传递函数。 3、用 MATLAB 画出未校正和已校正系统的根轨迹。 4、课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过程，列出 MATLAB 程序和 MATLAB 输出。 说明书的格式按照教务处标准书写。 时间安排：时间安排： 任务时间（天） 审题、查阅相关资料 1.5 分析、计算 2.5 编写程序 2.5 撰写报告 1 论文答辩 0.5 指导教师签名：指导教师签名： 年年 月月 日日 系主任（或责任教师）签名：系主任（或责任教师）签名： 年年 月月 日日 目 录 摘 要 .1 控制系统的超前校正设计 .2 1. 超前校正的原理介绍 .2 1.1. 校正简介 .2 1.2. 超前校正及其特性 .2 1.3. 系统参数设计步骤 .4 2. 控制系统的超前校正设计 .5 2.1. 控制系统的任务要求.5 2.2. 校正前系统分析.5 2.3. 校正系统的设计与分析.7 2.4. 校正前后系统比较.7 3. 手工绘制根轨迹和伯德图步骤 .7 3.1. 手工绘制根轨迹的步骤.7 3.2. 手工绘制伯德图的步骤.7 结束语 .7 参考文献 .7 理工自动控制原理课程设计说明书 1 )5 . 01)(05. 01 ( )( sss K sG 摘摘 要要 自动控制技术在工业，农业，教育，航天，生物，医学，环境等方面发挥着重要作 用，极大地提高了社会劳动生产率，改善劳动条件，丰富和提高了人民的生活水平。而 完成一个控制系统的设计任务，需要根据被控对象及给定的技术指标要求进行大量的分 析计算，而且要经过理论和实践的反复比较才可以得到比较合理的结构形式和满意的性 能。在线性控制系统中，常用的校正装置设计方法有分析法和综合法。目前，前者在物 理上易于实现，而且比较直观，故工程技术多采用分析法进行系统设计。由于在用分析 法进行串联校正时，校正环节的结构通常采用超前校正、滞后校正、滞后超前校正这三 种类型。 此次自动控制原理的课程设计采用的超前校正的基本原理是利用超前相角补偿 系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相角裕度，提高系统稳定性能等。由于 计算机技术的发展，MATLAB 软件在控制器设计，仿真和分析方面得到广泛应用，故此次 课程设计要求采用 MATLAB 软件对系统进行了计算机仿真，分析未校正系统的动态性能和 超前校正后系统是否满足相应动态性能要求。使校正前开环 传递函数为 的系统在跟随 2r/min 的斜坡输入产生的最大稳态误差为 2， 45。 理工自动控制原理课程设计说明书 2 C RR RR T 21 21 1 2 21 R RR a 1 1 Ts aTs saGc 控制系统的超前校正设计 1. 超前校正的原理介绍 1.1. 校正简介 所谓校正就是在系统不可变部分的基础上，加入适当的校正元部件，使系统满足所 给定的性能指标。校正环节的形式及其在系统中的位置称为校正方案。校正方式一般有 串联校正、反馈校正、复合校正以及前馈校正。在控制系统设计中，常用的校正方式为 串联校正和反馈校正两种，选用哪种校正方式取决于系统中的信号性质、技术实现的方 便性、可供选择的元器件、抗扰性要求、经济性要求以及环境使用条件。一般来说，串 联校正设计比反馈校正设计简单，也比较容易对信号进行各种必要形式的变换。本次课 程设计就是用的串联校正中的超前校正。 1.2. 超前校正及其特性 超前校正就是在前向通道中串联传递函数为: （1-1） 其中： （1-2） （1-3） 通常 a 为分度系数,T 叫时间常数,由式(1-1)可知,采用无源超前网络进行串联校正 时,整个系统的开环增益要下降 a 倍,因此需要提高放大器增益交易补偿. 如果对无源超 前网络传递函数的衰减由放大器增益所补偿，则 （1-4） 上式（1-4）称为超前校正装置的传递函数。 1 11 Gc Ts aTs asR sC s 理工自动控制原理课程设计说明书 3 而无源超前校正网络的对数频率特性如图 1-1。 图 1-1 无源超前校正网络的对数频率特性 超前校正 RC 网络图如图 1-2。 图 1-2 超前校正 RC 电路图 显然，超前校正对频率在 1/aT 和 1/T 之间的输入信号有微分作用，在该频率范围内， 输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。因此超前校正的基本原 理就是利用超前相角补偿系统的滞后相角，改善系统的动态性能，如增加相位裕度，提 高系统的稳定性等。 下面先求取超前校正的最大超前相角 m 及取得最大超前相角的频率 m ， 则像频特性： （1-5） 当 则有： (1-6) Ta m 1 （1-7） 22 1 T1 d T T a aT d c TaTarctanarctan c d c d 理工自动控制原理课程设计说明书 4 1 1 arcsin 2 1 arctan 1 1 1 arctan a a a a a a a a 从而有： a a Ta T Ta aT 1 arctanarctan 1 arctan 1 arctan m = （1-8） 即当 Ta m 1 时，超前相角最大为 1 1 arcsin m a a ，可以看出 m 只与 a 有关这一点对 于超前校正是相当重要的 。 1.3. 系统参数设计步骤 （1） 根据给定的系统性能指标，确定开环增益 K。 （2） 利用已确定的开环增益 K 绘制未校正系统的伯德图,在这里使用 MATLAB 软件来绘 制伯德图显得很方便,而且准确。 （3） 在伯德图上量取未校正系统的相位裕度和幅值裕度，在这里可以利用 MATLAB 软件 的 margin 函数很快计算出系统的相角裕度和幅值裕度并绘制出伯德图。然后计算为使相 位裕度达到给定的指标所需补偿的超前相角 00 其中为给定的相位裕度指标， 0 为未校正系统的相位裕度， 0为附加的角度。 （当剪切率为-20dB 时，0可取 5-10， 剪切率为-40dB 时， 0可取 10-15，剪切率为-60dB 时，0可取 15-20。 ） （4） 取，即所需补偿的相角由超前校正装置来提供，从而求出 m m sin-1 sin1 a 求 m 出 a。 （5） 取未校正系统的幅值为-10lga(dB)时的频率作为校正后系统的截止频率 c 。为使 超前校正装置的最大超前相角出现在校正后系统的截止频率上，即 。c （6） 由 Ta 1 m 计算出参数 T，并写出超前校正传递函数。 （7）检验指标：绘制系统校正后的伯德图，检验是否满足给定的性能指标。当系统仍不 能满足要求时增大值，从步骤 3 开始重新计算设计参数啊 a 和 T。 c m 理工自动控制原理课程设计说明书 5 2. 控制系统的超前校正设计 2.1. 控制系统的任务要求 已知一单位反馈系统的开环传递函数是 )5 . 01)(05 . 0 1 ( )( sss K sG 要求系统跟随 2r/min 的斜坡输入产生的最大稳态误差为 2，。 45 2.2. 校正前系统分析 系统由于要求要求系统跟随 2r/min 的斜坡输入产生的最大稳态误差为 2，所以： s rad 12 60 3602 R ss e 0 2 K R 故可以取 K=6。故待校正的系统的开环传递函数为： s5 . 01s05 . 0 1s 6 sG ss55 . 0 s025 . 0 6 23 可以用 MATLAB 画出该最小相位系统的伯德图。程序如下： num=6; den=0.025 0.55 1 0; bode(num,den); Grid 从而得到未校正系统的伯德图，如图 2-1。 利用软件 MATLAB 中的 margin 函数又可以很方便的地得出系统未校正的相角裕度 和幅值裕度。程序如下： num=6; den=0.025 0.55 1 0; margin(num,den); 从而得到图 2-2，从中可以知道系统的的幅值裕度和相角裕度。 理工自动控制原理课程设计说明书 6 图 2-1 校正前系统的伯德图 图 2-2 校正前系统的相角裕度和幅值裕度 理工自动控制原理课程设计说明书 7 从图 2-2 中，得知系统未校正前： 相角裕度 r =23.3 穿越频率 wg =6.32 截止频率 wc =3.17 也可以利用 allmargin 函数直接得出所有结果，程序如下： num=6; den=0.025 0.55 1 0; f=tf(num,den) S= allmargin(f) 运行得到结果如下： Transfer function: 6 - 0.025 s3 + 0.55 s2 + s S = GainMargin: 3.6667 GMFrequency: 6.3246 PhaseMargin: 23.2920 PMFrequency: 3.1654 DelayMargin: 0.1284 DMFrequency: 3.1654 Stable: 1 与图 2-2 所得结果相一致。 显然 0 45，与题目要求不相符，需进行超前校正。 再将未校正系统的根轨迹图绘制出，MATLAB 程序如下： num=6; den=0.025 0.55 1 0; rlocus(num,den) grid 得到未校正系统的根轨迹图，如图 2-3 所示： 理工自动控制原理课程设计说明书 8 图 2-3 未校正系统的根轨迹图 2.3. 校正系统的设计与分析 由于给定的相位裕度指标为 0 45，未校正系统的相位裕度为 0 0 3 . 23，不妨设附加 角度为 =15.3，则： 0 0 37- 取，从而求出 m m sin-1 sin1 a 求出 a： m 4 sin1 sin1 a m m 设校正后的截至频率 c=m则： lga10-17.3lg-lg40 m ）（ 48.4 m rad/s 112 . 0 48 . 4 2 1 a 1 T m s 理工自动控制原理课程设计说明书 9 s112 . 0 1 s448. 01 1 1 Ts aTs saGc 0.5s)0.05s)(1s)(1112 . 0 1 ( s)448. 01 (6 )(s)G s sGc ssss 234 662 . 0 0866 . 0 0028 . 0 2.688s6 所以可得超前网络传递函数为： 为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需要提高 4 倍，否则不能保 证稳态误差要求 加入校正环节之后的传递函数为： 在计算参数、确定开环传递函数之后，还必须使用其它的方法来进行检验，看所加 的校正装置参数选择是否符合题意，满足要求。 在这里利用 MATLAB 绘图来进行验证，用 MATLAB 计算校正后的相角裕度和幅值 裕度，程序如下： num1=2.688 6; den1=0.0028 0.0866 0.662 1 0 margin(num1,den1) 得到如图 2-4 所示能计算相角裕度和幅值裕度的伯德图，校正后相角裕度 0 6 .46 0 45，截止频率为：4.71rad/s。 再利用 allmargin 函数直接得出所有结果，程序如下： num1=2.688 6; den1=0.0028 0.0866 0.662 1 0 f=tf(num1,den1) S= allmargin(f) 得到的结果如下： S = GainMargin: 5.1697 GMFrequency: 13.1152 PhaseMargin: 46.5623 PMFrequency: 4.7132 DelayMargin: 0.1724 DMFrequency: 4.7132 与图 2-4 所得的校正后的相角裕度 0 6 .46 0 45，截止频率为：4.71rad/s 相一致，并满足 题目要求。 理工自动控制原理课程设计说明书 10 图 2-4 校正后系统的相角裕度和幅值裕度 用 MATLAB 画出校正以后系统的伯德图， 程序分别如下： num1=2.688 6; den1=0.0028 0.086 0.662 1 0; bode(num1,den1)； grid 得到校正后系统的伯德图 2-5。 用 MATLAB 画出校正以后系统的根轨迹， 程序分别如下： num2=2.688 6; den2=0.0028 0.086 0.662 1 0; rlocus(num2,den2) ； grid 如下图，得到校正后系统的根轨迹图 2-6。 理工自动控制原理课程设计说明书 11 图 2-5 校正后系统的伯德图 图 2-6 校正后系统的根轨迹图 理工自动控制原理课程设计说明书 12 2.4. 校正前后系统比较 运用 MATLAB 软件作系统校正前后的单位冲击响应曲线比较，程序如下： num1=6; den1=0.025,0.55,1,0; num2=2.526,6; den2=0.0028,0.086,0.662,1,0; t=0:0.02:5; numc1,denc1=cloop(num1,den1); y1=step(numc1,denc1,t); numc2,denc2=cloop(num2,den2); y2=step(numc2,denc2,t); plot(t,y1,y2); grid ; title(校正前后阶跃响应对比图); xlabel(t(sec); ylabel(c(t); gtext(校正前); gtext(校正后); 图2-7 校正前后阶跃响应对比图 理工自动控制原理课程设计说明书 13 得到校正前后阶跃响应对比图，如图 2-7 所示： 由上图可以看出在校正后： a 加入校正装置系统的超调量明显减少了，阻尼比增大，动态性能得到改善。 b 校正后系统的调节时间大大减少，大大提升了系统的响应速度。 c 校正后系统的上升时间减小很多，从而提升了系统的响应速度。 因此，串入超前校正装置后，系统的超调量，调节时间都显著下降，系统的动态性 能得到很大的改善。 比较校正前后伯德图 2-1 和 2-5，可以得知系统经串联校正后，中频区的斜率变为- 20dB/dec，并占据频带范围也一定程度地变大了，从而使的系统的相角裕度增大，动态过 程的超调量下降。因此，在实际运行中的控制系统中，其中频区斜率大多具有-20dB/dec 的斜率，由此可见，串联超前校正可使开环系统的截止频率增大，从而闭环系统的带宽 也增大，使响应速度加快。 理工自动控制原理课程设计说明书 14 mn zp m j j n i i 11 a n ij pjpi j zjpi 1 m 1 pi 1k2 n j pjpi ij zjpi 1 m 1 zi 1k2 3.手工绘制根轨迹和伯德图步骤 3.1.手工绘制根轨迹的步骤 在手工绘制根轨迹的过程中，要遵循根轨迹的八个法则，这八个法则也构成了绘制的 步骤，在此以本次课程设计的未校正系统的根轨迹图 2-3 为例说明： （1） 根轨迹的起点和终点； 根轨迹起于开环极点，终于开环零点，本例中起点极点有 p1=0，p2=20 和 p3=2。零点都在无穷远处。 （2） 根轨迹的分支数、对称性和连续性； 根轨迹的分支数等于开环极点数 n（nm） ，或者开环零点数 m（mn） ，根轨迹对称 于实轴，在本例中分支数等于 n=3m=0。 （3） 根轨迹的渐近线； n-m 条根轨迹渐近线与实轴的交角和交点分别为： ，其中（k=0，1，2） 和 可以求出本例中渐近线的交角分别是 60，180，300，交点为（7.33 , 0） ，以 交点为端点，三个交角的角度做三条射线，即为本例的三条渐近线，根轨迹就是沿着渐 近线向无穷远处延伸。 （4） 根轨迹在实轴上的分布； 实轴上某一区域，若其右方的开环实数零、极点个数为奇数，则该区域必是根轨迹 的一部分，如图 2-3 所示，在本例中，实轴上 0 到-2，从-20 到-负无穷远处均是根轨迹。 （5） 根轨迹的分离点和分离角； t 条根轨迹分支相遇，其分离点 d 坐标由 确定， 为 分 离角，在本例中，方程式为 解得 d0.974，分离角为 90和 270 （6） 根轨迹的起始角和终止角； 起始角： 终止角： mn k ) 12( a m 1j n 1i ij p-d 1 z-d 1 t k) 12 ( 0 20 1 2 11 ddd 理工自动控制原理课程设计说明书 15 其中 k=0,1,2,3，本例中因为零点均在无穷远处，所以起始角分别为 180，0和 180 （7） 根轨迹的与虚轴的交点； 根轨迹与虚轴的交点的 K*值与 值，可利用劳斯判据确定。 在本例中求得交点为（0 , j6.15）和（0，-j6.15 ） 。 （8） 根之和； 可以用于检验根轨迹的正确性，判断根轨迹的走向。 3.2.手工绘制伯德图的步骤 对于任意的开环传递函数，可按典型环节分解，将组成系统的各典型环节分为三部分： 1） K/sv或-K/sv（K0）; 2) 一阶环节，包括惯性环节、一阶微分环节以及对应的非最小相位环节，交接频率为 1/T； 3）二阶环节,包括振荡环节、二阶微分环节以及对应的非最小相位环节,交接频率为 n。 记 min为最小的交接频率，称 min为低频段。 开环对数幅频渐近线特性曲线的绘制可以按一下步骤进行，以伯德图 2-1 为例说明： （1）开环传递函数典型环节分解， 可以分解为 6/s，两个一阶 环节： ； （2）确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的 轴 上，在本例中有两个交接频率，分别为：1=2 和 2=20； （3）绘制低频段渐进特性线：开环系统幅频渐进特性的斜率取决于 ，因而直线的 斜率为-20dB/dec。因为本例中的 v=1，故低频渐进特性线的斜率为-20dB/dec。但