第3章方程与函数

.,第三章,第三章,方程与函数,.,一、方程的概念,3.1方程与方程组的概念及分类,定义1等式,称为方程。,其中f与g都是自变数的函数。,称为这个,方程的定义域。,称为方程的未知数。,有n个自,变数的方程称为n元方程。,若,能使,则称,为方程f=g的一个解，解的全体所组,成的集合S称为这个方程的解集。,定义2,显然,.,当,称f=g为恒等方程，记为,当,称f=g为矛盾方程。,定义3,一元方程f(x)=g(x)的解还称为一元方程的根。,二、方程的分类（按解析式分类）,.,三、方程组的概念,定义4,将含有n个未知数,的,联立起来，叫做方程组。,个方程,方程组中的k个方程的定义域的交集M叫做该方程组,的定义域。,若,且同时是上述k个方程的解，,则称,为方程组的一个解。,集合叫做方程组的解集。,方程组所有解的,求方程组解集的过程叫做解方程组。,注：一元整式方程有重根概念。,.,3.2方程与方程组的同解性,解方程的过程实质是方程的同解变形过程,（以一元方程进行讨论）,定义5若方程f1=g1的任何一个解都是方程f2=g2的解，,且方程f2=g2的任何一个解都是方程f1=g1的解，则称这,两个方程同解。,注：,上述两个方程的定义域必须相同。即方程的同,解与定义域有关。,如果上述两个方程是整式方程，则重根次数相同。,两个矛盾方程认为是同解方程。,一、方程与方程组的同解概念,.,定义6若方程f1=g1的任何一个解都是方程f2=g2的解，,那么方程f2=g2是方程f1=g1的结果（或导出方程）。,显然互为结果的两个方程同解。,二、方程（组）同解定理,定理1如果方程f1=g1与方程f2=g2的定义域相同，且,则这两个方程同解。,定理2,且对任意的xM,则,同解。,.,定理3,同解。,则,推论：,令,则,同解。,定理4,方程,的解集S等于,各解集,的并集。,.,在解方程的过程中，除了利用同解变形，还常常采用,导出变形，常用的有,（1）,方程,是方程,的导出方程。,（2）,若,不恒等于0，,则,是,的导出方程。,（3）,方程,是,的导出方程。,（4）,是,的导出方程。,.,经过上述变形，作为原方程的导出方程往往与原方程,不同解，可能会产生一些增根，因此在解方程时尽量采,用同解方程，若不可能进行同解变形，采用导出变形，,这时必须进行验根。,解方程过程中产生增根与失根的原因,（1）定义域的变更导致增根与失根,例由,得,.,例解方程,解：设,则原方程变为,解得,由于,即将原方程变为,新的代数方程时，,定义域缩小（限制,而,正是原方程的解。,.,（2）同解定理应用不当，导致增根与失根,例,得,失去了,原因,.,3.3整式方程,一、一元n次方程的根的有关性质,1、韦达定理,定理1（韦达定理）,若,是一元n次方程,的根，则,.,韦达定理的逆：如果,满足上式，,则,必定是一元n次方程,的n个根。,.,例1已知方程,的三个根分别是,求作一个以,为根的新方程。,例2设a，b，c都是实数，k为给定的正常数，且,（1）试求,的最小值；,（2）试求,的最小值。,.,2、实系数一元n次方程根的性质,定义1,若方程,的系数都是实数，,中的各项,称这样的方程为实系数一元n次方程.,定理2,实系数一元n次方程,的虚根成对出现，,即,是它的k重根，,则,也是它的k重根。,解一元n次方程，,除了按照公式求解和降次这一基本,方法外，,求解的形式。,有时还采用将方程作适当的变换，,使它变为便于,常用的变换方法有以下几种：,.,1、差根变换,方程,定理3,的各个根分别等于方程,的各个根减去k。,例3求一个方程，使它的各根分别等于已知方程,的各根减去2。,.,对于,若要化成不,含有n-1次项的多项式，只要将,代入f(x)中的x,即可。,例4将已知方程,变为三次项,系数为0的方程，并使所求方程的各根与已知方程各根,相差一个常数。,.,2、倍根变换,方程,定理4,的各个根分别等于方程,的各个根的k倍。,推论1,n次方程,的各个根分别是方程,的各个根的k倍。,推论2,把n次方程,的各个根变号，,对应的方程是,.,例5,求一个方程，使它的各个根分别是已知方程,的各根的2倍。,例6已知方程,的四个根中，有,两个根的绝对值相等，符号相反，解这个方程。,.,3、倒根变换,定理5如果方程,没有等于零的根，,那么方程,的各个根分别是方程,的各个根的倒数。,推论3,如果n次方程,的各个根分别是n次方程,的各个根的倒数，,那么,例6已知方程,的三个根的倒数,成等差数列，,解这个方程。,.,例7已知方程,的三个根为,求作一个三次方程，使它的根是,.,二、一元三次方程的解法,一元三次方程的一般形式为,把它的各个根减去,就可化为不含二次项的方程,其中,研究一元三次方程的解法，只需研究(1)这种形式,的方程。,.,设,于是,即,对照(1)有,即,由韦达定理的逆定理，知,是方程,的两个根。解这个方程，得,.,即,且满足,设,是,的任意,一个解，则它的另外两个解为,.,由(4)可得与,相应的v的三个解是,.,因此,的三个解的公式是,.,由,的符号可看出三次方程的根的性质：,1）若,则,都为实数，且,这时方程(1)有一个实根，两个共轭虚根。,.,则,且都为实数，,2）若,这时方程(1)有三个实根，并且其中两个根相等。,.,则,为共轭虚根，,3）若,这时方程(1)有三个不同实根。,.,总之原方程,的解为,例8解三次方程,.,三、倒数方程的解法,定义4在一元整式方程f(x)=0中，如果与首末两端等,距离的项的系数相等或互为相反数，那么这种形式的方,程称为倒数方程。,在倒数方程中，如果a是方程的根，那么,也是方程,的根。,.,倒数方程有四种类型,（1）形如,的方程称为第一种偶次倒数方程。这里,.,定理6,第一种偶次倒数方程可化为一个k次方程。,证：原方程可改写成,因为,所以可用,乘以方程两边，得,设,又,所以,得到的方程是y的k次方程。,将以上各式代入方程,.,例9解方程,因为1和-1的倒数仍然是1和-1，,如果,偶次倒数方程，那么,是第一种,除了一个根（1或-1）或两个根,的倒数仍然是本身,外，其余的根是k对互为倒数的数。,称为第一种奇次倒数方程，它的形式是,.,称为第二种奇次倒数方程，它的形式是,称为第二种偶次倒数方程，它的形式是,例10解方程,例11解方程,.,3.4分式方程、无理方程和超越方程,一、分式方程,均为多项式。,例1解方程：,解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程。,.,例2解方程：,例3解方程：,.,二、无理方程,形如,的方程叫做无理方程，其中,中至少有一个含有根式。,基本方法是化无理方程为整式方程,1）平方法：采用将方程的两边平方的手段，去掉根号；,2）配方法：采用配方的手段及非负数性质，去掉根号；,.,3）共轭根式法：利用共轭根式的性质，去掉根号；,4）换元法：用新变元整体代替根式，去掉根号；,5）不等式排除法：利用不等式排除不是方程的解,的实数，从而确定方程的解。,在解根式方程时，由于要去掉根号，将方程的两边n次方，这样可能产生不适合原方程的根，称为增根。解根式方程时，验根是必不可少的步骤。,.,例4解方程,例5解方程,例6解方程,.,例7解方程,例8解方程,.,例9解方程,例10解方程,.,三、初等超越方程,初等超越方程的求解最终归结为最简超越方程的求解,最简超越方程是指形如f(x)=c，其中f(x)是基本初等,超越函数(指数函数、对数函数、无理数指数的幂函数、,三角函数与反三角函数)，c是常数。解最简超越方程,就是求出一切使基本初等函数的值等于已知常数c的,变数值。,最简超越方程的类型和解分别是：,(1)最简指数方程,当c0时，有唯一的解xlogac。当c0时，无解。,.,(2)最简对数方程,对于任何实数c，有唯一的解,(3)最简幂函数方程,当c0时，有唯一的解,当c0时，无解。,(4)最简三角方程,.,.,(5)最简反三角方程,.,初等超越方程的基本类型有：,(1),这里的f(x)是某一个以x为自变数的基,本初等超越函数,设f(x)=t,是关于t的代数函数，,这样,是一个代数方程。,如果,是,的实根，,那么原方程归结为解k个最简超越,方程,.,(2),这里的,是某一个以x为自变数的,代数函数，,设,则,是某个关于自变数y,的基本初等超越函数，,根据最简超越方程的解，,可求得满足,的y，,于是，解方程,代数方程,归结为解,例10解方程,例11解方程,.,3.5方程组的解法,一、多元二次和高次方程组,例12解方程组：,（其中a,b,c互不相等）,.,例13解方程组：,例14解方程组：,.,例15解方程组：,的正数解。,例16解方程,.,例17在实数集内解方程组,.,3.7初等函数性质的判定,一、初等函数,1、反函数,定义1设函数,y=f(x)，,如果对,使得y=f(x)成立，,这样就确定了一个定义在,上的函数x=f(y)，,称它为y=f(x)的反函数，,记为,注：1）习惯上总是用x表示自变量，即将y=f(x)的反函数,改写为,2）y=f(x)与,.,3）在同一个坐标系中，,y=f(x)与,定义2,2复合函数,设函数,如果,就确定了定义在,称它为,.,例1设函数,.,3初等函数,基本初等函数：,（1）常数函数；（2）幂函数；（3）指数函数；,（4）对数函数；（5）三角函数；（6）反三角函数,定义1对基本初等函数实施有限次的代数运算，及有,限次复合步骤所构成的，,并且是用一个解析式表达的函数，,称为初等函数。,.,初等函数分为初等代数函数和初等超越函数。,注：初等代数函数仅指代数显函数，简称为代数函数。,代数函数具有更为广泛的意义：,定义2,若y=f(x)是下面方程,的根，,为x的多项式，且不全为零多项式。）,（其中系数,则称y=f(x)为代数函数。,定义3不是代数函数的函数称为超越函数。,注：代数函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然,是代数函数。,.,的函数。,初等超越函数仅指由初等超越式给出的基本初等函数,及由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合而构成,这里的f(x)是指上述初等超越函数中的任何一个。,指数函数、对数函数、无理数指数的幂函数、三角函数、,反三角函数统称为基本初等超越函数。,