高中数学选修2-2推理与证明演绎推理

2.1.2演绎推理学习目标1.了解演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并能进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.知识点一演绎推理及其一般模式“三段论”1.演绎推理含义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理2.三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P思考(1)演绎推理的结论一定正确吗？(2)如何分清大前提、小前提和结论？答案(1)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确.(2)在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义.知识点二演绎推理与合情推理的区别与联系合理推理演绎推理区别定义根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果)，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程思维方法归纳、类比三段论推理形式由部分到整体、由个别到一般的推理或由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理结论结论不一定正确，有待于进一步证明在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确作用具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，利于创新意识的培养按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高逻辑证明的能力联系合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明题型一用三段论的形式表示演绎推理例1把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ，所以在一个标准大气压下把水加热到100 时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，21001是奇数，所以21001不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，ytan 是三角函数，因此ytan 是周期函数.解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ，小前提水会沸腾.结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提21001是奇数，小前提21001不能被2整除.结论(3)三角函数都是周期函数，大前提ytan 是三角函数，小前提ytan 是周期函数.结论反思与感悟三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的.跟踪训练1将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)0.332是有理数；(2)ycos x(xR)是周期函数；(3)RtABC的内角和为180.解(1)有限小数是有理数(大前提)，0.332是有限小数(小前提)，0.332是有理数(结论).(2)三角函数是周期函数(大前提)，函数ycos x(xR)是三角函数(小前提)，函数ycos x(xR)是周期函数(结论).(3)三角形内角和是180(大前提)，RtABC是三角形(小前提)，RtABC的内角和为180(结论).题型二演绎推理在证明数学问题中的应用例2在锐角三角形中，求证sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.证明在锐角三角形中，AB，AB，0BA.又在内，正弦函数是单调递增函数，sin Asincos B，即sin Acos B，同理sin Bcos C，sin Ccos A.以上两端分别相加，有：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.反思与感悟(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.跟踪训练2(1)设a0，b0，ab1，求证8.(2)求证：函数f(x)是定义域上的增函数.证明(1)a0，b0，ab1，1ab2，即，4，(ab)22448.当且仅当ab时等号成立，8.(2)函数定义域为R.任取x1，x2R且x1x2.则f(x1)f(x2).x1x2， ，f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2).故f(x)为R上的增函数.题型三合情推理、演绎推理的综合应用例3如图所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影.(1)求证：O为BCD的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.(1)证明ABAD，ACAD，ABACA，AD平面ABC，又BC平面ABC.ADBC，又AO平面BCD，AOBC，ADAOA，BC平面AOD，BCDO，同理可证CDBO，O为BCD的垂心. (2)解猜想：SSSS.证明如下：连接DO并延长交BC于E，连接AE，由(1)知AD平面ABC，AE平面ABC，ADAE，又AOED，AE2EOED，2，即SSBOCSBCD.同理可证：SSCODSBCD，SSBODSBCD.SSSSBCD(SBOCSCODSBOD)SBCDSBCDS.反思与感悟合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).跟踪训练3已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，则数列bn(nN*)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.解类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，则数列bn也是等差数列.证明如下：设等差数列an的公差为d，则bna1(n1)，所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列.三段论中因忽视大(小)前提致误例4已知a，b，cR，且a，b，c不全相等，试比较与abc的大小.错解因为a，b，cR，依基本不等式有由三式相加得a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a2b2b2c222ab2c，同理b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc，三式相加得a2b2b2c2c2a2a2bcab2cabc2.由得a4b4c4a2bcab2cabc2，又a，b，cR，所以abc.错因分析以上过程忽视了小前提“a，b，c不全相等”，因此两式中均为“”.正解a，b，cR，有又a，b，c不全相等，故三式相加，得a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc，且a，b，c不全相等，三式相加得a2b2b2c2c2a2a2bcab2cabc2，由得a4b4c4a2bcab2cabc2，a，b，cR，abc.防范措施利用三段论推理时，正确使用大(小)前提，尤其注意数学中有关公式、定理、性质、法则的使用情形.1.下列推理中是演绎推理的是()A.全等三角形的对应角相等，如果ABCABC，则AAB.某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人C.由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质D.在数列an中，a11，an(n2)，由此猜想出an的通项公式答案A解析B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理.故选A.2.指数函数都是增函数，大前提函数yx是指数函数，小前提所以函数yx是增函数.结论上述推理错误的原因是()A.大前提不正确B.小前提不正确C.推理形式不正确D.大、小前提都不正确答案A解析大前提错误.因为指数函数yax(a0，且a1)在a1时是增函数，而在0a1时为减函数.故选A.3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2x)f(2x)，则f(x)的周期是_. 答案8解析f(x4)f(x22)f(22x)f(x)f(x)，f(x8)f4(4x)f(x4)f(x)f(x).T8是它的周期.4.设数列an的首项a1，前n项和为Sn，且满足2an1Sn3(nN*)，则满足的所有n的和为_.答案7解析由2an1Sn3得2anSn13(n2)，两式相减，得2an12anan0，化简得2an1an(n2)，即(n2)，由已知求出a2， 易得，所以数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，所以Sn3，S2n3，代入，可得n，解得n3或4，所以所有n的和为7.5.设a，b，c为正实数，求证：abc2.证明因为a，b，c为正实数，由基本不等式可得3，即，当且仅当abc时取等号.所以abcabc.而abc22，当且仅当abc，即abc时取等号.所以abc2，当且仅当abc时取等号.数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的，三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义等，第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提，从而产生了第三个判断结论.在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式.一、选择题1.下列表述正确的是()归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理.A. B. C. D.答案D解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道正确.2.论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是()A.类比推理 B.归纳推理C.演绎推理 D.一次三段论答案C解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次复式三段论，属演绎推理形式.3.正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin (x21)是奇函数.以上推理()A.结论正确 B.大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确答案C解析由于函数f(x)sin(x21)不是正弦函数.故小前提不正确.4.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于()A.演绎推理 B.类比推理C.合情推理 D.归纳推理答案A解析“所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提，得出“铁能导电”的结论，满足演绎推理的定义.5.有一个“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，那么xx0是函数f(x)的极值点.因为函数f(x)x3在x0处的导数值f(0)0，所以x0是函数f(x)x3的极值点.以上推理中()A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.结论正确答案A解析可导函数在某点处的导数为0，不一定能得到函数的极值点，因此大前提错误.6.已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面、，有下列命题：若mn，n，则m；若l，m且lm，则；若m，n，m，n，则；若，m，n，nm，则n.其中正确的命题个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析中，m还可能在平面内，错误；正确；中，m与n相交时才成立，错误；正确.故选B.二、填空题7.如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上的相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是_.答案341解析边长为1,2,3，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为8,28,38，108，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(82838108)(3928272621)440341，故所求总数为341.8.在求函数y的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a0；小前提是有意义；结论是_.答案y的定义域是4，)解析由大前提知log2x20，解得x4.9.三段论式推理是演绎推理的主要形式，“函数f(x)2x5的图象是一条直线”这个推理所省略的大前提是_.答案一次函数的图象是一条直线10.关于函数f(x)lg (x0)，有下列命题：其图象关于y轴对称；当x0时，f(x)是增函数；当x0时，f(x)为减函数；f(x)的最小值是lg 2；当1x1时，f(x)是增函数；f(x)无最大值，也无最小值.其中所有正确结论的序号是_.答案解析显然f(x)f(x)，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称.当x0时，f(x)lg lg(x).设g(x)x，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，f(x)在(0