第二章导数与微分 - 第二章极限论.doc

第二章 导数与微分 The differentiable properties of function第二章导数与微分(The differentiable properties of function)第一节 导数概念（The Concept of Derivative） 一 两个典型背景示例(Introduction)例一: 运动物体的瞬时速度(Velocity of Rectilinear Motion). 设质点沿轴作直线运动, 若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为. 求在时刻的瞬时速度(Instantaneous Velocity). 解: (1) 求时段到的平均速度：. (2) 平均速度的极限是瞬时速度. 即：因此,如果极限 存在, 这个极限值就是质点在时刻的瞬时速度.例二: 曲线的切线斜率(Slope of the Tangent Line). 设曲线由方程确定. .要求在点的切线.(1) 求区间到的弦的斜率: =;(2) 弦斜率的极限是切线的斜率: =;(3) 曲线:在点的切线(Tangent Line): 斜率等于, 切线的方程称为: 二 导数的定义(Definition of Derivative) 定义: 假设函数在点某邻域有定义, 如果极限 = 存在,则称其值为函数在点的导数(Derivative), 并说在可导； 在点的导数记作或或或.Definition：Let f(x) be a well-defined function on some neighborhood of ,if the value of the independent variable x changes from to ,the corresponding change in the dependent variable,y,will be y=f()f();if the limit of the ratio y/x exists as x0,then we say that f(x) is differentiable at x=x0,i.e. =,and we call this limit the derivative of f(x) at x=,denoted by or ,or 或.l 函数在点的导数, 就是在点函数关于自变量的变化率. 运动质点在时刻的瞬时速度是距离对时间的导数. 曲线在点切线斜率是函数f对x的导数. 例 : 细杆的线密度。设有长度为的质量不均匀细杆,杆所在的直线为轴, 表示细杆在区间中的质量. 是细杆在一段的平均质量密度是 .它的极限, 即质量函数关于在点的导数 就是细杆在的线密度.l 在导数定义中, 称为自变量的增量(the Increment of the Independent Variable); 可正可负 , 但是不能取零; 称为函数的增量(the Increment of the Function). 当限制的负正时，有所谓左、右导数之称, 即： 若存在, 则称其为在的左导数(Left-hand Derivative); 若存在, 则称其为在的右导数(Right-hand Derivative); 在点的左、右导数分别记作和. 三 例 1, 常数函数的导数. 由导数定义(注意到)得到. 所以 . 2, 三角函数的导数:和的导数. = =同样的方法可以得到 .注意导数的几何意义(The Geometric Meaning of Derivatives)。l 对数函数的导数(the Derivatives of the Logarithmic Function)当 , 当,，l 幂函数的导数(the Derivative of the Power Function) . 解:对于任意的,有 = 四 导数的基本性质(Properties of Derivative) 性质一：函数在点存在导数的充分必要条件是在点的 左、右导数都存在并且相等. 性质二: 如果在可导, 则函数在的增量可表成： . 证明: 由在点可导, 则有 .由极限性质可知，当时，, 即 . 推论一：如果在可导, 则函数在必连续。 推论二：如果, 则。 推论三：如果在可导, 在附近用切线上的增量, 来近似函数曲线上的增量，相差为。注意：由函数的连续性不能推出可导性.如果在区间中的每个点都可导,称在区间上可导,这时,在上定义一个函数, 称为的导函数(Derived Function), 简称导数(Derivatives).当区间为有界闭区间时, 在区间上可导的含义是: 在的每一个内点可导；在两点分别存在右导数和 左导数. 此时记成: .符号 ，表示导函数在I上连续.第二节 导数的四则运算法则(Rule for Finding Derivatives of the Sum Difference,Product and Quotient of Two Functions ) 定理 1 ：若函数,在点都可导,则 1.函数在点可导, 并且 2.对于任意常数,函数在点可导,并且. 3.函数在点可导,并且. 4.如果,则在点可导,并且.Theorem 1: If the function f=f(x) ang g=g(x) are differentiable at x,then the sum,difference,product and quotient (v(x)0) of the two functions are differentiable at x ,and(1)(2)(3) () 证明: 以下记 = 1. 设函数,在点都可导,则. 2. 设函数在点都可导,则对于任意常数,有. 3. 当函数,在点都可导时,有 = = 4. 当函数,在点都可导,并且时,有 = = = l tanx、cotx、secx、cscx的导数(the Derovatove of tanx、cotx、secx、cscx)同样可以得到 .同样可以得到 .第三节 反函数的导数 复合函数求导法则（Rule for Derivative of Inverse Functions and Composite function ）定理2: 设函数在区间上单调、连续,在可导且. 则反函数在点可导, 且, 或 .Theorem 2: If the function x=f(y) is monotonic defferentiable on the interval and f( y)0,then its inverse function y= f is differentiable on the interval I and . 证明: 由函数的单调及连续可以推出, 反函数单调且连续. 因此和同时成立.,并且时也有. 于是, 利用复合函数极限定理, 当时 =l 指数函数的导数(The Derived Function of the Exponential Function) l 反三角函数的导数(The Derived Function of the Inverse Trigonometric Function) 和. 定理3：设在X有导数，在对应点u有导数，则复合函数在X处也有导数，。Theorem 3 Let y=f(u) and u=g(x).If g(x) is differentiable at x and f(x) is differentiable at u=g(x),then the composite function y=fg(x) is differentiable at x and例1：求解： 例2：求解： 例3：求解： 例4：求解： 例5：求解： 例6：求解： 例7：求解： 例8： 求解： 例9：求解： 第四节 基本导数公式:(Basic Rules for the Derivative Formulas) 一 基本初等函数的导数(The Derivative Formulas of the Constant Funtion and the Basic Elementary Functions) 现在,我们将所有基本初等函数的导数汇集如下:1.(为常数) ; 2. 3.; 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1011. 12.13. 14.例1 设,计算. 例2 设,计算. 解：=.例3 设, 计算. 解：=, 不存在。 若, 则， =第五节 函数的微分(Differential of a Function)导数是从函数对自变量变化的速度来研究; 而微分则是直接研究函数的增量，这有许多方便之处。一 函数微分的定义(Definition of Differential)定义 假设在点的增量可表示成, =, 则称函数在点可微(Differentiable)。线性函数称为函数在点的微分(Differential), 记作=, 或者=.Definition Let y=f(x) be a function defined on some interval I, I, I ,if the increment of the dependent variable y=f()f() can be expressed as y=Ax,where A is a constant which is independent of x ,then we say that f(x) is differentiable at ,and Ax is called the differential of y=f(x) atcorresponding to the increment Ax of the independent varable,denoted by dy,i.e.dy= Ax . 注1: 在微分=中,当确定点时. 函数在点的微分是自变量增量的线性函数.注2:当很小时, 在点的微分=可以作为函数增量的近似值, 所产生的误差与相比较时高阶无穷小量. 因此俗称:微分是增量的线性主部, 主部意主要部分。二 微分的基本性质(Properties of Differential)性质一，函数可微与可导是等价的。(DerivableDifferentiable)若函数在点可导，则它在点必可微, 且：, ;反之，若在点可微，则它在点必可导, 且.Propertie 1 A function is derivable if and only if it is differentiable.证明：(1) 可导可微(DerivableDifferentiable)存在 = 在点可微, ; (2) 可微可导(DifferentiableDerivable)=.性质二，函数微分的几何意义(The Geometric Meaning of Differential)：曲线切线上的增量、微分三角形 y y=f(x) S Q Df(x0) df(x0) P R f(x0) 0 x0 x0+Dx x 三 基本微分公式(The Differential Formulas of the Basic Elementary Funtiond and the Rules for Differentiation)(一) 基本初等函数微分公式(The Differential Formulas