初中数学圆中的分类讨论.doc

初中数学圆中的分类讨论由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。一、点与圆的位置关系不唯一性例1.若所在O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a，最小距离为b（ab），则此圆的半径为（ ）。（A） （B） （C）或 （D）a+b或ab分析：P可能在圆内，也可能在圆外。 图11 图12P在圆内时。如图11。连接O、P所在的直线交O于A、B。则PA=a，PB=b 直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b）P在圆外时。如图12。此时直径AB=PAPB=ab，半径OA=OB=AB=（ab）由可知，应选（C）。二、弦与弦的位置关系不唯一性例2.O的半径为5cm，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（ ）。（A）7cm （B）8cm （C）7cm或1cm （D1cm分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。 图21 图22弦AB与CD在圆心的同侧。如图21。过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。ABCD，OMAB，ONCD由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm在RtBMO中，OM=4cm，同理ON=3cmMN= OMON=43=1 cm弦AB与CD在圆心的异侧。如图22。此时，MN=OM+ON=4+3=7cm 故选（C）。例3如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出CAD的度数。分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图31。连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC=OC+OD=AC AOC=90，CAO=ACO=45又OA=OD=AD，DAO=60DAC=DAOCAO=15弦AC与弦AD在直径AB的异侧。此时，DAC=DAO+CAO=115三、点在直径上的位置不唯一性例4已知O的直径AB=10cm，弦CDAB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在半径OB上。M在半径OA上。如图41。连接OC。OC=OA=AB=5cm， 又OM：OA=3：5，OM=3cm AB是直径，弦CDAB 在RtOMC中， MC=4cm又AM=OAOM=2cm在RtAMC中，AC=2（cm）M在半径OB上。如图42.此时，AM=OA+OM=8cmAC=4（cm）四、弦所对圆周角的不唯一性例5圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。30或60（B）60（C）150（D）30或150（A） （B） 分析：弦（不是直径）所对的弧有两条，一条优弧，一条劣弧，因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。如图5。劣弧所对的角为ACB，优弧所对的角为ADB。由AB=0A=OB，AOB=60ACB=AOB=30ADB=（360AOB）=（36060）=150 故选（D）五、圆与圆的位置关系不唯一性例6如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（ ）。5cm （B）11cm （C）3cm （D）11cm或5cm（A） （B） 分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。 两圆外切。如图61。AB=8+3=11cm两圆内切。如图62。AB=83=5cm 故选（D）六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性例7已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为 。分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。圆心在公共弦的异侧。如图71。连接OA，OA。由圆的对称性，O O垂直平分公共弦AB。 AD=A