高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义

育英教育相信就会有奇迹直线与圆锥曲线复习提问一、直线与圆锥曲线C的位置关系的判断判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线的方程（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立消去y后得（1）当时，即得到一个一元一次方程，则与C相交，有且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线抛物线的对称轴平行。（2）当时，直线与曲线C有两个不同的交点；，直线与曲线C相切，即有唯一公共点（切点）；，直线与曲线C相离。二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为时，以为中点的弦所在直线斜率，即；若椭圆方程为时，相应结论为，即；（2）是双曲线内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率，即； 若双曲线方程为时，相应结论为，即；（3）是抛物线内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率； 若方程为时，相应结论为。 题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。例1.已知两点，给出下列曲线方程：在曲线上存在点P，满足的所有曲线方程是 （填序号）。练1:对于抛物线C：，我们称满足的点M（）在抛物线的内部，若点M（）在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是 。练2：设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有共点点，则直线的斜率的取值范围是 例2.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，过y轴正方向上一点C（0，c）（c0）任作一条直线，与抛物线相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线：y=-c交于P，Q两点。（1）若，求c的值；（2）若p为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线。练1：（12安徽理）如图所示，分别是椭圆C：的左右焦点，过作直线x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过作直线的垂线交直线于点Q，求证：直线PQ与椭圆C只有一个公共点。练2：（14湖北理）在平面直角坐标系xoy中，点M到点F（1,0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C，（1）求点M的轨迹方程；（2）设斜率为k的直线l过定点P（-2，1）分别求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。二、中点弦问题例1：已知过点M（，）的直线l与椭圆交于A，B 两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程。练1：（14江西理）过点M（1,1）作斜率为的直线与椭圆C：相交于A，B两点，若M是线段AB中点，则椭圆C的离心率等于 。练2：已知椭圆方程。（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点P（2,1）的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程。例2：如图所示，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于P，A 两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，求证：对任意k0,都有PAPB。练1：已知曲线C：，过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意带你k0,都有PQPH？若存在，求m的值，不存在，说明理由。例3已知椭圆C：，试确定m的范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有两个不同的点关于这条直线对称。练1：如图所示，已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点，在x轴上，离心率，（1）求椭圆E的方程；（2）求的角平分线所在直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出，不存在，说明理由。练2：已知A，B，C是椭圆W：上的三点，O是坐标原点。（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形面积；（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，说明理由。3.已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F，右顶点A在圆F：上。（1）求椭圆C和圆F的方程。（2）已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B，与圆F交于另一点P，请判断是否存在斜率不为0的直线l，使点P恰好为线段AB的中点，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。二、弦长与面积问题。在弦长有关的问题中，一般有三类问题：（1）弦长公式（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义（3）涉及面积的计算问题例1.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于点A，B两点，若线段AB的长为8，则P为多少？练1：已知椭圆C：，过椭圆C的左焦点F且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B，求弦长。练2：已知圆M：，若椭圆C：的右顶点为圆M的圆心，离心率为。（1）求椭圆C的方程；(2)已知直线：，若直线与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且，求k的值。例2：已知椭圆C：，过点（m，0）作圆的切线交椭圆G于A，B两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率。（2）将表示为m的函数，并求 的最大值。练1已知椭圆C：经过点，其离心率为（1）求椭圆C的方程。（2）设直线：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平形四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值范围。2.已知椭圆C：的右顶点A（2,0）离心率为，O为坐标原点。（1）（1）求椭圆C的方程。（2）已知P是（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP垂线交椭圆C于点E，D。如图所示，求的取值范围。例3：已知是椭圆的左右焦点，AB是过点的一条动弦，求AB的面积最大值。练1：（14新课标理）已知点A（0，-2），椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点。（1）求E的方程；（2）设过点A的直线与E相交于，两点，当面积最大时，求的方程。例：已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点。（）若，求直线的斜率；（）设点在线段上运动，原点关于点的对称点，求四边形面积的最小值。练：（北京）在平面直角坐标系中，椭圆的中点为坐标原点，左焦点为（,），为椭圆上顶点，且。（）求椭圆的标准方程（）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示，（）求证：（）求四边形的面积的最大值。2.(14年湖南理21)如图所示，O为坐标原点，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为；双曲线：的左右焦点分别为，离心率为，已知，且。（1）求，的方程 （2）过作的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值。3.已知抛物线的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且。过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（1）求证：为定值；（2）设ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。三、平面向量在解析几何的应用常见的两个应用（1）用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是:先写出向量坐标式，再用向量数量积的坐标公式，当不共线时，有为：直角；钝角；锐角（2）利用向量的坐标表示解决共线问题.向量共线的充要条件是或1.夹角问题直线与抛物线相交于A，B两点，则：（1）直线在y轴上的截距等于2P时，（2）直线在y轴上的截距大于2P时，（1）直线在y轴上的截距大于0且小于2P时，。例1：过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，求证：ABO为钝角三角形。练1：设A，B分别为椭圆的左右顶点，P为直线上不同于点（4,0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于A，B的点M，N.求证：点B在以MN为直径的圆内。练2：已知m1,直线：，椭圆C：的左右焦点分别为。（1）当直线过右焦点时，求直线的方程；（2）设直线与椭圆C交于A，B两点，A和B的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围。2.向量共线问题。例1：在平面直角坐标系xoy中，经过点（0，）且斜率为k的直线与椭圆有两个焦点P，Q。（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B是否存在常数k，使得向量与共线？如存在，求k值，不存在说明理由。练1：设椭圆的左右焦点分别为，离心率，直线：，如图所示，M，N是上的两个动点，（1）若，求的值；（2）求证：当取最小值时，与共线。例2：设A，B是椭圆上的两点，并且点N（-2,0）满足，当时，求直线AB斜率的取值范围。练1：已知分别为椭圆的左右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为D，线段的垂直平分线交于点M。（1）求动点M的轨迹C的方程。（2）过点作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设。若，求的取值范围。2.过点F（1,0）的直线交抛物线于A，B两点，交直线：x=-1于点M，已知，求的值。四、定点问题1.求定点问题的方法与步骤一般地，解决动曲线（包括动直线）过定点的问题，其解题步骤可归纳为：一选，二求，三定点。2.两点说明（1）对于曲线过定点，要求曲线方程关于参变量进行整理，即为参数，若方程有两个参数，需在题中寻找它们之间的关系，消去其中一个。若有解，则曲线过定点，否则不过定点。(2)对于直线过定点，我们有以下重要结论：若直线：，为常数，则直线必过定点（0，m）若直线：，n为常数，则直线必过定点（-n，0）若直线：，n，b为常数，则直线必过定点（-n，b）若直线：，为常数，则直线必过定点（m，0）若直线：，n为常数，则直线必过定点（0，-n）若直线：，n，b为常数，则直线必过定点（b，-n）。题型（一）三大圆锥曲线中的顶点直角三角形斜边所在的直线过定点。例1：已知椭圆，直线：与椭圆交于A，B两点（A，B不是顶点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。练1：已知椭圆的左顶点为A，不过点A的直线：与椭圆交于不同的两点P，Q。当时，求k与b的关系，并证明直线过定点。2.（12北京高三期末理）已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0,1），且离心率为，Q为椭圆C的左顶点。（1）求椭圆C的标准方程（2）已知过点（）的直线与椭圆C交于A，B两点。（）若直线垂直于x轴，求AQB的大小（）若直线与x轴不垂直，是否存在直线使得QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；不存在说明理由。3.已知椭圆M：的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为（1）求椭圆M的方程（2）设直线与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC的面积。例2:已知抛物线上异于顶点的两动点A，B满足以AB为直径的圆过顶点，求证：AB所在过定点，并求出定点的坐标。练1：如图，已知定点在抛物线上，过点P作两直线，分别交抛物线于A，B,且以AB为直径的圆过点P，求证：直线AB过定点，求出定点坐标。2.已知抛物线方程过点M（1,2）作两直线，分别交抛物线于A，B两点，且，的斜率，满足=2.求证：直线AB过定点，并求出此定点坐标。题型（二）三大圆锥曲线中，若过焦点的弦AB，则焦点所在坐标轴上存在唯一定点N，使得为定值。 例1：（12北京海淀模拟）已知椭圆C：的右焦点为F（1,0）且点在椭圆C上。（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线过点F，且与椭圆C交于A，B两点。在x轴上是否存在点Q，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。练：已知双曲线的左右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于，两点。在轴上是否存在点，使得为常数？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。五定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数思想方法来解决。证明过程可总结为“变量函数定值”方法有（）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关。（）直接推理，计算，消去变量，从而得到定值。题型（一）三大圆锥曲线中，曲线上的一定点与曲线上的两动点，满足直线与直线的斜率互为相反数，则直线的斜率为定值。例.已知椭圆：，为椭圆上的点，其坐标为（，），是椭圆上的两动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数。求证：直线的斜率为定值，并求出该定值练：已知，是长轴为，焦点在轴上的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆的中心，且，。（）求椭圆方程；（）如果椭圆上的两点，使得的平分线垂直于，问是否总存在实数，使得？说明理由。.已知椭圆：的离心率为，过椭圆右焦点的直线：与椭圆交于点（在第一象限）。（）求椭圆的方程；（）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于，两点，判断直线，是否关于直线对称，并说明理由。题型（二）三大圆锥曲线中，设过焦点且不垂直于坐标轴的弦，其垂直平分线交焦点所在轴于点，则例. 已知椭圆：的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，则。练1：已知双曲线C：的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为。2.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为。题型（三）三大曲线中（双曲线需同一支）,设过焦点F且不平行于坐标轴的弦为AB，则为定值（L为通经长）例1：（1）已知过抛物弦的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，=2，= 。（2）已知过抛物弦的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，满足，则弦AB的中点到准线的距离 。练1：如图所示，抛物线C1：和圆C2：，其中p0，直线经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为 。题型四：已知椭圆，直线与椭圆交于A，B两点，在AOB中，AB边上的高为OH。（1）若 （2）若（2）若例1：已知椭圆E：，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由。练1.在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线与C交于A，B两点.（1）写出C的方程；（2）若，求k的值。2.如图所示，椭圆的顶点为，焦点为，（1）求椭圆C的方程；（2）设n为过原点的直线，是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，是否存在上述直线使成立？存在，求出的方程；不存在，说明理由。3.如图所示，椭圆的一个焦点是F（1,0），