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3 4刚体的平面平行运动 刚体的平面运动 刚体内所有的点都平行于某一平面而运动 如车轮滚动等 一 刚体的平面运动特点 1 每一质元轨迹都是一条平面曲线 质心始终落在一个平面上 3 刚体内垂直于固定平面的直线上的各点 运动状况都相同 2 转轴总是保持平行 并与固定平面垂直 4 可用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形来代表刚体 刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动 即在研究平面运动时 不需考虑刚体的形状和尺寸 只需研究平面图形的运动 确定平面图形上各点的速度和加速度 二 运动学 平面运动分解为平动和转动 例如车轮的运动 车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成 车轮的平面运动 随A的平动 绕A 的转动 刚体平面运动 A点平动 绕A点轴转动 建立坐标系Oxyz 使平面图形在Oxyz面内 z轴与纸面垂直向外 在平面上任取一点A 称为基点 以基点A为原点建各坐标轴平行于Oxyz的动坐标系Ax y z 1 2 2 注 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关绕基点转动的规律与基点选取无关 基点的选取是任意的 通常选取运动情况已知的点作为基点 1 速度 平面上A点相对于Oxyz系的位置矢量 在O xyz中的分量 在A x y z 中的分量 2 加速度 A的加速度 相对切向加速度 相对向心加速度 三 转动瞬心 速度瞬心 1 问题的提出若选取速度为零的点作为基点 求解速度问题的计算会大大简化 于是 自然会提出 在某一瞬时图形是否有一点速度等于零 如果存在的话 该点如何确定 当 不为0时 转动瞬心必存在 角速度不为零时 刚体上恒有一点速度为零 则该点为转动瞬心 以C表示 选C为基点 则刚体平面运动化为绕过C点且与固定平面垂直的轴的定轴转动 对A x y z 系 对O xyz系 2 定义 几种确定速度瞬心位置的方法 已知图形上一点的速度和图形角速度 可以确定速度瞬心的位置 P点 且 在顺 转向绕A点转90 的方向一侧 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动 则图形与固定面的接触点P为速度瞬心 已知某瞬间平面图形上A B两点速度的方向 且过A B两点分别作速度的垂线 交点P即为该瞬间的速度瞬心 2 空间极迹与本体极迹 当刚体运动时 瞬心的位置随之而变 c在固定平面上 O xy 的轨迹叫做空间极迹在薄片上 A x y 的轨迹叫做本体极迹一般情况下 本体极迹B在空间极迹S上无滑动的滚动 潘索定理 四 动力学 C 质心运动定理 绕质心的定轴转动 由于受到约束做平面平行运动 约束力未知 一般未知数的个数大于方程的个数 需要加约束方程才能求解 1 运动微分方程以运动学观点 基点可任意选取 以动力学选质心为基点较宜 取过质心的薄片代表刚体 O xy为静系 C x y 为刚体系 C x y 为与Ox始终平行的坐标轴 2 动能动能 质心平动动能 绕质心的转动动能 能量守恒可以代替上方程其中之一这种方法的主要优点 由于不做功的力在方程中不不出现 可避免考虑那些不做功的约束力 且可少积一次分 缺点 无法由它求出不做功的力 动能定理 保守力时 机械能守恒 例1 有一条不可伸长的轻绳一端固结在天花板上 另一端缠着一个半径为r 重为p的滑轮 求滑轮中心即圆心下降的加速度 设滑轮做纯滚动 A C 解 取垂直向下的方向为x轴正向 计算力矩时取顺时针方向为正 外力有P和T 两个方程三个未知量 方程数目不够 还得靠约束关系再找一个方程 滑轮是作纯滚动的 解这三个方程就能得到圆心下降的加速度 微分方程为 例2 如图 固定斜面倾角为 质量为m半径为a的圆柱体顺斜面向下作无滑滚动 求圆柱体质心的加速度ac及约束反作用力的法向分量N和切向分量f 解 根据质心运动定理 x轴上投影 对质心轴的转动定理 无滑滚动 y轴上投影 五 滚动摩擦 滚动摩擦发生的原因 是物体与接触面处的非弹性形变引起 设滚轮在接触区无形变 地面有非弹性形变 如图对质心产生反向力矩 滚动摩擦力矩M滚 k 滚动摩擦系数 由实验测 均质圆柱体A和B重量均为 半径均为 圆柱A可绕固定轴O转动 一绳绕在圆柱A上 绳的另一