计算方法习题

第9章常微分方程初值问题数值解法,9.1引言9.2简单的数值方法9.3龙格-库塔方法,其中f(x,y)是已知函数，(1.2)是定解条件也称为初值条件。,各种数值解法,9.1引言,则称f(x,y)关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件，L称为f(x,y)的利普希茨常数。,定义：若存在实数L0,使得,定理,所谓数值解法,就是寻求解y(x)在一系列离散节点,上的近似值y1,y2,yi,yi+1,.相邻两个节点的间距hi=xi+1-xi称为步长.今后如不特别说明，总是假定hi=h(i=1,2,)为常数,这时节点为xi=x0+ih(i=0,1,2,)(等距节点).,初值问题的数值解法一般采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进.描述这类算法，只要给出用已知信息yi,yi-1,yi-2,计算yi+1的递推公式.,若计算yi+1时只用到前一点的值yi，称为单步法.若计算yi+1时用到yi+1前面k点的值yi,yi-1,yi-k+1，称为k步法.,9.2简单的数值方法,由向前差商公式,一、欧拉法,得,每步计算,只用到,依上述公式逐次计算可得：,几何意义是用一条初始点重合的折线来近似表示曲线。yP1(x1,y1)P2(x2,y2)y=y(x)0 x0 x1x2x3x,欧拉法的几何意义,由向后差商公式,得,二、后退欧拉法,后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别,后者是关于yi+1的一个直接计算公式，这类公式称作是显式的；前者公式的右端含有未知的yi+1，它实际上是关于yi+1的一个函数方程,这类方程称作是隐式的.,隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显式化.,设用欧拉公式,给出迭代初值，用它代入后退欧拉公式式的右端，使之转化为显式，直接计算得,然后再用代入后退欧拉公式的右端，又有,如此反复进行，得,由于f(x,y)对y满足Lipschitz条件，则,由此可知，只要hL1，迭代法就收敛到解,三单步法的局部截断误差与阶,初值问题(1.1),(1.2)的单步法可用一般形式表示为,其中多元函数与f(x,y)有关，当含有yi+1时，方法是隐式的，若不含yi+1则为显式方法，所以显式单步法可表示为,(x,y,h)称为增量函数，例如对欧拉法有,定义1设y(x)是初值问题(1.1),(1.2)的准确解,称,为显式单步法的局部截断误差.,Ti+1之所以称为局部的，是假设在xi前各步没有误差.当yi=y(xi)时，计算一步，则有,所以，局部截断误差可理解为用显示单步法计算一步的误差,定义2若显式单步法的局部截断误差满足,则称显示单步法具有p阶精度或是p阶方法.,欧拉法的局部截断误差为,一阶方法,以上定义对隐式单步法也是适用的.例如，对后退欧拉法，其局部截断误差为,一阶方法,四、梯形公式,将区间积分,注：梯形公式局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉公式有了进步。但注意到该公式是隐式公式.,五、改进欧拉公式,注：此法亦称为预测-校正法。可以证明该算法具有2阶精度。,或者表示成下列平均化形式,改进欧拉公式,例：用改进欧拉公式求解初值问题,要求取步长h=0.2，计算y(1.2)及y(1.4)的近似值，小数点后至少保留5位.解设f(x,y)=-y-y2sinx,x0=1,y0=1,xi=x0+ih=1+0.2i,改进欧拉公式为,于是有由y0=1计算得,由微分中值定理，有,K*称为曲线y(x)在区间xi,xi+1上的平均斜率，只要知道平均斜率，就可计算y(xi+1).因此只要对平均斜率提供一种近似算法，则由(1)式可导出一种相应的求解公式。,(1),9.3龙格库塔方法,欧拉公式可改写成,局部截断误差为。改进的欧拉公式又可改写成,局部截断误差为。,斜率一定取K1，K2的平均值吗？,步长一定是h吗？即第二个节点一定是xi+1吗？,其局部截断误差为，,这里有3个未知数，2个方程。,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔公式。,其中,2阶龙格-库塔格式,注意到，就是改进的欧拉公式。,问题:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,改进的Euler公式推广为二阶Runge-Kutta公式带来这样的启示：若在xi,xi+1上多取几个点的斜率值，然后将它们的线性组合作为平均斜率的近似值，则有可能构造出具有更高精度的计算公式。-Runge-Kutta方法的基本思想。,显式N级龙格-库塔公式,其中i(i=1,N