2011年全国初中数学联合竞赛试题

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1已知，则的值为 （ B.A1. B. C. D.由可得，即，即，即，所以2已知的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ B ）A5. B6. C7. D8.设的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为显然，于是由三边关系，得 解得所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3方程的解的个数为 （ C ）A1个 B2个 C3个 D4个当时，方程为，即，解得，均满足当时，方程为，即，解得，满足2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共8页）综上，原方程有3个解.4今有长度分别为1，2，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C. ）A5组. B7组. C9组. D11组.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等又因为，所以正方形的边长不大于由于； ； ； ； 所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为14595如图，菱形ABCD中，则（ D ）A. B. C. D.为H，又，从而FHE是等腰直角三角形，所以HEFH， 6已知，则的值为 （ C. ）A1. B. C2. D.由已知等式得，所以于是，所以 ，即。代入，得，解得所以 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1在ABC中，已知，则 【答】 。延长AB到D，使BDBC，连线段CD，则，所以CACD。作于点E，则E为AD的中点，故，.在RtBCE中，所以，故 2二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若ABD和OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 【答】 2由已知，得，过D作于点E，则，即，得，所以或又，所以又，即，得3能使是完全平方数的正整数n的值为 【答】 11.当时，若它是完全平方数，则n必为偶数若，则；若，则；若，则；若，则。所以，当时，都不是完全平方数当时，若它是完全平方数，则为一奇数的平方。设（k为自然数），则由于和一奇一偶，所以，于是，故4如图，已知AB是O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，D为EF的中点，则AB 【答】 24. 设，则连AD，BC因为AB为O的直径，AF为O的切线，所以又因为D为RtAEF的斜边EF的中点， ， ， ， 在RtAEF中，由勾股定理得 ，即 设，由相交弦定理得 ，即， 又 ， 又， ，从而在RtACB中，由勾股定理得 ，即， 联立，解得所以第二试 （A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根求的值解 依次将题设中所给的四个方程编号为，设是方程和方程的一个相同的实根，则 两式相减，可解得设是方程和方程的一个相同的实根，则两式相减，可解得。所以 又方程的两根之积等于1，于是也是方程的根，则。又 ，两式相减，得 若，则方程无实根，所以，故于是 又，解得 二（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，对角线交于点，且，为的中点求证：（1）；（2）证明 （1）由已知得 ，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心 作于点，知为的中点，所以，从而（2）作于点，则又， RtRt， ，又，所以，故，所以 三（本题满分25分）已知为正整数，设，O为坐标原点若，且（1）证明：；（2）求图象经过三点的二次函数的解析式解 （1）因为，所以，即由，得又，从而有，即 （2）由，知是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或 当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为综合知： 设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得所以，图象经过三点的二次函数的解析式为第二试 （B）二（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，对角线交于点，且求证：证明 由已知得 ，从而四点共圆，为直径设为AC的中点，则为四边形ABCD的外接圆的圆心5分作于点，则M为BD的中点,所以，从而 10分作于点，则又， ， 15分 RtRt，又，所以，所以，所以 三（本题满分25分）已知为正整数，设，O为坐标原点若，且）求图象经过三点的二次函数的解析式解 因为，所以 ，即由，得5分又，从而有，即 10分又，故是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或 15分当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为综合知： 20分设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得所以，图象经过三点的二次函数的解析式为 25分第二试 （C）二（本题满分25分）如图，已知为锐角内一点，过分别作的垂线，垂足分别为