二阶矩阵PPT课件

第二章矩阵,第一节矩阵的定义,第二节矩阵的运算,第三节矩阵的逆,第四节矩阵的分块,第五节矩阵的初等变换与初等矩阵,第六节用初等变换求逆矩阵,第七节矩阵的秩,1矩阵的定义,记为,返回,上一页,下一页,如果矩阵A的元素aij全为实(复)数,就称A为实(复)数矩阵。,只有一行的矩阵A=(a1a2.an)叫做行矩阵,行矩阵也记作A=(a1,a2,.,an)。,两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩阵。,元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O。,下一页,上一页,返回,1.三角矩阵,下一页,上一页,返回,如果n阶方阵中元素满足条件即A的主对角线以下的元素全为零，则称A为n阶上三角矩阵.即,下一页,上一页,返回,如果n阶方阵中元素满足条件即的主对角以上的元素全为零，则称为n阶下三角矩阵.即,下一页,上一页,返回,2.对角矩阵,如果n阶方阵中元素满足条件即的主对角线以外的元素全为零，则称为n阶对角矩阵.即,下一页,上一页,返回,3.数量矩阵,如果n阶对角矩阵中元素满足则称为数量矩阵.即,下一页,上一页,返回,4.单位矩阵,如果n阶对角矩阵中元素满足则称为n阶单位矩阵，记为.即,2矩阵的运算,一、矩阵的加法,定义2设有两个mn矩阵A=(aij),B=(bij),那么A与B的和记为A+B,规定为,注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。,加法满足运算规律:,(1)A+B=B+A;(交换律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(结合律),下一页,上一页,返回,二、数与矩阵相乘,定义3数与矩阵A的乘积记做A,规定为,数乘矩阵满足运算规律:,下一页,上一页,返回,设矩阵A=(aij),记-A=(-1)A=(-1aij)=(-aij),-A称为A的负矩阵,显然有A+(-A)=O.其中O为各元素均为0的同型矩阵,由此规定A-B=A+(-B).,下一页,上一页,返回,三、矩阵与矩阵相乘,行矩阵与列矩阵相乘,注意：只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。,下一页,返回,上一页,解：,注：表明矩阵乘法不满足交换律。AB0推不出A0或B0ACBC且C不为0,推不出A=B(不满足消去律),下一页,上一页,返回,矩阵的乘法满足运算律：,对于单位矩阵，有,下一页,上一页,返回,解,下一页,上一页,返回,例8已知矩阵求,四、矩阵的转置,定义5把矩阵A的行换成同序数的列,得到的新矩阵称为A的转置矩阵,记作A。,满足运算律：,下一页,上一页,返回,有,所以,下一页,上一页,返回,设A为n阶方阵,若A=A,即aij=aji(i,j=1,2,n),那么,A称为对称矩阵;若A=-A,即aij=-aji(i,j=1,2,n),那么,A称为反对称矩阵。,对称矩阵的特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等。,反对称矩阵的特点是:以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符号相反,且主对角线上各元素均为0。,下一页,上一页,返回,例9设,那么,下一页,上一页,返回,五、方阵的行列式,定义6由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA。,设A,B为n阶方阵,为实数,则有下列等式成立,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,例11,3矩阵的逆,定义7对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B,满足AB=BA=E,则称方阵A可逆,且把方阵B称为A的逆矩阵,记作B=A-1。,如果A是可逆的,则A的逆矩阵唯一。,设B,C都是A的逆矩阵,则一定有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.,下一页,上一页,返回,说明A是可逆的。,下一页,上一页,返回,定理1设A是n阶方阵,则A可逆的充分必要条件是,证先证必要性。由于A是可逆的，则有,下证充分性.设由伴随矩阵,下一页,上一页,返回,推论对于n阶方阵，若存在n阶方阵，使则一定可逆，且,A11=3,A12=-3,A13=1,A21=-6,A22=10,A23=-4,A31=2,A32=-4,A33=2,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,例13,解若均存在，则用左乘上式，右乘上式，有,下一页,上一页,返回,由于，故存在，且,下一页,上一页,返回,其中,下一页,上一页,返回,4矩阵的分块,定义将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。,列举三种分块形式：,下一页,上一页,返回,分块矩阵的运算法则:,(1)矩阵A与B为同型矩阵,采用同样的分块法,有,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,(2)A为ml矩阵,B为ln矩阵,将A,B分成,其中Ai1,Ai2,Ait的列数分别等于B1j,B2j,Bij的行数,则有,下一页,上一页,返回,解A,B分块成,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,(3)设,则,(4)设方阵A的分块矩阵为,除主对角线上的子块不为零子块外,其余子块都为零矩阵,且Ai(i=1,2,m)为方阵,则A称为分块对角矩阵(或准对角矩阵).,i)准对角矩阵的行列式为,下一页,上一页,返回,ii)若有与A同阶的准对角矩阵,其中Ai与Bi(i=1,2,m)亦为同阶矩阵,则有,iii)若A可逆,则有,下一页,上一页,返回,解,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是同类的初等行变换。,返回,上一页,下一页,5矩阵的初等变换与初等矩阵,定义11如果矩阵A经有限次初等变换化成B，就称矩阵A与B等价。,返回,上一页,下一页,矩阵的等价关系具有下列性质：,(1)反身性：A与A等价。,(2)对称性：如果A与B等价，那么B与A等价。,(3)传递性：如果A与B等价，B与C等价，那么A与C等价。,返回,上一页,下一页,例19已知，对其做如下初等行变换：,我们称矩阵B为一个行阶梯形矩阵，它具有下列特征：,（1）元素全为零的行（简称为零行）位于非零行的下方；,（2）各非零行的首非零元（即从左至右的第一个不为零的元素）的列标随着行的增大而严格增大（即首非零元的列标一定不小于行标）.,返回,上一页,下一页,对矩阵B再作初等行变换：,返回,上一页,下一页,我们称矩阵C为行最简形矩阵，它具有下列特征：,返回,上一页,下一页,（1）是行阶梯形矩阵（2）各非零行的首非零元都是1；（3）每个首非零元所在列的其余元素都是零.,定理2任何一个矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并进一步化为行最简形矩阵。,定理3任何一个矩阵都有等价标准形，矩阵A与B等价，当且仅当它们有相同的等价标准形.,定义12由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,初等矩阵都是方阵，交换E的第i行与第j行（或者交换E的第i列与第j列）的位置，得,返回,上一页,下一页,用常数k乘E的第i行（或i列），得,把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得,返回,上一页,下一页,这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有,E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k),定理4对一个mn矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的mm初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的nn初等矩阵。,detE(i,j)-1detE(i(k)=idetE(i+j(k)=1,返回,上一页,下一页,推论1矩阵A与B等价的充分必要条件是有初等方阵P1，P2，Ps，Q1，Qt使AP1P2PsBQ1Qt,返回,上一页,下一页,定理5设A是n阶方阵，则下面的命题的等价的：,（4）A可经过一系列初等行（列）变换化为E.,6用初等变换求逆矩阵,（1）A是可逆的；,返回,上一页,下一页,（2）是n阶单位矩阵；,（3）存在n阶初等矩阵，使,设A为可逆矩阵，由推论必存在有限个初等方阵P1,P2Pm，使得P1P2PmAE（）,所以P1P2PmEA-1（2）,（）表明E经过同样有限次初等行变换变成A,（）表明A经过有限次初等行变换变成E,故可用初等行变换求逆阵：,返回,上一页,下一页,解对(AE)作初等行变换,返回,上一页,下一页,补充：也可用初等列变换求逆阵：,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,7矩阵的秩,定义13在一个矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交叉位置的个元素按原来的次序所组成的k阶行列式，称为A的一个k阶子式.,定义14设A为矩阵，如果至少存在A的一个r阶子式不为0，而A的所有阶子式（如果存在的话）都为零，则称数r为矩阵A的秩，记为.并规定零矩阵的秩等于0.,返回,上一页,下一页,例22求矩阵的秩.,解在A中，存在一个2阶子式