2011年高考数学试题分类汇编-专题立体几何-理

2011年高考试题数学（理科）立体几何一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】A【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以.2.(2011年高考浙江卷理科3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 【答案】D 【解析】由正视图可排除A、B选项；由俯视图可排除C选项.3.(2011年高考浙江卷理科4)下列命题中错误的是（A）如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（C）如果平面，平面，那么（D）如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D 【解析】若面面，在面内与面的交线不相交的直线平行平面，故A正确；B中若内存在直线垂直平面，则，与题没矛盾，所以B正确；由面面的性质知选项C正确.4.(2011年高考安徽卷理科6)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80【答案】C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，。故【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。5.(2011年高考辽宁卷理科8)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）(A) ACSB (B) AB平面SCD (C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案： D解析：对于A:因为SD平面ABCD，所以DSAC.因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD，故AC平面ABD,因为SB平面ABD,所以ACSB，正确.对于B：因为AB/CD,所以AB/平面SCD.对于C:设.因为AC平面ABD，所以SA和SC在平面SBD内的射影为SO，则ASO和CSO就是SA与平面SBD所成的角和SC与平面SBD所成的角，二者相等，正确.故选D.6.(2011年高考辽宁卷理科12)已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥S-ABC的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）17.(2011年高考全国新课标卷理科6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为8(2011年高考江西卷理科8)已知，是三个相互平行的平面平面，之间的距离为，平面，之间的距离为直线与，分别相交于，那么“=”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】过点作平面的垂线g,交平面，分别于点A、B两点,由两个平面平行的性质可知,所以,故选C.332正视图侧视图俯视图图19. (2011年高考湖南卷理科3)设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 答案：B解析：由三视图可以还原为一个底面为边长是3的正方形，高为2的长方体以及一个直径为3的球组成的简单几何体，其体积等于。故选B评析：本小题主要考查球与长方体组成的简单几何体的三视图以及几何体的体积计算.10.(2011年高考广东卷理科7)如图l3某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D.【解析】B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱，。所以选B11.(2011年高考陕西卷理科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（A）（B） （C）（D）【答案】A【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，所以体积为故选A12.(2011年高考重庆卷理科9)高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（A） （B） （C）1 （D）解析：选C. 设底面中心为G，球心为O，则易得，于是，用一个与ABCD所在平面距离等于的平面去截球，S便为其中一个交点，此平面的中心设为H，则，故，故13(2011年高考四川卷理科3)，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) (A)， （B），(C) ，共面 （D），共点，共面答案：B解析：A答案还有异面或者相交，C、D不一定14(2011年高考全国卷理科6)已知直二面角，点,C为垂足，为垂足若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A) (B) (C) (D) 1 【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明平面，进而平面ABC,所以过D作于E，则DE就是要求的距离。【答案】C【解析】如图，作于，由为直二面角，得平面，进而,又,于是平面。故为到平面的距离。在中，利用等面积法得15. (2011年高考全国卷理科11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A) (B) (c) (D)【答案】D【解析】：由圆的面积为得，在 故选D 16(2011年高考北京卷理科7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A8 B C10 D【答案】C二、填空题:1.(2011年高考辽宁卷理科15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_.答案： 解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a，则由，解得a=2，正三棱柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是.2. (2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。答案: 解析：如图，连接矩形对角线的交点和球心,则，,四棱锥的高为,所以，体积为点评：本题考查多面体和旋转体的有关概念和性质以及体积的计算。关键是确定棱锥高的大小，正确运用公式求解。3(2011年高考天津卷理科10)一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为_ 【答案】【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为3m,宽为2m,高为1m),上面有一个圆锥(底面半径为1,高为3),所以其体积为.4. (2011年高考四川卷理科15)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 . 答案：解析：时，则5.(2011年高考全国卷理科16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交，交点为P，则AP为面AEF与面ABC的交线.【答案】【精讲精析】延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为，所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。6(2011年高考福建卷理科12)三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于_。【答案】7(2011年高考上海卷理科7)若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。【答案】；三、解答题:1. (2011年高考山东卷理科19)（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（)若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)连结AF,因为EF，EF=F,所以平面EFG平面ABCD,又易证,所以,即,即,又M为AD的中点,所以,又因为D，所以M,所以四边形AMGF是平行四边形,故GMFA,又因为平面,FA平面,所以平面.（）取AB的中点O,连结CO,因为,所以COAB,又因为平面，CO平面,所以CO,又AB=A,所以CO平面,在平面ABEF内,过点O作OHBF于H,连结CH,由三垂线定理知: CHBF,所以为二面角-的平面角.设=,因为ACB=，=,CO=,连结FO,容易证得FOEA且,所以,所以OH=,所以在中,tanCHO=,故CHO=,所以二面角-的大小为.2.(2011年高考浙江卷理科20)（本题满分15分）如图，在三棱锥中，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。【解析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分法一：（）证明：如图，以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则，由此可得 ，所以 ，即（）解：设 ，则，设平面的法向量，平面的法向量 由 得 即 ，可取 由即得可取，由得解得 ，故 综上所述，存在点M 符合题意，法二（）证明：又因为所以平面故（）如图，在平面内作由（）知得平面，又平面所以平面平面在中，得在中，在中，所以得，在中，得又从而，所以综上所述，存在点M 符合题意，.3.(2011年高考辽宁卷理科18)（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD.（I）证明：平面PQC平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 6分 （II）依题意有B（1，0，1），设是平面PBC的法向量，则因此可取设m是平面PBQ的法向量，则可取故二面角QBPC的余弦值为 12分4.(2011年高考安徽卷理科17)（本小题满分12分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，都是正三角形。（）证明直线；（II）求棱锥F-OBED的体积。【命题意图】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【解析】（）(几何法)设G为线段DA与线段延长线的交点由于OAB与ODE都是正三角形，OBDE且OB=DE，OG=OD=2,同理，设是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG=OD=2，又由于G和都在线段DA的延长线上，G与重合,在和中，由和,可知，B、C分别是GE和GF的中点， BC是的中位线， BCEF.(坐标法) 过F作FQAD，交D于点Q，连结QE，面ADFC面ABED, FQ面ABED，以Q点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立如图空间直角坐标系，由条件知，,则,.（）解：由OB=1，OE=2，,知=,而是边长为2的正三角形，故, =,过F点作FQAD,交AD于Q，面ABED面ACFD，FQ面ABED，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ=， =. 【解题指导】：空间线线、线面、面面位置关系的证明方法，一是要从其上位或下位证明，本题的第一问方法一，是从其上位先证明面面平行，再借助面面平行的性质得到线面平行，再借助线面平行的性质得到线线平行；二是借助中位线定理等直接得到；三是借助空间向量直接证明。求不规则的几何体体积或表面积，通常采用分割或补齐成规则几何体即可。求解过程要坚持“一找二证三求”的顺序和原则防止出错。5. (2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。解：(1)证明：在三角形ABD中，因为该三角形为直角三角形，所以,（2）建立如图的坐标系，设点的坐标分别是则，设平面PAB的法向量为，所以， 取得，同理设平面PBC的法向量为， 取得，于是，因此二面角的余弦值是。点评：该题考查空间内的垂直关的证明，空间角的计算。考查定理的理解和运用，空间向量的运用。同时也考察了空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。解题时要注意法向量的计算和运用这一关键。6. (2011年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分. 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点. 依题意得 （I）解：易得， 于是 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 （II）解：易知 设平面AA1C1的法向量， 则即 不妨令可得， 同样地，设平面A1B1C1的法向量， 则即不妨令，可得于是从而所以二面角AA1C1B的正弦值为（）由N为棱的中点,得,设,则,由平面,得,即,解得,故,因此,所以线段的长为.7. (2011年高考江西卷理科21)（本小题满分14分）（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的，使得且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足： 求该正四面体的体积解析：如图，将此正四面体补形为正方体（如图），分别取AB、CD、的中点E、F、，平面与是分别过点、的两平行平面，若其距离为1，则正四面体满足条件，右图为正方体的下底面，设正方体的棱长为，若，因为，在直角三角形ADE中，AMDE，所以，所以，又正四面体的棱长为，所以此正四面体的体积为本题考查立体几何中的面面关系、正四面体及体积计算 8(2011年高考湖南卷理科19)（本小题满分12分）如图5，在圆锥中，已知=，O的直径,是的中点，为的中点（）证明：平面 平面;（）求二面角的余弦值.解法1：连结OC，因为又底面O，AC底面O，所以，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以平面POD，而平面PAC，所以平面POD平面PAC。（II）在平面POD中，过O作于H，由（I）知，平面所以平面PAC，又面PAC，所以在平面PAO中，过O作于G，连接HG，则有平面OGH，从而，故为二面角BPAC的平面角。在在在在所以故二面角BPAC的余弦值为解法2：（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设是平面POD的一个法向量，则由，得所以设是平面PAC的一个法向量，则由，得所以得。因为所以从而平面平面PAC。（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为由（I）知，平面PAC的一个法向量为,设向量的夹角为，则由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，所以二面角BPAC的余弦值为9. (2011年高考广东卷理科18)如图5，在椎体中，是边长为1的棱形，且,分别是的中点，（1） 证明：（2）求二面角的余弦值。【解析】法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。因PA=PD，有，在中，有为等边三角形，因此，所以平面PBG又PB/EF，得，而DE/GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。 （2），为二面角PADB的平面角，在在法二：（1）取AD中点为G，因为又为等边三角形，因此，从而平面PBG。延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，所以PO 平面ABCD。以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。设由于得平面DEF。 （2）取平面ABD的法向量设平面PAD的法向量由取10. (2011年高考湖北卷理科18)（本小题满分12分）如图，已知，本棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合.() 当CF=1时，求证：EFA1E()设二面角C-AF-E的大小为，求的最小值.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 解析：过E点作ENAC于N，连结EF.（）如图1，连结NF、AC1，由直线柱的性质知，底面ABC侧面A1C，又底面ABC侧面A1C=AC，且EN底面ABC，所以EN侧面A1C，NF为EF在侧面内的射影.在RtCEN中，CN=cos600=1.则由，得，又，故作，由三垂线定理知.（）如图2。连结AF，过N作NMAF于M，连结ME，由（）知EN侧面A1C。根据三垂线定理得EMAF,所以EMAF，所以是二面角的平面角，即.设则.在中.在中，故，又，.故当，即当时，达到最小值，.此时F与C1重合.11.(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）如图：在，沿把折起，使（）证明：平面；（）设。【解析】：（）折起前，当 。（）由及（）知两两垂直，不妨设为坐标原点，以轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得夹角的余弦值为12.(2011年高考重庆卷理科19)本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分。如图，在四面体中，平面 , ,=,= （）若=2，=2，求四边形的体积。 （）若二面角-为，求异面直线与所成角的余弦值。 解析：（）如图所示，设F为AC的中点，由于AD=CD,所以DFAC.故由平面 ,知DF平面,即，。在中，因,AB=2BC,有勾股定理易得.故四面体ABCD的体积 （）如图所示设G、H分别为变CD，BD的中点，则FG/AD,GH/BC,从而是异面直线与所成角或其补角。设E为边AB的中点，则EF/BC,由，知，又由（）有DF平面，故由三垂线定理知,所以为二面角-的平面角,由题设知，设AD=a，则DF=ADsinCAD=在中，从而因，故BD=AD=a.从而，在中，,又,从而在中，因FG=FH，由余弦定理得,故异面直线与所成角的余弦值为.13(2011年高考四川卷理科19) (本小题共l2分) 如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中 BAC=90，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA(I)求证：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； ()求点C到平面B1DP的距离解析：（1）连接交于,又为的中点，中点，,D为的中点。（2）由题意,过B 作,连接，则,为二面角的平面角。在中，,则(3)因为，所以,在中，14.(2011年高考全国卷理科19)如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（）证明：;（)求与平面所成角的大小.【解析】（）：连结BD过D作，在，在，同理可证（）过做平面，如图建立空间直角坐标系，可计算平面的一个法向量是，所以与平面所成角为15.(2011年高考江苏卷16)如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点.求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD【解析】证明: （1）因为E、F分别是AP、AD的中点,所以EFPD,又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF平面PCD；（2）设AB=AD=,则AF=,又因为BAD=60，所以在中,由余弦定理得：BF=，所以，所以BFAF，因为平面PAD平面ABCD，交线为AD，平面ABCD，所以BF平面PAD，因为平面BEF，所以平面BEF平面PAD.16(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长.证明：（）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）设ACBD=O.因为BAD=60，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以设PB与AC所成角为，则.（）由（）知设P（0，t）（t0），则设平面PBC的法向量,则 令则 同理，平面PDC的法向量平面PCB平面PDC,=0，即,解得PA=17(2011年高考福建卷理科20)（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。解析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想