Spheric geometry球面几何.doc

Spheric geometry（球面几何）是几何学的一门分科。研究球面上图形的几何学。是古代从研究天体在天球上的“视运动”发展起来的，其中专门研究球面上三角形的性质的称为“球面三角”。 球面几何学是在二维的球面表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子。 在平面几何中，基本的观念是点和线。在球面上，点的观念和定义依旧不变，但线不再是“直线”，而是两点之间最短的距离，称为最短线。在球面上，最短线是大圆的弧，所以平面几何中的线在球面几何中被大圆所取代。同样的，在球面几何中的角被定义在两个大圆之间。结果是球面三角学和平常的三角学有诸多不同之处。例如：球面三角形的内角合大于180。 对比于通过一个点至少有两条平行线，甚至无穷多条平行线的双曲面几何学，通过特定的点没有平行线的球面几何学是椭圆几何学中最简单的模式。 球面几何学在航海学和天文学都有实际且重要的用途。 球面几何学的重要关键在塑造真实投影平面，通过辨认在球面上获得正相反的对跖点(分列在边的两侧相对的点)。在当地，投影平面具有球面几何所有的特性，但有不同的总体特性，特别是他是无定向的。 球面乃是空间中最完美匀称的曲面。两个半径相等的球面可以用一个平移把它们叠合起来，而两个半径不相等的球面所相差者就是放大或缩小这种相似变换，由此可见本质性的球面几何可以归纳到单位半径的球面来研讨。再者，在古典天文学的研讨中，观察星星的方向可以用单位球面上的一个点来标记它，而两个方向之间的角度（亦即方向差）则相应于单位球面上两点之间的球面距离(spherical distance) 。 这也就是为什么古希腊天文学和几何学总是合为一体的，而且古希腊的几何学家对于球面三角学(spherical trigonometry)的投入程度要远远超过他们对于平面测量学的兴趣，因为量天的学问才是他们所致力去理解者；它的确比丈量土地、计量财产等更引人入胜。 从现代的观点来看，球面几何乃是空间几何中蕴含在正交子群的部分，而向量几何则是空间几何中蕴含在平移子群的部分，而且两者又密切相关、相辅相成，例如向量运算都是正交协变的(orthogonal covariant)，所以向量代数又是研讨球面几何的简明有力的利器。七、球面幾何和球面三角學項武義 單位球面的基本性質 球面三角學 球面乃是空間中最完美勻稱的曲面。兩個半徑相等的球面可以用一個平移把它們疊合起來，而兩個半徑不相等的球面所相差者就是放大或縮小這種相似變換，由此可見本質性的球面幾何可以歸納到單位半徑的球面來研討。再者，在古典天文學的研討中，觀察星星的方向可以用單位球面上的一個點來標記它，而兩個方向之間的角度（亦即方向差）則相應于單位球面上兩點之間的球面距離 (spherical distance) 。這也就是為什麼古希臘天文學和幾何學總是合為一體的，而且古希臘的幾何學家對于球面三角學 (spherical trigonometry) 的投入程度要遠遠超過他們對于平面測量學的興趣，因為量天的學問才是他們所致力去理解者；它的確比丈量土地、計量財產等更引人入勝，是不？ 從現代的觀點來看，球面幾何乃是空間幾何中蘊含在正交子群的部分，而向量幾何則是空間幾何中蘊含在平移子群的部分，而且兩者又密切相關、相輔相成，例如向量運算都是正交協變的 (orthogonal covariant)，所以向量代數又是研討球面幾何的簡明有力的利器。 單位球面的基本性質設 O 為球面的心，而單位球面 S2(1) 則是空間 中所有和 O 點的距離為 1 的點所成的點集，即： 它是以 O 為其定點的正交子群的一個軌道 (orbit) 。 (i) 反射對稱性：設 是一個過球心 O 點的平面，則顯然有 保持 O 點不動。由 的保長性可見它把和 O 點相距為 1 的點變換成和 O 點相距為 1 之點，所以 。再者， 在 S2(1) 上的定點子集就是 這一個大圓 (great circle)，我們將把 限制在 S2(1) 上的變換叫做以大圓 為定點子集的球面反射對稱。 (ii) 旋轉對稱性：設 是一條過球心 O 點的直線，它和球面 S2(1) 的交點是球面上的兩個互為對頂的點 A, A （一如南、北兩極）；換言之，球面上兩點 A, A 互為對頂 (antipodal) 的條件是 以球心為其中點。在空間以 為軸的旋轉之下，球心 是固定不動的；同理可見 S2(1) 也是它的一個不變子集，而它限制在球面上的變換乃是一個以對頂點 A,A 為其定點子集的球面旋轉對稱（如日常地球所作者就是一個以南北極為其定點子集的旋轉）。 球面極坐標： 設 N,S 是單位球面上給定的兩個互相對頂之點，在以 N,S 為定點子集的球面旋轉之下，每點的緯度保持不變，而其經度則隨著轉角而增加，如 圖 7-1 所示。設 P 是球面上相異于兩個極點者，令 是過 P 點的那條經線 (longitude arc)， 是選定的基準經線。設 r 為 N 到 P 的球面距離，亦即 這一段經弧的弧長， 是 轉到 的（有向）轉角，則稱 為 P 點對于以 N 為基點的球面極坐標 (spherical polar coordinates) 。 圖 7-1 若在空間選取正交坐標系，以球心為原點，以 為 z-軸的方向，以 為 x-軸的方向，其中 E 點乃是基準經線 的中點，則有： 註：由直接的微分計算可得 用上述弧長的微分式，不難証明經弧 乃是球面上連結 N, P 兩點的最短曲線（亦稱測地線 (geodesics)）。 【阿基米德定理】：半徑為 R 的球面面積等于 註：阿基米德 (Archimedes, 287-212 B.C.) 是公認的古希臘時代偉大的科學家和幾何學家，他一生有很多卓越的貢獻；而他最引以自豪者，首推上述定理及其簡潔的証明，這也就是遵照他本人的遺囑刻在他的墓碑上者。 証明：其証明的要點在于論証一個半徑為 R 的球面面積和一個高為 2R，半徑為 R 的圓柱面面積相等。而在他的墓碑上所刻劃的，就是如 圖 7-2 所示把兩者放在相切同高的位置。 圖 7-2 設想用一系列和柱面正交的平行平面，把兩個面都細分成很窄很窄的一圈圈。設相鄰兩個平行面之間的距離是 ，則柱面上的窄條（或圈）的面積等于 ，而在球面上的相應窄圈，雖然其寬度和長度會隨著 而改變，但在 非常、非常小的時候，它可以看成如 圖 7-3 所示的圓台之側面： 圖 7-3 其中環長度是 ，亦即其環長的平均值是 ，而側面的寬度則為 ，所以其面積的高度近似值也是 （亦即可能的誤差肯定在 這種量級）。由此他就用 Eudoxus 所創的逼近原理証明了兩者的面積必然相等，而後者的面積顯然等于高為 2R，長為 的長方形面積，亦即 。 球面三角形面積公式： 設 A, B, C 是球面上任取三點但不含對頂者，令 , , 為連結于點與點之間的測地線，稱之為球面三角形 的三個邊。我們將採用和平面三角學中相同的符號體系，以 A, B, C 表示 在三個頂點的內角，及以 a, b, c 表示 的各角對邊邊長。在平面幾何中，一個三角形的三個內角和恆等于一個平角，這是邏輯等價于平行公理的基本事實，也是平面的平直性的一種基本表達；在球面三角形的情形下，三內角之和則恆大于一個平角，而下述定理 7.1証明在單位球面上的球面三角形，其內角和與 的差額（稱之為角盈）其實恰好等于其面積。 【定理 7.1】：在單位球面上，一個球面三角形 的面積就是 証明：如 圖 7-1 所示，由二個夾角為 的經線所圍成的球面部分，其面積顯然和 成正比（這是球面對以 N, S 為定點的旋轉對稱性的直接推論）。再者，當 時，其面積等于 （阿基米德定理）！所以上述以 為夾角者（稱之為 spherical lune）的面積等于 。 圖 7-4 如 圖 7-4 所示，令 A, B, C 分別是 A, B, C 的對頂者。用上述 spherical lune 的面積公式即得： 由此可得 亦即 註：上述具有基本重要性的球面三角形面積公式其實就是阿基米德球面面積公式的局部化和精細化。 球面三角形的疊合條件及等腰三角形定理： 設 A, B 是球面上任給兩點。在空間中和 A, B 等距的點集是直線段 的垂直平分面 ，它當然包含球心 O，所以和 A, B 等距的球面上之點乃是 這個大圓，而球面對于這個大圓的反射對稱將 A, B 互換。用上述球面上的反射對稱即可推導出： (i) S.A.S. 也是球面三角形的疊合條件； (ii) 球面等腰三角形的兩底角相等；反之，兩底角相等的球面三角形亦必為等腰。 再者，由上述兩點還可以同樣地推導出球面三角形也具有其他如 S.S.S. 和 A.S.A. 等疊合條件。在此值得一提的是 A.A.A. 也是球面三角形的一個疊合條件，我們可以用球面三角形中所特有的對偶關係來推導它也是一個疊合條件。設 A, A 互為對頂，則和 A, A 等距的球面上的點集就是和 A, A 的距離是 的那個大圓，將以 記之。設 是一個任給球面三角形，在下述三對對頂點偶（即 , , ）之中，分別取其靠近 A, B, C 者，以 A*, B*, C* 記之，則稱 為 的對偶球面三角形（ 也是 的對偶球面三角形）。 【引理 7.1】：令 a, b, c 和 a*, b*, c* 分別是 和 的各角對邊邊長，則有： 圖 7-5 証明：我們只需要証明其中之一，其餘各式皆可同理類推。由 圖 7-5 所示，在大圓 上 , ，故有 【推論】： A.A.A. 也是一種球面三角形的疊合條件。 証明：設 和 的三角內角對應相等，由引理 7.1得知它們的對偶球面三角形 和 的三個邊長對應等長，所以是全等的，因此當然有三個對應內角相等。再用引理 7.1，即得 和 滿足 S.S.S. 全等條件。 【引理 7.2】：設 和 的頂點共圓而且 A, A 同在 的一側，則 再者，上述之逆命題也成立。 圖 7-6 証明：如 圖 7-6(i) 所示， , , 皆為等腰，所以其底角相等，設其分別是 , , 。則有 同理亦有 圖 7-6(ii) 的情況和逆命題的証明留作習題。 【定理 7.2】(Lexell)：設球面三角形 和 具有相等的定向面積，而 B, C 分別是 B, C 的對頂點，則 B, C, A1, A2 四點共圓。 圖 7-7 証明：如 圖 7-7 所示： 所以 分別取 A=A1 和 A2，再對 和 運用引理 7.2的逆命題，即得 B, C, A1, A2 共圓。 【習題】： (1) 設 P1, P2 的球面極坐標分別是 (r1,0) 和 (r2,0)，而 是一條一階可微曲線，, , 。試証其長度至少等于 |r1-r2| 。 (2) 若 是一個半徑為 R 的球面三角形，試問 和其面積之間的關係是什麼？並試証你的主張。 (3) 設 和 是滿足 S.A.S. 條件的兩個球面三角形，例如 A1=A2, b1=b2, c1=c2 。試構造一系列球面上的反射對稱，它們的組合恰好把 變換到 。 (4) 試用球面的反射對稱性証明等腰三角形的底角相等，而頂角平分線垂直平分底邊。 (5) 試用上述 (3), (4) 所証得者，証明 S.S.S. 也是球面三角形的一種全等條件。 (6) 設 O 為一個球面的心，A 為球面上任給一點， 為過 A 點而且和 垂直的平面。試証 和球面僅僅交于 A 點。 (7) 設 是極坐標下r = 常數所構成的緯圓。試求 上任一點 P 的切平面和直線 ON 的交點 V （亦即確定 的長度）。 球面三角學球面三角學研討球面三角形的各種各樣幾何量如邊長、角度、面積、外接圓和內切圓的半徑等等的相互關係。遠在古希臘時代，球面三角學即已倍加重視。Menelous 所著的 Sphaerica 和 Ptolemy 所著的 Almagest 總結了當年在球面三角學上的研究成果和它們在天文學上的應用。大體上，他們已經充分理解了直角球面三角形的各種幾何量之間的相互關系；然後一直到十八世紀，球面三角學的研究才又得以蓬勃開展。 在本節的討論中，將以 , , 等等表示單位球面上給定點 A, B, C 等等的位置向量，亦即 , , 等等，它們當然都是單位長的向量。由此可見，從向量幾何的觀點來看，球面幾何其實也就是單位長向量的幾何。 由向量運算的幾何內含，即有（參看 圖 7-8 ）： (i) , , ； (ii) , , 的面積，亦即 |b x c|, |c x a|, |a x b|，分別等于 , , ； (iii) 球面三角形 的三個內角 A,B,C 等于 和 ， 和 ， 和 之間的兩面角； (iv) 設 ，以後將以 D 表示之。由行列式的乘法公式即有： 圖 7-8 【定理 7.3】（球面三角正弦定律）： 証明：令 為過球心 O 點而和 垂直的平面，b 和 c 是 , 在 上的垂直投影，亦即： 圖 7-9 其中 , 和 a 垂直而 和 則為 a 的倍積，所以由內積和 -積的分配律，得： 上述所作的垂直投影其實是把由 , , 所張的平行六面體沿 的方向滑動，最後得出由 , , 所張的長方體，如下圖所示： 因為體積是斜移不變的，由此亦可以看到 由此易見 【定理 7.4】（球面三角餘弦定律）： 証明：由面積的勾股定理，即有： 再者，由內積 -積的幾何意義，以及 A 等于 和 之間的兩面角，即有： 球面三角餘弦定律的另一証法： 【推論 1】：在 （亦即直角球面三角形）時，則有： (i) (ii) 圖 7-11 証明：由所設 即有 , 。所以 (i)-式乃是正、餘弦定律的直接結論。再者， 所以 其他三式的証明留作習題。 半角公式： 在平面三角學中，我們有下述易算好用的半角公式，即令 ，則有： 在球面三角學中，也有類似的半角公式，即： 【推論 2】（球面三角半角公式）： 証明：以 （或 ）代入餘弦定律，即得： 或 這也就証明了 (i) 和 (ii)，而 (iii) 則是 (i), (ii) 的直接推論。茲証 (iv)-式如下： 如 圖 7-12 所示， 是直角球面三角形， , ，所以 圖 7-12 阿基米德定理以及它的局部化球面三角形面積公式： 是球面幾何中至關重要的基本定理。從純幾何的觀點，上述面積公式已經是十分簡潔完美的了；但是從向量代數的不變量理論來看，我們還需要把三角形面積和 a,b,c 的基本正交不變量，亦即 之間整理出一個簡潔、整體的關係式。當然，我們可以用球面三角餘弦定律，即 得出 所以這個用向量內積的面積公式當然就可以寫成： 但是這樣一個繁複的表式顯然不好用，因此有必要去探討上述球面三角形面積的內積表達式背後的精簡形式。這種精益求精的所得就是： 【定理 7.5】： , , . 証明：由球面三角正弦、餘弦定律（亦即定理 7.3、定理 7.4）即有 等等直接代換和代數計算可得： 上式之分母為 而一個令人驚喜的事實是括號內 的代數表式可以簡化成 。所以即得： 同樣的代數計算可得 所以 註：在直角球面三角形，即 時，尚有下述特殊公式，即： 【推論 1】：若將 的兩邊 a, b 固定而讓第三邊 c 變動，令 則有 証明：由上所設， 將 對于 x 求微分，即 在這裡，有趣的是分子也含有 (1+c1)(1+c2) 因式。約分後即得 再者，將下述餘弦定律 對于 x 微分，即有 所以 註：當 從 0 變到 ， 的變化有下述三種情形，即： (i) 若 ，則 c1+c20，而其對邊 c 則從 |a-b| 變到 a+b，函數值 由 0 增加到其在 x=c1+c2 時的唯一極大值，然後再遞減到 0。 註：x=c1+c2，即 的幾何意義乃是 的外接圓圓心位于 之上，如 圖 7-13 所示。其証明在討論球面四邊形時便會詳細說明。 圖 7-13 (ii) 若 ，則 c1+c2c3+c4 ），由條件式 即 所以有 令其為 ，則有 再由 即求得 注意: 在 c1+c2 = c3+c4 時，上述公式即為 所以上述由 表達 的公式是普遍成立的！ 【例題 2】：設四邊形的四個邊長依序取定為 ，令 為 的角度，則其面積為 的函數，亦即 A(x), 。由餘弦定律，即 對 x 求微分，即得 再者，原先由定理 8的証明已得 所以 【習題】： (1) 試問球面上一個保長變換的定點子集有那些可能性？並舉例說明你所說的那種可能性是的確可能的。 (2) 設 是一個直角球面三角形， 。試証 (3) 設 S2(r) 是一個以 O 為球心，半徑為 r 的球面。P 是球外一個給定點（如 圖 7-16 所示）： 圖 7-16 設 為過 P 點而且交 S2(r) 于 Q1, Q2 的直線。試証恆有 提示：設 u 是直線 上的單位長向量， , 而 X 是 上的動點，則有 ，其中 k 是 的有向長度，而 的條件式則是 。 (4) 設 PTi 是和 S2(r) 相切于 Ti 的那條切線，i=1,2 。試証 和 等長，並描述所有過 P 點和 S2(r) 相切的切點所組成的點集。 (5) 令 P 是位于直線 OP 之上而且 的點， 是和 OP 正交于 P 點的平面，令 。試証 成調和點列，亦即 光学天文学-概述 利用天体在光学波段的辐射来研究天文现象的学科。是天文学中发展得最早的一部分。宇宙中最重要的有形物质恒星的主要辐射集中在光学波段，离人类最近的恒星太阳使得人眼对光学波段最敏感。因而古代人用肉眼观天以定岁时；光学望远镜拓展了人类的眼界并揭示了许多新天象；先进的光学检测元件和方法使人类对宇宙的探测几乎达到了它的边沿。现代的光学天文学主要是利用大口径光学望远镜及其焦面附属仪器来研究天体的形态、结构、运动特性、物理状态、 演化阶段和化学成分的一门学科。天文学的核心成就仍然主要来自光学天文，而且所有的新发现和新现象均要求寻找到光学对应体才能深入下去。正在天上的口径2.4米的空间望远镜宽波段测光可以达到30等，角分辨率0.01秒，可以探测到红移超过1的原始星系。这是其他波段所无法比拟的。各个发达国家都在竟相独立或合作研制新一代地基或空间大口径光学/红外望远镜，如美国的口径10米的Keck I和Keck II以及相应的光学干涉仪, 欧洲的16 = 48米的VLT和相应的干涉仪，日本的8.2米SUBARU等。高光效大面积CCD以及大视场多目标光谱仪的出现，使得光学天文学在深度和细度上正朝着前所未有的高度发展。光学天文学-发展历史 公元前129年，喜帕恰斯编制星表时，将肉眼能见的星分为六个亮度等级。这就是利用人眼作为辐射接受器，粗略地进行光度测量的结果。这种观测方法属于光学天文学的范畴。 1609年伽利略使用望远镜观测天体，发挥了望远镜的增大光通量密度和放大视角的作用，开创了现代光学天文学。他不仅绘制了月面图，观测到金星的盈亏，还看到了太阳黑子并判明银河是恒星组成的。 随着生产力的发展和科学技术的进步，光学望远镜精密度越来越高，口径越来越大，从而不断发现新天体和观测到新天象。由于三种物理方法（分光学、光度学、照相术）应用于天文学领域，逐步奠定了太阳物理学、恒星物理学等天体物理学分支学科的基础。自从基尔霍夫说明了吸收线的产生原因以后，分光学在天体观测中起着极重要的作用。通过观测和研究，人们不但能测定天体的温度、密度、压强等物理特性，而且能得到天体化学成分的数据。近代天文学的各分支，特别是理论天体物理学，在理论物理的影响下，发伽利略展得更加迅速。太阳色球的单色光观测研究，太阳黑子磁场的发现，造父变星周光关系的发现，赫罗图的建立，星际消光的证明，星系是由恒星和星际物质组成的证明，星系的谱线红移以及银河系自转、恒星自转、星协、星链以至天王星光环的发现，都是光学天文学的重大成就。近几十年来射电天文学的兴起，红外天文学的复兴，以及紫外天文学、X射线天文学、射线天文学的诞生，使现代天体物理学进入自然科学的前沿阵地。但是，光学天文学与上述各分支学科相互配合，仍然不断作出贡献，促进有关学科向前发展。 光学天文学-学科带头人 1930年10月14日生于吴淞的潘君骅，1952年毕业于清华大学机械工程学系。19521980年在长春光学精密机械研究所工作，其中19561960年在原苏联列宁格勒普尔科沃天文台读研究生，学习天文光学，获副博士学位。19801993年在南京天文仪器研制中心任研究员至退休。1988年研制成功的216米望远镜是当时远东最大的天文望远镜。1997年该项目获得中科院科技进步一等奖，1998年获得国家科技进步一等奖。他的折轴阶梯光栅分光仪也获1998年中科院科技进步二等奖及1999年国家科技进步三等奖。1999年当选为中国工程院院士。潘君骅2008年被返聘于中国科学院国家天文台南京天文光学技术研究所。并兼职于苏州大学现代光学技术研究所。 中国古代天文学3分（内容丰富） 编辑词条 摘要中国是世界上天文学起步最早、发展最快的国家之一，天文学也是我国古代最发达的四门自然科学之一，其他包括农学、医学和数学，天文学方面屡有革新的优良历法、令人惊羡的发明创造、卓有见识的宇宙观等，在世界天文学发展史上，无不占据重要的地位。 我国古代天文学从原始社会就开始萌芽了。公元前24世纪的帝尧时代，就设立了专职的天文官，专门从事“观象授时”。早在仰韶文化时期，人们就描绘了光芒四射的太阳形象，进而对太阳上的变化也屡有记载，描绘出太阳边缘有大小如同弹丸、成倾斜形状的太阳黑子。 公元16世纪前，天文学在欧洲的发展一直很缓慢，在从2世纪到16世纪的1000多年中，更是几乎处于停滞状态。在此期间，我国天文学得到了稳步的发展，取得了辉煌的成就。我国古代天文学的成就大体可归纳为三个方面，即：天象观察、仪器制作和编订历法。 我国最早的天象观察，可以追溯到好几千年以前。无论是对太阳、月亮、行星、彗星、新星、恒星，以及日食和月食、太阳黑子、日珥、流星雨等罕见天象，都有着悠久而丰富的记载，观察仔细、记录精确、描述详尽、其水平之高，达到使今人惊讶的程度，这些记载至今仍具有很高的科学价值。在我国河南安阳出土的殷墟甲骨文中，已有丰富的天文象现的记载。这表明远在公元前14世纪时，我们祖先的天文学已很发达了。举世公认，我国有世界上最早最完整的天象记载。我国是欧洲文艺复兴以前天文现象最精确的观测者和记录的最好保存者。 我国古代在创制天文仪器方面，也做出了杰出的贡献，创造性地设计和制造了许多种精巧的观察和测量仪器。我国最古老、最简单的天文仪器是土圭，也叫圭表。它是用来度量日影长短的，它最初是从什么时候开始有的，已无从考证。 此外，西汉的落下闳改制了浑仪，这种我国古代测量天体位置的主要仪器，几乎历代都有改进。东汉的张衡创制了世界上第一架利用水利作为动力的浑象。元代的郭守敬先后创制和改进了10多种天文仪器，如简仪、高表、仰仪等。 世界天文史学界公认，我国对哈雷彗星观测记录久远、详尽，无哪个国家可比。我国公元前240年的彗星记载，被认为是世界上最早的哈雷彗星记录从那时起到1986年，哈雷彗星共回归了30次，我国都有记录。1973年，我国考古工作者在湖南长沙马王堆的一座汉朝古墓内发现了一幅精致的彗星图，图上除彗星之外，还绘有云、气、月掩星和恒星。天文史学家对这幅古图做了考释研究后，称之为天文气象杂占，认为这是迄今发现的世界上最古老的彗星图。早在2000多年前的先秦时期，我们的祖先就已经对各种形态的彗星进行了认真的观测，不仅画出了三尾彗、四尾彗，还似乎窥视到今天用大望远镜也很难见到的彗核，这足以说明中国古代的天象观测是何等的精细入微。 古人勤奋观察日月星辰的位置及其变化，主要目的是通过观察这类天象，掌握他们的规律性，用来确定四季，编制历法，为生产和生活服务。我国古代历法不仅包括节气的推算、每月的日数的分配、月和闰月的安排等，还包括许多天文学的内容，如日月食发生时刻和可见情况的计算和预报，五大行星位置的推算和预报等。一方面说明我国古代对天文学和天文现象的重视，同时，这类天文现象也是用来验证历法准确性的重要手段之一。测定回归年的长度是历法的基础。我国古代历法特别重视冬至这个节气，准确测定连续两次冬至的时刻，它们之间的时间间隔，就是一个回归年。 根据观测结果，我国古代上百次地改进了历法。郭守敬于公元1280年编订的授时历来说，通过三年多的两百次测量，经过计算，采用365.2425日作为一个回归年的长度。这个数值与现今世界上通用的公历值相同，而在六七百年前，郭守敬能够测算得那么精密，实在是很了不起，比欧洲的格里高列历早了300年。 我国的祖先还生活在茹毛饮血的时代时，就已经懂得按照大自然安排的“作息时间表”，“日出而作，日入而息”。太阳周而复始的东升西落运动，使人类形成了最基本的时间概念“日”，产生了“天”这个最基本的时间单位。大约在商代，古人已经有了黎明、清晨、中午、午后、下午、黄昏和夜晚这种粗略划分一天的时间概念。计时仪器漏壶发明后，人们通常采用将一天的时间划分为一百刻的做法，夏至前后，“昼长六十刻，夜短四十刻”；冬至前后，“昼短四十刻，夜长六十科”；