第七章 点的合成运动

第七章点的合成运动,相对运动牵连运动绝对运动点的速度合成定理牵连运动是平移时点的加速度合成定理牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理科氏加速度,一、动点、定坐标系、动坐标系,前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。,为了研究方便，把所研究的点称为动点，把固连于地球上的参考坐标系称为定坐标系（静坐标系）；而把另一个相对于定坐标系运动的坐标系称为动坐标系（动系）。,在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描述得到的结果是不一样的。,7.1,相对运动牵连运动绝对运动,7.1,相对运动牵连运动绝对运动,二、绝对运动相对运动牵连运动的概念,动点的绝对运动和相对运动都是指动点的运动，而牵连运动是指坐标系的运动，实际上是刚体的运动。,三、合成运动的概念,如果没有牵连运动，则动点的相对运动就是它的绝对运动；反之，如果没有相对运动，则动点随同动坐标系所作的运动（牵连运动）就是它的绝对运动。由此可,见，动点的绝对运动既决定于动点的相对运动，也决定于动坐标系的运动即牵连运动，它是这两种运动的合成，因此这种类型的运动就称为点的合成运动。,7.1,相对运动牵连运动绝对运动,三、合成运动的概念,研究点的合成运动的主要问题，就是如何由已知动点的相对运动与牵连运动求出绝对运动；或者，如何将已知的绝对运动分解为相对运动与牵连运动。总之，在这里要研究这三种运动的关系。,7.1,相对运动牵连运动绝对运动,四、绝对运动的速度与加速度,动点在定系的运动中的轨迹、速度和加速度称为绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度。用和分别表示绝对速度和绝对加速度。,7.1,相对运动牵连运动绝对运动,五、相对运动的速度与加速度,动点在动系的运动中的轨迹、速度和加速度称为相对轨迹、相对速度和相对加速度。用和分别表示相对速度和相对加速度。,7.1,相对运动牵连运动绝对运动,六、牵连运动的速度与加速度,注意：牵连速度和牵加速度完全由动坐标系的运动决定；,7.1,相对运动牵连运动绝对运动,例1如图杆长l，绕O轴以匀角速度转动，圆盘半径为r，绕轴以角速度转动。求图示位置时，圆盘边缘和点的牵连速度和加速度（静系取在地面上，动系取在杆上）。,解：,7.1,相对运动牵连运动绝对运动,7.2,点的速度合成定理,下面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速度的关系。,如图，由图中矢量关系可得：,将上式两端同除，并令，取极限，得,由速度的定义：,点的速度合成定理,于是可得：,即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。,注意：（1）速度关系式是平面矢量方程；（2）绝对速度是对角线；（3）牵连速度为任何形式的运动时，速度关系式都成立。,7.2,点的速度合成定理,在应用速度合成定理来解决具体问题时，应注意：（1）动点及动坐标系的选取；（2）对于三种运动及三种速度的分析；（3）根据速度合成定理并结合个速度的已知条件先作出速度矢量图；然后利用三角关系或矢量投影定理求解未知量。,7.2,点的速度合成定理,例2如图半径为R的半圆形凸轮以匀速沿水平轨道运动，带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动，求在图示位置时，杆AB的速度。,解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系取在凸轮上。,7.2,点的速度合成定理,例3偏心凸轮以匀角速度绕O轴转动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半径，试求的图示位置时，顶杆AB的速度。,由几何关系可得,解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。,建立如图的投影坐标轴，由将矢量投影到投影轴上，得,因为,于是可解得,7.2,点的速度合成定理,例4直角折杆OBC绕O轴匀速转动，并带动套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动，如图。已知：OB=10cm，折杆的角速度。求当，小环M的速度。,解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在折杆OBC上。,建立如图的投影坐标轴，将矢量投影到投影轴上，得,7.2,点的速度合成定理,解之得,7.2,点的速度合成定理,例3偏心凸轮以匀角速度绕O轴转动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半径，试求的图示位置时，顶杆AB的速度。,由几何关系可得,解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。,建立如图的投影坐标轴，由将矢量投影到投影轴上，得,因为,于是可解得,7.2,点的速度合成定理,例5图示平底顶杆凸轮机构，顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心凸轮以等角速度绕O轴转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面，设凸轮半径为R，偏心距OC=e，OC与水平线的夹角为，试求当时，顶杆AB的速度。,解：以凸轮圆心C为动点，定系取在地面上，动系取在顶杆AB上。,7.2,点的速度合成定理,例6如图车A沿半径为150m的圆弧道路以匀速行驶，车B沿直线道路以匀速行驶，两车相距30m，求：（1）A车相对B车的速度；（2）B车相对A车的速度。,解：（1）以车A为动点，定系取在地面上，动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。,由图可得：,7.2,点的速度合成定理,（2）以车B为动点，定系取在地面上，动系取在车A上。动点的速度合成矢量图如图。,7.2,点的速度合成定理,例7两直杆分别以、的速度沿垂直于杆的方向平动，其交角为，求套在两直杆上的小环M的速度。,解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。,于是有：,（1）,以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在CD杆上，动点的速度合成矢量图如图。,于是有：,（2）,7.2,点的速度合成定理,比较（1）、（2）式，可得：,建立如图的投影轴，将上式投影到投影轴上，得：,即：,于是可得：,7.2,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,如图，设为平动参考系，动点M相对于动系的相对坐标为、，则动点M的相对速度和加速度为,将前式对时间求一阶导数，并和上式比较，有：,由点的速度合成定理有：,两边对时间求导，得：,7.3,由于,于是可得：,即：当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定理。,上式为牵连运动为平动时点的加速度合成定理的基本形式。其最一般的形式为：,具体应用时，只有分析清楚三种运动，才能确定加速度合成定理的形式。,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,7.3,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,例7图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当曲柄与铅垂线成时，曲柄的角速度为，角加速度为，求此时BC的速度和加速度。,解：以滑块A为动点，定系取在地面上，动系取在BC杆上，动点的速度合成矢量图如图。,建立如图的投影坐标轴，由，将各矢量投影到投影轴上，得,即：,该速度即为BC的速度。,7.3,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,动点的加速度合成矢量图如图。其中：,建立如图的投影坐标轴，由，将各矢量投影到轴上，得,于是可得,该加速度即为BC的加速度。,7.3,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,例8图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑动，使直杆OA可绕轴O转动。OA=r，在图示瞬时杆OA与铅垂线夹角，杆端A与凸轮相接触，点O与在同一铅直线上，凸轮的的速度为，加速度为。求在图示瞬时A点的速度和加速度。并求OA杆的角速度和角加速度。,解：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系取在凸轮上，动点的速度合成矢量图如图。,建立如图的投影坐标轴，由，将各矢量投影到投影轴上，得,7.3,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,解得：,OA杆的角速度为,动点的加速度合成矢量图如图。,其中,建立如图的投影轴，由,将各矢量投影到投影轴上，得,所以,7.3,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,故OA杆的角加速度,7.3,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,例9铰接四边形机构中，杆以匀角速度绕轴转动。AB杆上有一滑套C，滑套C与CD杆铰接，机构各部件在同一铅直面内。求当时，CD杆的速度和加速度。,解：以滑套C为动点，定系取在地面上，动系取AB上，动点的速度合成矢量图如图。,由于,所以,7.3,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,动点的加速度合成矢量图如图所示。,由于,所以,7.3,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,思考题,半径为r的圆盘绕中心O以匀角速度逆时针转动。圆盘边缘有一动点M，以相对速度沿边缘作匀速圆周运动，如图。求动点M的加速度。,以M为动点，定系取在地面上，动系取在圆盘上,显然,方向如图。,而,方向如图。,可见,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,例5设有一坐标系绕定轴转动.若转动角速度矢量为,试证明泊松公式:,其中、为动坐标系坐标轴的单位矢量。,证明：过定轴上点作点与矢量终点的矢径和,则,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,将上式对时间求导得,同理,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,动点的牵连速度、牵连加速度分别为：,设有一动坐标系绕定轴转动，其转动角速度矢量为、角加速度,动点的相对速度、相对加速度分别为：,动点的绝对速度为：,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,动点的绝对加速度为：,科氏加速度：,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,当牵连运动为转动时，加速度合成的结果和牵连运动为平动时加速度合成的结果不同。由于动坐标系为转动，牵连运动和相对运动的相互影响而产生了一个附加的加速度，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度，用表示。于是动点的加速度为,即：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于其牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时的加速度合成定理。,其中,其大小为,方向由右手法则确定。,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,例10直角折杆OBC绕O轴转动，带动套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动，如图。已知：OB=10cm，折杆的角速度。求当时，小环M的速度和加速度。,解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在折杆上。动点的速度合成矢量图如图。,建立如图的投影坐标轴，由将各矢量投影到投影轴上，得,因为,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,解之得,动点的加速度合成矢量图如图。,其中,建立如图的投影坐标轴，由将各矢量投影到投影轴上，得,所以,故小环M的速度加速度为,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,例11偏心凸轮以匀角速度绕O轴转动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半径，试求的图示位置时，顶杆AB的速度和加速度。,由几何关系可得,解一：以杆端A为动点，定系取在地面上，动系取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。,建立如图的投影坐标轴，由将各矢量投影到投影轴上，得,因为,于是可解得,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,动点的加速度合成矢量图如图。,其中,建立如图的投影坐标轴，由将各矢量投影到投影轴上，得,故顶杆AB的加速度为,可见，的实际方向铅直向下。,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,解二：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取过凸轮中心的平动坐标系（如图）。动点的速度合成矢量图如图。,动点的加速度合成矢量图如图。,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,解三：以凸轮中心C为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上（如图）。动点的速度合成矢量图和加速度合成矢量图如图。,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,例12图示机构，半径为R的曲柄OA以匀角速度绕O轴转动，通过铰链A带动连杆AB运动。由于连杆AB穿过套筒CD，从而使套筒CD绕E轴转动。在图示瞬时，OEOA，。求此时套筒CD的角加速度。,解：以铰A为动点，定系取在地面上，动系取CD上。动点的速度合成矢量图如图。,由图可得,于是套筒CD的角速度为,7.4,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,动点的加速度合成矢量图如图。,其中,建立如图的投影坐标轴，由将各矢量投影到投影轴上，得,解得,套筒CD的角加速度