高等数学-第八章空间解析几何ppt精选课件

第八章空间解析几何与向量代数,第一节向量及其线性运算,第二节数量积向量积*混合积,第三节曲面及其方程,第四节空间曲线及其方程,第五节平面及其方程,第六节空间直线及其方程,一、向量概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,四、利用坐标作向量的线性运算,五、向量的模、方向角、投影,8.1向量及其运算,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为1的向量,零向量:,模为0的向量,有向线段,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k,个向量共面.,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,2.向量的减法,三角不等式,3.向量与数的乘法,是一个数,特别的:,结合律,运算律:,分配律,因此,定理1.,设a为非零向量,则,(为唯一实数),点P,实数x,轴上点P的坐标为x的充分必要条件是,直线上点的坐标,平面上点的坐标,点M,向量,平面的上点M的坐标为（x，y）的充分必要条件是,向量,证明:,假设存在唯一的实数,使得,由向量,与数乘法定义可知,与,平行.,与,平行,假设,与,同向，取,若,则,与,同向，,与,同向.,从而,而,故,下面证唯一性：假设存在两个实数,与,反向，取,若,则,与,反向，,与,同向.,从而,而,故,使,以上两式相减，得,故,定理1.,设a为非零向量,则,(为唯一实数),点P,实数x,轴上点P的坐标为x的充分必要条件是,直线上点的坐标,平面上点的坐标,点M,向量,平面的上点M的坐标为（x，y）的充分必要条件是,向量,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z轴(竖轴),过空间一定点O,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点P,Q,R;,坐标面上的点A,B,C,点M,特殊点的坐标:,有序数组,称有序数组为点M的坐标,记为M,原点O(0,0,0);,坐标轴:,坐标面:,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,23,得,代入得,例3.已知两点,在AB直线上求一点M,使,解:设M的坐标为,如图所示,及实数,得,即,故,说明:由,得定比分点公式:,点M为AB的中点,于是得,中点公式:,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,例4.求证以,证:,即,为等腰直角三角形.,的三角形是等腰直角三角形.,为顶点,例5.在z轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?,离的点.,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,例6.已知两点,和,解:,求,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例7.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,例8.设点A位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点A的坐标.,则,因点A在第一卦限,故,于是,故点A的坐标为,向径OA与x轴，y轴的夹,3.向量的投影的概念,空间一点在轴上的投影,过点作一平面与轴垂直，该平面与轴交于一点，则称为向量在轴上的分向量，设则称数为在轴上的投影，记作或,向量在轴上的投